精品解析：山东省日照市东港区新营中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年度上学期 九年级数学阶段性检测题 一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 3. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 5. 如图，中，，将绕点A旋转逆时针旋转α度后得到，点E恰好落在上，则（ ） A. B. C. D. 6. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（ ） A. B. 8 C. D. 8. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，，将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为______． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 14. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为________． 15. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）可由绕点旋转得到，请找出点的位置并写出它的坐标______． 18. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 19. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 21. 在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． （1）若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； （2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 22. 已知抛物线． （1）若，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）若抛物线对称轴为直线． 点、在这条抛物线上，当且时，请判断与的大小关系，并说明理由． 点、是这条抛物线上不同的两点，点在直线上，求的取值范围． 23. 问题提出： （1）如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　． 问题探究： （2）如图2，在四边形中，，，．求的值； （3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期 九年级数学阶段性检测题 一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，但是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 下列说法中，不正确的是（ ）． A. 直径是最长的弦 B. 同圆中，所有的半径都相等 C. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 长度相等的弧是等弧 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】解：A、直径是最长的弦，原说法正确，不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，不符合题意； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，原说法正确，不符合题意； D、同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，原说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查了圆的认识，中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 3. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 4. 将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ） A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．根据题意，原来的顶点坐标为，平移后顶点坐标为，且，根据平移规律解答即可． 【详解】解：根据题意，原来的顶点坐标为，平移后顶点坐标为，且， 故向上平移5个单位， 故选：A． 5. 如图，中，，将绕点A旋转逆时针旋转α度后得到，点E恰好落在上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得到，则，由此根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵中，， ， 由旋转的性质可得， ， ， ， 故选：C． 6. 某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销量的减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少10件，则写出利润y与单价x之间的函数关系式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．单价为x元，单价提高了元．原来每月能售出400件，每涨价1元，月销售量就减少10件．涨元，那么月销售量就减少件，再根据利润每件利润数量即可求得解析式． 【详解】解：根据题意得： 利润y与单价x之间的函数关系式为：． 故选：B． 7. 如图，正方形的边长为4，点在边上，，点在上，与直线交于点（点在点右侧），则的长度为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由正方形性质可得，，，然后用勾股定理求出半径，再求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵正方形的边长为4，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、圆的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关圆的性质，属于中考常考题型． 8. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③若是抛物线上两点，则；④；⑤，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及二次函数的对称性．开口向上，则；反之，．对称轴在轴左侧，则同号；反之，则异号；图象与轴交点在轴上方，则；反之，则；据此即可进行判断． 【详解】解：∵二次函数对称轴是直线，且过点， ∴二次函数还过点， 补全二次函数的图象，如图所示： ∵图象开口向上，则， ∵对称轴是直线， ∴ 即：，故②正确； ∵图象与轴交点在轴下方， ∴， ∴，故①正确； ∵， 由图象可知，当时，随的增大而减小． ∴，故③错误； 由图象可知：当时，， 故④正确； ∵当时，， 又∵ ∴，故⑤正确； 故选：D 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，，将四边形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，连接，过点作，垂足为，可证，得出，通过解直角三角形得到点的坐标为，由每旋转次为一个循环，即可得出第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位置相同，从而得出第次旋转结束时，点的坐标为，即可求解，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第次旋转后点的位置是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作， 垂足为，如图所示， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴点的坐标为， ∵每次旋转，， ∴每旋转次为一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点的位置和第次旋转结束时点的位置相同， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 10. 二次函数的图象经过点，向左平移个单位长度后得到新抛物线，直线与新抛物线有两个交点，，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，先根据对称性得到抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线对称轴为直线；再证明，则点Q离平移后抛物线的对称轴的距离小于点P离平移后抛物线的对称轴的距离，则有，解之即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，且与y轴交于， ∴抛物线对称轴为直线， ∴平移后的抛物线对称轴为直线， ∵直线与新抛物线有两个交点，， ∴， ∵， ∴原抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线开口向下， ∴点Q离平移后抛物线的对称轴的距离小于点P离平移后抛物线的对称轴的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题．（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点和点关于坐标原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即的取值范围为：且． 故答案为：且． 13. 某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离（米）关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行______秒才能停下来． 【答案】16 【解析】 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案． 【详解】解： 解：∵， ∴当时，Ｓ取得最大值64， 即飞机着陆后滑行16秒才能停下来． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值是解题的关键． 14. 如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，点在上，延长交于点．若，，则的长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据矩形得出，，，由旋转的性质可得，勾股定理求出，连接，证明，得出，设，则，在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键在于对知识的熟练掌握和灵活运用． 15. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ， 的最小值为12， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，配方法的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 17. 正方形网格中（每个小正方形边长是1，小正方形的顶点叫做格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的． （2）画出关于点的中心对称图形． （3）可由绕点旋转得到，请找出点的位置并写出它的坐标______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求． （3） 如图所示，M点即为所求，其坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． （1）将点A、C分别绕点B逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作的中垂线，交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 设二次函数（，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若， 求二次函数的表达式； 求的值． （2）若在m，n，p这三个实数中只有一个是正数，判断二次函数图象开口的方向． 【答案】（1）①；②3 （2）开口向下 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；②将a、b值代入中求解即可； （2）根据表格数据得到对称轴为直线，进而可得是顶点，和关于对称轴对称，则，根据二次函数的图象特征求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是； ②∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵和时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称，则， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下， 即该二次函数图象的开口向下． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 19. 某隧道口是圆弧形拱顶，圆心为，隧道口的水平宽为，离地面的高度，连接，拱顶最高处离地面的高度为，在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度均为． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）AO的长是 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． （1）设交于点、交于点，根据垂径定理求出；设，用含的代数式将表示出来，在中利用勾股定理列关于的方程并求解即可； （2）连接，根据题意可知，求出，从而求出，在中利用勾股定理求出，再利用垂径定理计算即可． 【小问1详解】 解：如图，设交于点、交于点． 根据题意，得， ， ， 设， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ， ， 的长是； 【小问2详解】 解：如上图，连接． ，离地面的高度均为， ， ，， ， ， 在中利用勾股定理，得， ． 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 21. 在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为． （1）若， ①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？ ②若喷出的抛物线形水线最大高度为，求、的值； （2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时的取值范围． 【答案】（1）①抛物线水线最大高度是米；②， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式，掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）①根据喷出的水恰好达到岸边，由抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴是直线，再把代入，求出y值即可求解； ②根据抛物线水线最大高度达4米，则抛物线顶点的纵坐标为，把代入求得，即可求解； （2）根据，得出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的顶点在直线上，得到，求得，然后根据喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边，得，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ①∵喷出的水恰好达到岸边 ∴抛物线过， ∵抛物线过原点， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴当时，， ∴抛物线水线最大高度是米； ②∵抛物线水线最大高度达4米， ∴抛物线顶点的纵坐标为， 当 时，， 解得：， ∴抛物线的顶点是， ∴， ∵抛物线过原点， ∴， 解得， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ∴，即， 解得． 22. 已知抛物线． （1）若，直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标． （2）若抛物线对称轴为直线． 点、在这条抛物线上，当且时，请判断与的大小关系，并说明理由． 点、是这条抛物线上不同的两点，点在直线上，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）；． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式以及二次函数的性质是解题的关键． （）将代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标； （）由，，对称轴为直线，可得，然后通过，抛物线上的点离对称轴距离越近，则函数值越小，即可得出； 由点在直线上，则，又抛物线对称轴为直线，可得出抛物线为，然后将的表达式以及代入，从而可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线上的点离对称轴距离越近，则函数值越小， ∴； ∵点在直线上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为， ∵点、是这条抛物线上不同的两点， ∴，， ∴ ， ∵点、是这条抛物线上不同的两点， ∴，即， ∴， ∴对于任意都有， ∴， ∴． 23. 问题提出： （1）如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　． 问题探究： （2）如图2，在四边形中，，，．求的值； （3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，得出，证明即可； （2）将绕点A逆时针旋转到，连接，证明，得出，，证明，得出在同一直线上，证明，求出即可得出答案； （3）在AB上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，说明最小时最小，根据垂线段最短，当点P与点E重合时，最小，即最小，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：； 【小问2详解】 将绕点A逆时针旋转到，连接，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 在上截取，连接，过点D作于点E，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴最小时最小， ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为2． ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $