精品解析：山东省东营市部分学校联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025年10月全县综合素养考试八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 5. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 6. 下列分式的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 7. ( ) A. B. C. D. 8. 多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A. x﹣1 B. x+1 C. x2﹣1 D. （x﹣1）2 9. 已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10. 已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ） A. 15,17 B. 16,17 C. 15,16 D. 13,14 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若分式的值为0，则的值为_______． 12. 如果关于x和y的代数式是一个完全平方式，那么m的值为______． 13. ______． 14. 若，，则式子的值是_____． 15. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a3﹣ab，那么将a⊗16进行分解因式的结果为_____． 16. 比较大小：______（选填） 17. 如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．观察图形，发现多项式可因式分解为____________． 18. 若，则我们把称为x的“和1负倒数”，如：2的“和1负倒数”为，的“和1负倒数”为．若是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”，…，依次类推，的值是______ 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19. (1)先约分，再求值：，其中； (2)先把分式化简，再从中取一个适当的整数x代入求值． 20. 把下列各式因式分解∶ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）简便计算∶ 21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 22. 某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解，m2－mn+2m－2n =(m2－mn)+(2m－2n)=m(m－n)+2(m－n) =(m－n)(m+2)．以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题： （1）因式分解a3－3a2－9a+27； （2）因式分解x2+4y2－4xy－16； （3）已知a，b，c是ABC的三边，且满足，判断ABC的形状并说明理由． 23. 如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）． （1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ． ① a2＋ab＝a（a+b） ② a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ③ a2－b2＝（a＋b）（a－b） （2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值； ②计算 24. 教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ （1）用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) （2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月全县综合素养考试八年级数学试题 （时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，正确理解因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐项判断即可求出答案． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、右边不是整式的积的形式，是分式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意； C、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意； D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 小梅和小丽在因式分解关于x的多项式时，小梅获取的其中一个正确的因式为，小丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后可得a、b的值，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】A、=，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、=x-3y，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 4. 如图，长宽分别为a、b的长方形周长为16，面积为12，则的值为（ ） A. 80 B. 96 C. 192 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则． 故选：B． 【点睛】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解，理解题意是解题关键． 5. 把分式中的和都扩大2倍，分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大4倍 【答案】B 【解析】 【分析】把原分式中的和都扩大2倍得到，再根据分式的基本性质化简得到，即可得到答案． 【详解】解：分式中的和都扩大2倍， 原分式变形为：， 把分式中的和都扩大2倍，分式的值扩大2倍， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 6. 下列分式的变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的基本性质依次判断即可． 【详解】A. ，故此选项不符合题意； B.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题； C.是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意； D.，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质和最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 7. ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 8. 多项式4x2﹣4与多项式x2﹣2x+1的公因式是（　　） A. x﹣1 B. x+1 C. x2﹣1 D. （x﹣1）2 【答案】A 【解析】 【分析】分别将多项式 与多项式 进行因式分解，找出公因式即可； 【详解】解：多项式：，多项式：， 则两多项式的公因式为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 9. 已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 10. 已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（ ） A. 15,17 B. 16,17 C. 15,16 D. 13,14 【答案】A 【解析】 【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除. 【详解】=(216+1)(216-1)= (216+1)(28+1) (28-1) = (216+1)(28+1) (24+1) (24-1) = (216+1)(28+1) (24+1) (22+1) (22-1) = (216+1)(28+1) ×17 ×5×3 = (216+1)(28+1) ×17 ×15 ∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除. 故选A. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）是解答本题的关键. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若分式的值为0，则的值为_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】已知分式的值为0，可得分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】∵分式的值为0 ∴=0 ∴ 解得x=-2 故答案为：-2 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零需要满足两个条件，分母的值不为零，分子的值为零． 12. 如果关于x和y的代数式是一个完全平方式，那么m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方式求参数，根据完全平方式的特点，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故答案为：． 13. ______． 【答案】246 【解析】 【分析】本题考查利用平方差公式进行简算，逆用乘法分配律和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：246 14. 若，，则式子的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】对要求的式子进行转化，用与表示，代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用及代数式求值问题；对要求的式子进行转化，用与表示是正确解答本题的关键． 15. 对于非零的两个实数a，b，规定a⊗b＝a3﹣ab，那么将a⊗16进行分解因式的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16. 比较大小：______（选填） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式的变形得到，进行求解即可． 【详解】解：∵； ∴； 故答案为：． 17. 如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（）．观察图形，发现多项式可因式分解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长与宽的乘积计算，两者相等即可确定多项式因式分解的结果． 【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为， 长方形的面积也可以为， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键． 18. 若，则我们把称为x的“和1负倒数”，如：2的“和1负倒数”为，的“和1负倒数”为．若是的“和1负倒数”，是的“和1负倒数”，…，依次类推，的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据和1负倒数的定义分别计算出，，，，则得到从开始每3个值一循环，据此求解可得．本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 【详解】解：， ， ， ， 此数列每3个数为一周期循环， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共66分） 19. (1)先约分，再求值：，其中； (2)先把分式化简，再从中取一个适当的整数x代入求值． 【答案】（1），12（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）根据分式的基本性质化简，再代值计算即可； （2）根据分式的基本性质化简，再选择一个使分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解：（1）原式， 当时，原式； （2）原式； ∵是整数，且， ∴， 当时，原式． 20. 把下列各式因式分解∶ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）简便计算∶ 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）16 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）利用完全平方公式法进行因式分解即可； （5）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （6）利用完全平方公式进行因式分解，进行简算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式； 【小问5详解】 解：原式； 【小问6详解】 解：原式． 21. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； 【小问2详解】 分解结果不彻底， 原式 ； 【小问3详解】 设， 原式． 22. 某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解，m2－mn+2m－2n =(m2－mn)+(2m－2n)=m(m－n)+2(m－n) =(m－n)(m+2)．以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题： （1）因式分解a3－3a2－9a+27； （2）因式分解x2+4y2－4xy－16； （3）已知a，b，c是ABC的三边，且满足，判断ABC的形状并说明理由． 【答案】 （1）(a+3)(a－3)2；（2）(x－2y－4)(x－2y+4) ； （3）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a－c－b＜0． ∴a－c=0， ∴a=c， ∴△ABC是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得到a2(a－3)－9(a－3)，然后利用提公因式法和平方差公式分解因式即可； （2）先利用完全平方公式得到 (x－2y)2－42，再利用平方差公式分解因式即可； （3）由即可得到则，再由三角形三边的关系即可得到a－c=0，从而得到答案． 【详解】解：（1）a3－3a2－9a+27 =a2(a－3)－9(a－3) =(a2－9)(a－3) =(a－3)(a+3)(a－3) =(a+3)(a－3)2； （2）x2+4y2－4xy-16 =(x2－4xy+4y2)－16 =(x－2y)2－42 =(x－2y－4)(x－2y+4)； （3）略 【点睛】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，等腰三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法． 23. 如图①是由边长为a的大正方形纸片剪去一个边长为b的小正方形后余下的图形．我们把纸片剪开后，拼成一个长方形（如图②）． （1）探究：上述操作能验证的等式的序号是 ． ① a2＋ab＝a（a+b） ② a2－2ab＋b2＝（a－b）2 ③ a2－b2＝（a＋b）（a－b） （2）应用：利用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知4x2－9y2＝12，2x＋3y＝4，求2x－3y的值； ②计算 【答案】（1）③；（2）①3；② 【解析】 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把利用（1）中的结论写成两个式子相乘的形式，然后把代入即可求解； ②利用（1）中的结论化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】解：（1）第一个阴影部分的面积是，第二个图形的面积是 则 故选：③ （2） 又 故答案为：3 ②原式 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差的实际证明与运用，通过面积相等构造等量关系得出平方差公式，再运用平方差公式求解，属于找规律一般题型． 24. 教科书中这样写道∶"形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式"，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形∶先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如∶分解因式∶． 解∶原式； 再如∶求代数式的最小值． 解∶； ∵，∴原式，即当时，原式有最小值． 学以致用∶ （1）用配方法分解因式∶；(其他方法不得分) （2）用配方法求多项式的最大值？并求出此时x的值． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）当时，多项式有最大值13 （3）5 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握配方法，是解题的关键： （1）仿照题干所给的方法，进行因式分解即可； （2）配方法求最值即可； （3）配方法结合非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 由题意，∵， ∴当时，多项式有最大值13； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $