内容正文:
2025年10月全县综合素养考试九年级数学试题
(时间:120分钟 分值:120分)
注意事项:
1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第I卷为选择题,30分;第Ⅱ卷为非选择题,90分;全卷共6页.
2.数学试题答题卡共4页,答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上,考试结束后上交答题卡.
3.第I卷每题选出答案后,都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑,如需改动,先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本题共10小题,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.)
1. 下列函数中y是x反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2. 已知反比例函数y=的图象在第二、四象限,则m的取值范围是( )
A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5
3. 已知反比例函数,下列结论中,错误的是( )
A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、三象限
C. 当时,y随x的增大而减小 D. 关于x轴对称
4. 一斜坡的坡度是,则此斜坡的坡角是( )
A B. C. D.
5. 对于反比例函数,下列说法正确的个数是( )
①函数图象位于第一、三象限;②函数值 y 随 x 的增大而减小;③若 A(-1, ),B(2,),C(1,)是图象上三个点,则 <<;④P 为图象上任一点,过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q,则△OPQ 的面积是定值.
A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
6. 已知一次函数与反比例函数,则两个函数在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7. 如图,在平面直角坐标系中,点A在函数的图象上,点B在函数的图象上,轴于点C.若,则k的值为( )
A B. 1 C. D. 2
8. 如图,菱形在平面直角坐标系中,,则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
9. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,A,B,C三点都在格点上,( )
A. 2 B. C. D.
10. 如图,一座厂房屋顶人字架的跨度,上弦,.若用科学计算器求上弦的长,则下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共8小题,11-14每小题3分,15-18每小题4分,共28分.只要求填写最后结果.
11. 若是反比例函数,则a的值为______.
12. 已知是锐角,若,则的值为______.
13. 如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是,且与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则的值为______.
14. 如图,某校教学楼与实验楼的水平间距米,在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是,底部点的俯角是,则教学楼的高度是____米(结果保留根号).
15. 如图,已知直线,相邻两条平行直线间的距离都是2,若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则=______.
16. 若点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是______.
17. 如图,是反比例函数图象上的一点,过点作轴于点,使,为轴上任意一点,连接,,若,则______.
18. 如图,在反比例函数图象上,有点,,,…,,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为,,,…,,则______.
三、解答题:共7小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. (1)计算:
(2)计算:.
20. 如图,在中,,,.
(1)求的面积;
(2)求的长.
21. 已知:如图在中,是边上的高,为边的中点,,,.求:
(1)线段的长;
(2)的值.
22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图(1)某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图(2)为测量示意图(点,,,均在同一平面内,).已知斜坡长为20米,斜坡的坡角为,在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为,坡底与塔杆底的距离米,求该风力发电机塔杆的高度.
(结果精确到个位;参考数据:,,,)
23. 某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“蚊虫叮咬”,对教室进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y()与燃烧时间x()之间的关系如图所示.根据图象所示信息,解答下列问题:
(1)求正比例函数和反比例函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)据测定,当室内空气中每立方米的含药量低于,对人体无毒害作用.从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室?
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌.你认为此次消毒是否有效?并说明理由.
24. 已知反比例函数的图象与直线相交于点,.
(1)求直线与反比例函数解析式;
(2)求的面积;
(3)根据图象,直接写出当时自变量x的取值范围;
(4)若在x轴上有一点P,使得的面积是18,求P点坐标.
25. 在学习完锐角三角函数后,老师提出一个这样的问题:如图1,在中,,求(用含的式子表示).
聪明的小雯同学是这样考虑的:如图2,取的中点,连接,过点作于点,则,然后利用锐角三角函数在中表示出,在中表示出,则可以求出.
阅读以上内容,回答下列问题:在中,.
(1)如图③ ,若,则__,_____;.
(2)请你参考阅读材料中的推导思路,求出的表达式.(用含的式子表示)
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2025年10月全县综合素养考试九年级数学试题
(时间:120分钟 分值:120分)
注意事项:
1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第I卷为选择题,30分;第Ⅱ卷为非选择题,90分;全卷共6页.
2.数学试题答题卡共4页,答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上,考试结束后上交答题卡.
3.第I卷每题选出答案后,都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD)涂黑,如需改动,先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.第Ⅱ卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本题共10小题,共30分,每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选出来.每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.)
1. 下列函数中y是x的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义,解题的关键是掌握反比例函数的定义.
利用反比例函数的定义逐项进行判断即可.
【详解】解:根据反比例函数的形式得,
A. ,该选项是正比例函数,不符合题意;
B. ,该选项是正比例函数,不符合题意;
C. ,该选项是反比例函数,符合题意;
D. ,该选项是关于的反比例函数,不符合题意;
故选:C.
2. 已知反比例函数y=的图象在第二、四象限,则m的取值范围是( )
A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5
【答案】D
【解析】
【分析】根据:当k>0时,双曲线在第一、三象限;k<0时,双曲线在第二、四象限.可得m-5<0.
【详解】因为,反比例函数y=的图象在第二、四象限
所以,m-5<0
所以,m<5
故选D
【点睛】本题考核知识点:反比例函数的图象.解题关键点:熟记反比例函数的性质.
3. 已知反比例函数,下列结论中,错误的是( )
A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、三象限
C. 当时,y随x的增大而减小 D. 关于x轴对称
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质,掌握知识点是解题的关键.
利用反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可.
【详解】解:A.当时,,该选项正确,不符合题意;
B. 由得,其图象位于第一、三象限,该选项正确,不符合题意;
C. 由得,当时,y随x的增大而减小,该选项正确,不符合题意;
D. 反比例函数关于原点对称,该选项错误,符合题意.
故选D.
4. 一斜坡的坡度是,则此斜坡的坡角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查坡度,正切的应用,掌握该知识点是解题的关键.
根据斜坡的坡度是,斜坡的坡角,得到,即可解答.
【详解】解:∵斜坡的坡度是,斜坡的坡角,
∴,
∴.
故选D.
5. 对于反比例函数,下列说法正确的个数是( )
①函数图象位于第一、三象限;②函数值 y 随 x 的增大而减小;③若 A(-1, ),B(2,),C(1,)是图象上三个点,则 <<;④P 为图象上任一点,过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q,则△OPQ 的面积是定值.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.
【详解】中,>0,∴函数图象位于第一、三象限,①正确;
函数在各象限中,y随x的增大而减小,故②错误;
若 A(-1, ),B(2,),C(1,)是图象上三个点,则<<,故③错误;
④P 为图象上任一点,过P作PQ⊥y轴于点Q,则△OPQ的面积等于,为定值,故④正确.
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数的性质,对于反比例函数(k≠0),(1)k>0,反比例函数图象在一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
6. 已知一次函数与反比例函数,则两个函数在同一坐标系中图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数的图象,熟知反比例函数与一次函数的图象与比例系数的关系是解答此题的关键.
分类讨论:①当时,②当时,再根据一次函数与反比例函数的性质,对各选项逐一分析即可.
【详解】解:①当时,一次函数的图象经过一、三、四象限,反比例函数的图象经过一、三象限,选项B符合;
②当时,一次函数的图象经过二、三、四象限,反比例函数的图象经过二、四象限,选项都不符合.
故选:B.
7. 如图,在平面直角坐标系中,点A在函数的图象上,点B在函数的图象上,轴于点C.若,则k的值为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征,表示出点B的坐标是解题的关键.设A的横坐标为a,则纵坐标为,根据题意得出点B的坐标为,代入即可求得k的值.
【详解】解:设A的横坐标为a,则纵坐标为,
∵,轴,
∴B的横坐标为,轴,
∴,
∵点B在函数的图象上,
∴,
故选:C.
8. 如图,菱形在平面直角坐标系中,,则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作轴于点,由四边形是菱形,,可得,,则,,,由勾股定理得,,计算求解,进而可求点坐标.
【详解】解:如图,作轴于点,
四边形是菱形,,
∴,,
∴,
∴,
∴,
由勾股定理得,,
解得,,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查了菱形的性质,三角形内角和定理,等角对等边,勾股定理,坐标与图形等知识.熟练掌握菱形的性质,三角形内角和定理,等角对等边,勾股定理,坐标与图形是解题的关键.
9. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,A,B,C三点都在格点上,( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、正弦,熟练掌握正弦的求解方法是解题关键.连接,先根据勾股定理可得三边的平方,再根据勾股定理的逆定理可得,然后根据正弦的定义即可得结论.
【详解】解:连接,
,
,
,
,
故选:C.
10. 如图,一座厂房屋顶人字架的跨度,上弦,.若用科学计算器求上弦的长,则下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过B点作于D,根据等腰三角形的性质得到,在中,利用的余弦进行计算即可得到,再得到正确的按键顺序.
【详解】解:过B点作于D,
∵,,,
∴,
在中,,
∴,
即按键顺序正确是 ,
故选:B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用:在直角三角形中,已知一个锐角和它的邻边,可利用这个角的余弦求出斜边是解决问题的关键.也考查了等腰三角形的性质及科学计算器的使用.
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共8小题,11-14每小题3分,15-18每小题4分,共28分.只要求填写最后结果.
11. 若是反比例函数,则a值为______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的定义,一元二次方程的解法,掌握知识点是解题的关键.
根据反比例函数的定义,得到且,求出a的值即可.
【详解】解:∵是反比例函数,
∴且,
解得且,
∴.
故答案为:.
12. 已知是锐角,若,则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值,解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
由根据特殊角的锐角三角函数值可得,求出,即可求出的值.
【详解】解:∵,
∴,即,
∴.
故答案为:.
13. 如图,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是,且与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】过点P作轴于点A,根据正切定义计算m,再利用勾股定理,正弦定义解答即可.
本题考查了角的正切,正弦和勾股定理,熟练掌握三角函数和定理是解题的关键.
【详解】解:过点P作轴于点A,
根据P是第一象限内的点,其坐标是,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
故答案为:.
14. 如图,某校教学楼与实验楼的水平间距米,在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是,底部点的俯角是,则教学楼的高度是____米(结果保留根号).
【答案】(15+15)
【解析】
【分析】过点B作BE⊥AC,垂足为E,则∠ABE=30°,∠CBE=45°,四边形CDBE是矩形,继而证明∠CEB=∠CBE,从而可得CE长,在Rt△ABE中,利用tan∠ABE=,求出AE长,继而可得AC长.
【详解】过点B作BE⊥AC,垂足为E,
则∠ABE=30°,∠CBE=45°,四边形CDBE是正方形,
∴BE=CD=15,
∵∠CEB=90°,
∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE,
∴CE=BE=15,
在Rt△ABE中,tan∠ABE=,
即,
∴AE=15,
∴AC=AE+CE=15+15,
即教学楼AC的高度是(15+15)米,
故答案为(15+15).
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确构建直角三角形是解题的关键.
15. 如图,已知直线,相邻两条平行直线间的距离都是2,若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则=______.
【答案】
【解析】
【分析】过D作,交于E,交于F,易证,可得,在中,利用勾股定理可求,即可得答案.
【详解】解:如下图,过D作,交于E,交于F,
,
和的夹角都是,即与都垂直,
相邻两条平行直线间的距离都是2,
,
四边形是正方形,
,
,
又,
,
,
,
,
在中,,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数,解题的关键是正确作辅助线.
16. 若点,,都在反比例函数的图象上,则,,的大小关系是______.
【答案】##
【解析】
【分析】将点,,分别代入,求出,,的值,再比较即可.
【详解】解:将,,分别代入,
得:,,,
解得:,,,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征.掌握反比例函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键.
17. 如图,是反比例函数图象上的一点,过点作轴于点,使,为轴上任意一点,连接,,若,则______.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数系的几何意义,先设点坐标,再根据点在第二象限,则,,然后由三角形面积公式求出即可.
【详解】如图,连接,
∵,
∴,
设点的坐标为,
∵点在第二象限,
∴,,
∴,
∴,
∵是反比例函数的图象上一点,
∴,
故答案为:.
18. 如图,在反比例函数的图象上,有点,,,…,,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2026.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为,,,…,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,根据坐标求出每个阴影的面积表达式是解题的关键.求出的纵坐标,从而可计算出的高,进而求出,从而得出的值.
【详解】解:当时,的纵坐标为2,
当时,的纵坐标为1,
当时,的纵坐标为,
当时,的纵坐标为,
当时,的纵坐标为,
…
当时,的纵坐标为,
则;
;
;
;
…
;
,
故答案为:.
三、解答题:共7小题,共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19. (1)计算:
(2)计算:.
【答案】(1)8;(2)
【解析】
【分析】本题考查负整数指数幂,零指数幂,有理数的乘方,绝对值,积的乘方的逆运算,特殊角的三角函数,二次根式的加减,算术平方根,掌握知识点是解题的关键.
(1)先算负整数指数幂,绝对值,特殊角三角函数,积的乘方的逆运算,最后进行二次根式的加减即可;
(2)先算负整数指数幂,零指数幂,算术平方根,特殊角的三角函数,最后进行二次根式的加减即可.
【详解】解:(1)
;
(2)
.
20. 如图,在中,,,.
(1)求的面积;
(2)求的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,勾股定理,三角形的面积公式,熟练掌握勾股定理,等腰直角三角形的性质是解题的关键.
(1)过点作的垂线交的延长线于点,则.易得,利用三角形的面积公式即可得解;
(2)在中,利用勾股定理计算即可.
【小问1详解】
过点作的垂线交的延长线于点,则,
,
.
.
,
根据勾股定理得:
.
.
【小问2详解】
在中,,
,,,
.
21. 已知:如图在中,是边上的高,为边的中点,,,.求:
(1)线段的长;
(2)的值.
【答案】(1)5 (2)
【解析】
【分析】此题考查解直角三角形,等腰三角形的性质,直角 三角形的性质等知识点.
(1)在中,根据已知条件求出边的长,再由的长,可以求出的长;
(2)根据直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,求出,从而求出∠C的正切值即求出了的值.
【小问1详解】
解:∵是边上的高,和是,
在中,
∵,,
∴,
∴,
又∵,
∴;
【小问2详解】
解:在中,
∵E为斜边的中点,
∴,
∴,
∴.
22. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一批风力发电机,如图(1)某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量,图(2)为测量示意图(点,,,均在同一平面内,).已知斜坡长为20米,斜坡的坡角为,在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为,坡底与塔杆底的距离米,求该风力发电机塔杆的高度.
(结果精确到个位;参考数据:,,,)
【答案】32m
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质,解直角三角形的实际应用,过点作于点,作于点,先求解,,再证明,再利用锐角的正切可得,从而可得答案.
【详解】解:过点作于点,作于点
由题意得:,
在中,
,
,
,
四边形为矩形,
,,
,
在中.
,
答:该风力发电机塔杆的高度为.
23. 某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“蚊虫叮咬”,对教室进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y()与燃烧时间x()之间的关系如图所示.根据图象所示信息,解答下列问题:
(1)求正比例函数和反比例函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)据测定,当室内空气中每立方米的含药量低于,对人体无毒害作用.从消毒开始,至少需要经过多少分钟后,学生才能回到教室?
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌.你认为此次消毒是否有效?并说明理由.
【答案】(1),
(2)至少需要经过48分钟后,学生才能回到教室
(3)有效,理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用,熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键.
(1)设正比例函数表达式为,反比例函数表达式为,将代入即可求出反比例函数的表达式,再求出点的坐标,最后将点的坐标代入,即可求出正比例函数的表达式;
(2)把代入求出x的值,根据图象,分析其增减性,即可进行解答;
(3)将分别代入正比例函数和反比例函数表达式,求出其自变量的值,再计算两个自变量的差与进行比较,即可解答.
【小问1详解】
解:设正比例函数表达式为,反比例函数表达式为,
将点代入中得:
解得:
∴反比例函数的表达式为
把代入中得:,
解得:
∴
反比例函数的表达式为,
将点代入得:,
解得:
∴正比例函数的表达式为
【小问2详解】
解:将代入中得:,
解得:,
∴至少需要经过48分钟后,学生才能回到教室.
【小问3详解】
解:有效,
理由:把将代入中得:,
解得:,
把代入得:,
解得:,
∴,
∴此次消毒有效.
24. 已知反比例函数的图象与直线相交于点,.
(1)求直线与反比例函数解析式;
(2)求的面积;
(3)根据图象,直接写出当时自变量x的取值范围;
(4)若在x轴上有一点P,使得的面积是18,求P点坐标.
【答案】(1)直线的解析式为,反比例函数解析式为;
(2)的面积为;
(3)当时,自变量x的取值范围是或;
(4)P点坐标为或.
【解析】
【分析】本题考查求一次函数的解析式,求反比例函数的解析式,一次函数与反比例函数的综合.
(1)将点代入中,可得反比例函数的解析式,将点代入反比例函数的解析式可得,将点和分别代入,可得,,即可得一次函数的解析式;
(2)设直线与x轴交于点,可得点坐标,从而可得的长度,,代入计算即可;
(3)根据图象和交点坐标,即可得自变量的取值范围;
(4)设,,解方程可得,从而可得P点坐标.
【小问1详解】
解:将点代入中,
得,
∴
∴反比例函数解析式为,
将点代入中得
∴
将点和分别代入中,
得,
∴,
∴一次函数的解析式为,
∴直线解析式为,反比例函数解析式为.
【小问2详解】
解:设直线与x轴交于点,
令,则,
∴,
∴,
∴,
∵ , ,
∴
.
∴的面积为;
【小问3详解】
解:由图象可知,当时,或.
【小问4详解】
解:设,
∵
∴
∴
,
∵,
∴,
∴或,
∴或,
∴点坐标为或.
25. 在学习完锐角三角函数后,老师提出一个这样的问题:如图1,在中,,求(用含的式子表示).
聪明的小雯同学是这样考虑的:如图2,取的中点,连接,过点作于点,则,然后利用锐角三角函数在中表示出,在中表示出,则可以求出.
阅读以上内容,回答下列问题:在中,.
(1)如图③ ,若,则__,_____;.
(2)请你参考阅读材料中的推导思路,求出的表达式.(用含的式子表示)
【答案】(1);;
(2)
【解析】
【分析】此题考查了三角函数定义的应用,解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义,作辅助线作所求角的直角三角形.
(1)根据勾股定理求得,再根据三角函数的定义即可求得和,再根据求解即可;
(2)取的中点,连接,过点作于点,则,,在中表示出,勾股定理求得,即可求解.
【小问1详解】
由勾股定理可得:
由三角函数的定义可得,
由材料可得:
故答案为;;
【小问2详解】
取的中点,连接,过点作于点,如下图:
则,,,
在中,,
在中,,
在中,,
则
则
故答案为.
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