12.1命题、定义、定理与证明 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

12.1命题、定义、定理与证明 学习目标 1. 理解命题、定义、定理的概念 · 能够准确判断什么是命题，明确命题由题设和结论两部分组成。 · 掌握定义的含义，知道如何通过定义来描述数学概念。 · 区分定理与一般命题，明白定理是经过证明为正确的命题。 2. 会判断命题的真假 · 能依据已学的数学知识和生活常识，判断一个命题是真命题还是假命题。 · 对于假命题，会通过举反例的方式进行说明。 3. 掌握证明的步骤和书写格式 · 理解证明的必要性，知道证明是确定一个命题真实性的重要手段。 · 学会按照一定的逻辑顺序，书写证明的过程，做到步步有据。 知识点讲解 （一）命题 1. 定义：判断一件事情的语句，叫做命题。例如：“两直线平行，同位角相等”就是一个命题，它对两直线平行时同位角的关系作出了判断。 2. 组成：命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论。比如命题“对顶角相等”可写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论。 3. 分类： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。例如“直角都相等”，当一个角是直角这个题设成立时，其结论“这些角都相等”一定成立，所以它是真命题。 · 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。例如“如果一个数能被 2 整除，那么这个数也能被 4 整除”，像 6 能被 2 整除，但不能被 4 整除，说明该命题题设成立时结论不一定成立，是假命题。 （二）定义 1. 含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义。例如“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”，这就是等腰三角形的定义，它明确了等腰三角形这个概念的内涵。 （三）定理 1. 定义：经过证明的真命题称为定理。例如“三角形内角和等于 180°”，它是经过严格的推理证明得到的，所以是定理。定理可以作为进一步推理的依据。 （四）证明 1. 定义：从命题的题设出发，根据已学过的定义、基本事实、定理等，经过一步步的推理，最后推出命题的结论成立，这个过程叫做证明。 2. 步骤： · 根据题意，画出图形：如果题目中有图形相关内容，画出准确图形有助于分析问题，但本题要求不涉及图形题目，此步骤暂不展开。 · 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证：明确已知条件和需要证明的结论。 · 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程：证明过程要做到有理有据，每一步推理都要有依据。 例题解析 （一）命题的判断 1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ · （1）直线(a)与直线(b)平行吗？ · （2）过点(A)画直线(MN)。 · （3）直角都相等。 · （4）相等的角是对顶角。 （二）命题的组成与改写 1. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设和结论 · （1）同旁内角互补。 · （2）等角的余角相等。 · （三）命题真假的判断 1. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例 · （1）若，则。 · （2）两个锐角的和一定是钝角。 （四）证明的初步应用 1. 已知：如图（本题虽不涉及图形，但按照证明步骤假设存在相关图形示意），直线(AB)，(CD)相交于点(O)，，求证： 证明过程： 因为直线(AB)，(CD)相交于点(O)，所以与是对顶角（对顶角的定义）。 又因为对顶角相等，且，所以（等量代换）。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列语句是命题的是（ ） A. 画线段(AB) B. 请不要大声喧哗 C. 同位角相等 D. 连接(A)、(B)两点 2. 命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是（ ） A. 如果是同角的补角，那么相等 B. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 C. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 D. 如果两个角互补，那么这两个角相等 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 若(a > b)，则. 直角都相等 （二）填空题 1. 命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是（ ） 。 2. 要说明命题“若，则(x > 2)”是假命题，可以举的反例是（ ） 。 （三）解答题 1. 把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假，如果是假命题，请举一个反例。 2. 已知：，，求证：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.1命题、定义、定理与证明 学习目标 1. 理解命题、定义、定理的概念 · 能够准确判断什么是命题，明确命题由题设和结论两部分组成。 · 掌握定义的含义，知道如何通过定义来描述数学概念。 · 区分定理与一般命题，明白定理是经过证明为正确的命题。 2. 会判断命题的真假 · 能依据已学的数学知识和生活常识，判断一个命题是真命题还是假命题。 · 对于假命题，会通过举反例的方式进行说明。 3. 掌握证明的步骤和书写格式 · 理解证明的必要性，知道证明是确定一个命题真实性的重要手段。 · 学会按照一定的逻辑顺序，书写证明的过程，做到步步有据。 知识点讲解 （一）命题 1. 定义：判断一件事情的语句，叫做命题。例如：“两直线平行，同位角相等”就是一个命题，它对两直线平行时同位角的关系作出了判断。 2. 组成：命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论。比如命题“对顶角相等”可写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，其中“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”是结论。 3. 分类： · 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题。例如“直角都相等”，当一个角是直角这个题设成立时，其结论“这些角都相等”一定成立，所以它是真命题。 · 假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题。例如“如果一个数能被 2 整除，那么这个数也能被 4 整除”，像 6 能被 2 整除，但不能被 4 整除，说明该命题题设成立时结论不一定成立，是假命题。 （二）定义 1. 含义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是它们的定义。例如“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”，这就是等腰三角形的定义，它明确了等腰三角形这个概念的内涵。 （三）定理 1. 定义：经过证明的真命题称为定理。例如“三角形内角和等于 180°”，它是经过严格的推理证明得到的，所以是定理。定理可以作为进一步推理的依据。 （四）证明 1. 定义：从命题的题设出发，根据已学过的定义、基本事实、定理等，经过一步步的推理，最后推出命题的结论成立，这个过程叫做证明。 2. 步骤： · 根据题意，画出图形：如果题目中有图形相关内容，画出准确图形有助于分析问题，但本题要求不涉及图形题目，此步骤暂不展开。 · 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证：明确已知条件和需要证明的结论。 · 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程：证明过程要做到有理有据，每一步推理都要有依据。 例题解析 （一）命题的判断 1. 下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ · （1）直线(a)与直线(b)平行吗？ · （2）过点(A)画直线(MN)。 · （3）直角都相等。 · （4）相等的角是对顶角。 答案解析： · （1）不是命题，因为它是疑问句，没有对事情作出判断。 · （2）不是命题，它是描述一个画图的操作，没有作出判断。 · （3）是命题，它对直角的性质作出了判断。 · （4）是命题，它对相等的角与对顶角的关系作出了判断。 （二）命题的组成与改写 1. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设和结论 · （1）同旁内角互补。 · （2）等角的余角相等。 答案解析： · （1）改写为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补。题设是“两个角是同旁内角”，结论是“这两个角互补”。 · （2）改写为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等。题设是“两个角是相等角的余角”，结论是“这两个角相等”。 （三）命题真假的判断 1. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例 · （1）若，则。 · （2）两个锐角的和一定是钝角。 答案解析： · （1）假命题。反例：当，时，，，满足，但。 · （2）假命题。反例：两个锐角分别为(20°)和(30°)，它们的和为，(50°)是锐角，不是钝角。 （四）证明的初步应用 1. 已知：如图（本题虽不涉及图形，但按照证明步骤假设存在相关图形示意），直线(AB)，(CD)相交于点(O)，，求证： 证明过程： 因为直线(AB)，(CD)相交于点(O)，所以与是对顶角（对顶角的定义）。 又因为对顶角相等，且，所以（等量代换）。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列语句是命题的是（ ） A. 画线段(AB) B. 请不要大声喧哗 C. 同位角相等 D. 连接(A)、(B)两点 答案解析： A 选项是描述画图操作，不是命题；B 选项是一种要求，不是命题；C 选项对同位角的关系作出了判断，是命题；D 选项是描述连接两点的操作，不是命题。所以答案选 C。 2. 命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式是（ ） A. 如果是同角的补角，那么相等 B. 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等 C. 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角 D. 如果两个角互补，那么这两个角相等 答案解析： 分析命题可知，题设是“两个角是同一个角的补角”，结论是“这两个角相等”。所以改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，答案选 B。 3. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等 C. 若(a > b)，则. 直角都相等 答案解析： A 选项“两点之间线段最短”是基本事实，是真命题；B 选项“对顶角相等”是定理，是真命题；C 选项，当，时，(a > b)，但，，此时，所以该命题是假命题；D 选项“直角都相等”是真命题。答案选 C。 （二）填空题 1. 命题“两直线平行，内错角相等”的题设是 ，结论是（ ） 。 答案解析： 按照“如果……那么……”的形式，“如果两直线平行，那么内错角相等”，所以题设是“两直线平行”，结论是“内错角相等”。 2. 要说明命题“若，则(x > 2)”是假命题，可以举的反例是（ ） 。 答案解析： 当时，，但(-3 < 2)，所以反例可以是。 （三）解答题 1. 把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式，并判断其真假，如果是假命题，请举一个反例。 答案解析： 改写为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 这是一个假命题。反例：墙角处，三条直线两两垂直，其中两条直线都垂直于第三条直线，但这两条直线并不平行。 2. 已知：，，求证：。 证明过程： 因为，（已知）， 所以，（等式的性质）， 所以（等量代换）。 学科网（北京）股份有限公司 $