精品解析：山西省大同市第二中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级2025—2026学年度第一学期学情监测（一） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解决本题的关键是知道一元二次方程的概念． 根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）进行判断即可． 【详解】解：A．最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， 故选：C． 3. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列一元二次方程． 设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客万人，今年8月份接待游客万人，根据8月份接待游客增加到万人列一元二次方程即可． 【详解】设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x， 今年6月份接待游客10万人，则今年7月份接待游客万人，今年8月份接待游客万人， ∴， 故选：D． 4. 为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 6. 已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：D． 7. 已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．利用抛物线与轴的求交点是解题的关键；利用关于的一元二次方程的解一个为得到二次函数与轴的一个交点坐标为，然后利用抛物线的对称性得到二次函数与轴的另一个交点坐标为，从而得到方程另一个解． 【详解】解：关于的一元二次方程的解一个为， 二次函数与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点坐标为， 方程另一个解 故选：B 8. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解x的范围是（ ） x … … y … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查确定一元二次方程的近似根，根据二次函数图像与x轴交点的性质，当函数值y由负变正或由正变负时，对应的x区间内必有一个根．观察表格中y的值变化即可确定解的范围． 【详解】解：由表格数据可知，当时，（负数）；当时，（正数）． 因此，在到之间，函数值y由负变正， ∴方程在此区间内有一个解． 故选C 9. 在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 10. 已知二次函数的图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的位置判断的符号，再根据抛物线与轴的交点，判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线对称轴是轴的右侧，开口向上， ∴，， ∵与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 当时，， 即，故④正确； 综上可得：正确的结论为：①②③④，有4个． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解本题的关键是要明确：对于二次函数来说，①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴的左边； 当与异号时（即），对称轴在轴的右边．（简称：左同右异）③常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．④抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴无交点． 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案，熟记的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第______秒时的高度是最高的． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质的应用，解决本题的关键是利用二次函数的对称性解题． 根据二次函数的对称性，抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称这一性质求解即可． 【详解】解：∵此炮弹在第秒和第秒时高度相等， ∴由对称性可知，此炮弹飞行第秒时高度是最高的． 故答案为：． 13. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】考查了换元法解一元二次方程，设，由原方程得到求得t的值即可． 【详解】解：设，由原方程得到， 整理，得， 所以或（舍去）， 即的值为3． 故答案为：3． 14. 如图，在中，，cm，cm，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键在于根据三角形面积公式分别表示出和的面积，然后根据面积关系列出方程求解． 根据运动速度，可得，，则可表示与，再表示出和的面积，列式求解即可． 【详解】解：∵点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动， 且其速度均为，运动时间为， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积是的面积的一半， ∴， 整理可得， 解得，， ∵当时，点P运动路程为，不满足题意， ∴当的面积是的面积的一半时，的值为2． 故答案为：2 ． 15. 如图，正方形四个顶点坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 【答案】≤a≤3 【解析】 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝ax2， 当抛物线经过（1，3）时，a＝3， 当抛物线经过（3，1）时，a＝， 观察图象可知≤a≤3， 故答案为：≤a≤3． 【点睛】本题考查抛物线与正方形的交点问题，掌握抛物线与点的关系，利用待定系数方法求出抛物线张口最小时a的值与张口最大时a的值是解题关键． 三、简答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可求解． （1）根据因式分解法解一元二次方程； （2）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. “一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中． （1）以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是 ；（填“相等”或“不相等”） （2）为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米，则每条小路的宽度是多少米？ 【答案】（1）相等 （2）2米 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据等量关系建立等式求解一元二次方程是解决本题的关键． （1）根据图形平移的性质即可求解； （2）设小路的宽度为x米，根据除小路后菜地面积约为9048平方米，建立等式列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：将各种方案中的小路向左或向上平移后所得的图形均为下图： ∴四种方案的小路面积相等； 故答案为：相等； 【小问2详解】 解：设小路的宽度为x米， ∴， 整理可得， 解得，（舍）， ∴小路的宽度为2米． 18. 如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的相关知识，包含求二次函数图像与x轴的交点，以及三角形面积公式与二次函数的综合应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关知识 （1）令求解x的值，即可求解点的坐标； （2）设点，再根据，结合三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：令，即， 解得，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：设点， 由（1）知，， ∴， 即，解得， ∴， 当时，即， 整理可得，解得， 此时点的坐标为； 当时，即， 整理可得， ∴， ∴，， 此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或． 19. 《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米． （1）求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1） （2）垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及二次函数的性质，会求解一元二次方程并熟练掌握二次函数的增减性是解决本题的关键． （1）设垂直于墙的篱笆边长为米，则可表示，再利用长方形的面积求解即可； （2）先求解出边的取值范围，再根据面积表示为，结合二次函数的增减性求解最大值即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆的总长为米，设垂直于墙的篱笆边长为米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 当时，围成的菜地面积为平方米； 【小问2详解】 解：设围成菜地的面积为平方米， ∵墙的最大可用长度为米， ，即， 解得， 根据题意得：， ∵，且对称轴为， ∴当时随x的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为105， ∴垂直于墙的篱笆边长为7米时，围成菜地的面积最大，最大面积是105平方米． 20. 请仔细阅读并完成相应任务. 用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … 0 1 2 3 … y … ___ 3 ____ 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）. 步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或 任务： （1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______； （2）将材料中的表格补充完整，并画出图像； （3）请直接写出一元二次不等式的解集是______． （4）参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 【答案】（1） （2）表格和图像见解析 （3） （4）可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像性质，可利用二次函数图像性质求解一元二次不等式： （1）配方即可得到答案； （2）在二次函数解析式中，令和求出对应y的值，补全表格，在坐标系中描出点，用光滑曲线连接这些点即可； （3）根据图像，不等式的解对应二次函数图像在x轴上方时x的范围； （4）可以数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于， 当时，； 当时，； ∴表格补全为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 图象如下： ； 【小问3详解】 解：， 则函数图像取在x轴上方的部分，对应x的范围是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 21. 阅读与思考 下面是某同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如，的式子是完全平方式．下面是我想到的几种探究方案： 方案一： 【探究发现】 关于的完全平方式 二次项系数、一次项系数、常数项满足的关系 【归纳猜想】观察以上表格得出结论，若多项式是完全平方式，则系数，，之间满足________________． 【验证结论】请你写出一个完全平方式，并用此式验证你猜想的结论． ． ∵，，，且，， ∴，，∴． 方案二： 利用二次函数一般式化为顶点式进行探究． 把二次函数的右边配方， 得________________ ______________________ ______________________ 所以得出，可见当，即时，，此时为完全平方式． （1）方案一中通过几个特殊例子归纳出满足完全平方式条件的思想方法是____________（从下面选项中选出一个即可）． ．从特殊到一般 ．从一般到特殊 ．公理化 ．数形结合 （2）请补全材料中的内容． 方案一：__________； 方案二：写出配方步骤． （3）若多项式是一个完全平方式，请利用上述结论求出的值． 【答案】（1）； （2）；见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，配方法的应用，数学思想，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （）根据数学思想方法即可求解； （）通过表格可知，系数，，之间满足，然后通过配方法即可求解； （）由题意得，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：方案一中通过几个特殊例子归纳出满足完全平方式条件的思想方法是从特殊到一般， 故选：； 【小问2详解】 解：方案一：通过表格可知，系数，，之间满足， 故答案为：； 方案二： ； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， 当 时，二次项系数 ，常数项 ，满足题干中完全平方式的条件， ∴． 22. 项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元 【解析】 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； 对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值． 【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 所以一次函数关系式为． 故答案为：一次函数解析式为； （2）根据题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元． 23. 综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． （1）数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． （2）问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ （3）如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式． （2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量． （3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长． 【小问1详解】 解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． 【小问3详解】 解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级2025—2026学年度第一学期学情监测（一） 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一．随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力．某城市博物馆今年6月份接待游客10万人，8月份接待游客增加到万人．设该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率为x，则根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 7. 已知二次函数的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程的一个解x的范围是（ ） x … … y … A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象如图所示，则①；②；③；④，其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分）． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药)、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器，在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且与的关系式为．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第______秒时的高度是最高的． 13. 已知a、b实数且满足，则的值为_______． 14. 如图，在中，，cm，cm，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为______． 15. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是_____． 三、简答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）. 17. “一犁新雨破春耕，野草闲花次第生”，为了让同学们更好地感受中华传统农耕文化的魅力，培养青少年懂得劳动之义，知晓劳动之责，厚植劳动情怀；为了便于种菜、浇地、采摘等劳动课程的开展，老师请同学们参与一块长为120米，宽为80米的矩形菜地的方案设计，以下是同学们对菜地小路设计的研究过程． 要求：设计的每一条小路要连接矩形菜地的一组对边．同学们设计的方案主要有如下图所示的甲、乙、丙、丁四种典型的方案，四幅图中． （1）以上四种方案小路面积的大小关系？你的判断是 ；（填“相等”或“不相等”） （2）为施工方便，学校选择甲方案设计，并要求除小路后菜地面积约为9048平方米，则每条小路的宽度是多少米？ 18. 如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 19. 《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．九年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为15米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践，设垂直于墙的篱笆边长为米． （1）求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； （2）求垂直于墙的篱笆边长为多少米时，围成菜地的面积最大？最大面积是多少平方米？ 20. 请仔细阅读并完成相应的任务. 用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … 0 1 2 3 … y … ___ 3 ____ 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）. 步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或 任务： （1）“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式______； （2）将材料中的表格补充完整，并画出图像； （3）请直接写出一元二次不等式的解集是______． （4）参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 21. 阅读与思考 下面是某同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 形如，的式子是完全平方式．下面是我想到的几种探究方案： 方案一： 【探究发现】 关于完全平方式 二次项系数、一次项系数、常数项满足的关系 【归纳猜想】观察以上表格得出结论，若多项式是完全平方式，则系数，，之间满足________________． 【验证结论】请你写出一个完全平方式，并用此式验证你猜想的结论． ． ∵，，，且，， ∴，，∴． 方案二： 利用二次函数一般式化为顶点式进行探究． 把二次函数的右边配方， 得________________ ______________________ ______________________ 所以得出，可见当，即时，，此时为完全平方式． （1）方案一中通过几个特殊例子归纳出满足完全平方式条件的思想方法是____________（从下面选项中选出一个即可）． ．从特殊到一般 ．从一般到特殊 ．公理化 ．数形结合 （2）请补全材料中的内容． 方案一：__________； 方案二：写出配方步骤． （3）若多项式是一个完全平方式，请利用上述结论求出的值． 22. 项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 23. 综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． （1）数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． （2）问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ （3）如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $