福建省永春第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

永春一中2025年10月高二年月考数学科试卷(2025.10) 考试时间.120分钟，试卷总分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知a=(1,3,-2),6=(-2,-x,4),且d∥，则x= () A.-5 B.3 C.4 D.6 2.经过A(3,-1),B(-3,5)两点的直线的倾斜角是 () A.-45 B.-30 C.135 D.150 3.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,CD,中，动点M在线段BD上，动点N在线段AD1上，则MN长 度的最小值为() A.1 B号 C.√5 D.3 4.若直线mc+ny=2过点A(2,2),其中m,n是正实数，则⊥+2的最小值是 () m A.3+√2 B.3+2√2 c号 D.5 5.棱长为1的正方体ABCD-A:B,CD1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面 ADDA1上运动，满足BQ⊥平面ADP,则线段PQ的最小值为 B A.v6 3 B.1 C.2 D.3 6.已知点M(-3,1),N(3,2),P(1,-1),设过点P的直线为l,取线段MN上一点 Q.若Q1.则直线斜率的取值范围是 A(←-0,2] B() c[-号+m D.(-o,-]u[号+o) 7.已知{à，，心是空间的一组单位正交基底，若向量方在基底{a,6,科下用有序实数组表示为 (3,2,1),则与向量节同向的单位向量在基底{，+亡，-斗下用有序实数组表示为 () A(竖g,-) 28 (,9,〉 c(,) (没) 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=1,BD=√尽，F是DC的 中点，沿BD将△BCD翻折至△BCD的位置，使得平面BC'D⊥平面 ABD.若E是直线BC的点，求直线F与平面ABC所成角正弦值的最大 值是 () A. B.2② D.③ 4 3 c.v 3 2 高二年数学科试卷第1页，共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知点A1,2,),B(3.3,2),C(+1,4,3),若店，AC的夹角为锐角，则1的值可能为(). A.-2 B.4 C.6 D.8 10.已知直线过点1，V),日与轴和y轴围成一个有个内角为晋的直角三角形，则满足条件 的直线的方程可以是 () A.y-V=-3(x-1) By-5=-9e-刘 cy-g=9e-刘 D.y-√5=(x-1) 1.直四棱柱ABCD-AB,CD,的所有棱长都为4，∠BAD=号， 点P在四边形BDD,B,及其内部 运动，且满足PA+PC=8,则下列选项正确的是 ( A.点P的轨迹的长度为π. B.直线AP与平面BDDB所成的角为定值. C.点P到平面ADB的距离的最小值为2W豇 7 D.PA·PC的最小值为-2. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.如下图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F分别为AB,DD,的中点，若E本=DA+D心+ DD,则x+y十x= 13.将直线y=x绕点(1,1)逆时针旋转150°得到的直线的点斜式方程是 14如下图O,在R陆△ABC中，C=号，AC=BC=2,D,B分别为AC,AB的中点，将 △ADB沿DE折起到△A1DE的位置，使AD⊥CD,如图②.若F是A1B的中点，则四面体 FCDE的外接球体积是 A B F D Di E ① ② 第12题 第14题 高二年数学科试卷第2页，共4页 四、本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.某果园试种了A,B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如 下表，记A,B两个品种各10棵的产量的平均数分别为花和，方差分别为和防. A(单位：kg) 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90 B(单位：kg) 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100 (1)求A品种的10棵桃树产量的第80百分位数： (2)求E,,s,s3: (3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理 由. 16.如图，在平行六面体ABCD-A1B,CD1中，E,F,G分别在AA,BB,DD上，且A1E=2EA,BF =2FB,DG=2GD (1)求证：EG∥FPC; (2)若底面ABCD和侧面A1ADD1都是正方形，且二面角A1-AD-B的大小为120°，AB=2,P是 CG的中点，求AP的长度 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,i,c,且3(sinA-sinC=3b-2c sinB a+c (1)求cosA的值： (2)点D在边BC上，BD=3DC,AD=√5 ()求△ABC面积的最大值： ()求a的最小值， 高二年数学科试卷第3页，共4页 18.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=2,BC=2W2,PB=PC=√6，BP,AP, BC的中点分别为D,E,O,AD=√5DO,点F在AC上，BF⊥AO (1)证明：EF∥平面ADO: (2)证明：平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 19.高斯-博内公式是大范围微分几何学的一个经典公式，是关于曲面的图形（由曲率表征）和拓扑 (由欧拉示性数表征)间联系的一个重要表述，建立了空间的局部性质和整体性质之间的联系。其 特例是球面三角形总曲率z与球面三角形的面积S满足：=是，其中R为球的半径。如图1，把 球面上的三个点用三个大圆（以球心为圆心的圆）的圆弧连接起来，所围成的图形叫做球面三角 形，若平面OAB,平面OAC,平面OBC两两所成的二面角的平面角分别为a,B,Y,则球面 三角形的面积S=(a+B+Y-π)，已知R=3. ()若图1中∠BOC=背，求劣弧C的长： (②)若图1中球面三角形ABC中的劣弧AB,BC,C网的长均为亚，求球面三角形ABC的总曲率 2x; (3)由图1截出三棱锥O-ABC,并延长AO使OD=AO,得到图2所示的三棱锥D-ABC,若 c0s∠ACC=号，c0s∠BOC=号，A0⊥OB,E为线段BD上的-个动点，F为AC中点，G为 BC中点，设平面OBC与平面EFC的夹角为B,直线DA与平面ABC所成的角为P,求in2的最 sin 大值. 图1 图2 高二年数学科试卷第4页，共4页永春一中2025年10月高二年月考数学科试卷（2025.10) 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.D2.C3.C4.B5.A6.B 7.D 【解析】因为向量在基底{a,b,c下用有序实数组表示为(3,2,1)， 所以与向量同向的单位向量元的有序实数组表示为 0+8,21=(0,2 设与向量同向的单位向量杭在基底{à，+，-}下有序实数组表示为{，y,z}, 所以元=xd+y(6+d)+z(-c)=xd+(y+z)6+(y-z)c, x=3 14 /x=3V▣ 14 又医为-3+2+0云所以 g+z=2,解得{y=3 14 14 28 y-z=V 14 28 则与向量节同向的单位向量元在基底伍，5+三，6一到下用有序实数组表示为（②，2没，妥 故选：D. 8.A 【解析】因为AB=DC=DC'=2,AD=BC=BC'=1,BD=√3， 所以BCP+BD2=DC2,即BC'⊥BD, 又平面BCD⊥平面ABD,平面BCD与平面ABD相交于BD, 所以BC'⊥平面ABD,又BD,BCC平面ABD, 所以BC'⊥BD,BC'⊥BC,又BD⊥BC, 建立以B为坐标原点，以BC,BD,BC,为x,y,z轴的空 间直角坐标系，如图所示， 则B0.0,0,A-15,0,C0.0,1,r0,9,号》 因为E是直线BC的一点，设E(m,0,0), B 所以厨=(-15.0,8C=0.0,1,丽=(-m,9,号月 设平面ABC的法向量为元=(x,y,z), 则不BC=0,即3g=0,解得元=，1,0。 i·BA=0 1z=0 设EF与平面ABC'所成角为U, EF, 则sin0=cos(E乎，) -v3m+| (2m-12 E成√m2+1×3+1 21V4m2+4 当m=号时，sin0=0, 令t=2m-1≠0， 高二年数学科试卷第5页，共4页 则.sin0=V t2 3 2Vt++4=2√++1 3 2 t2 √5（+Y+ 当号=号时，即t=-5:m=-2时，（n0)= 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.CD 【解析】由题意知AB=(2,1,1),AC=(1,2,2),:AB,AC的夹角为锐角，.ABAC=21+2+2> 0,且号≠2，解得>-2且≠4，故A的取值范围为(-2，U4,+o.选项C、D符合题意 故选：CD 10.ABC 【解析】由题意知，直线1的倾斜角可以是吾或号或否或牙，所以直线的斜率k=a晋= 3 6 3 6 3 或k=tan5=5或k=tan匹=3或k=tan2:-√3，所以直线l的方程可以为g-V5 3 63 3 =9e-)或g-g=5e-0或y-5=9(e-10度g-=8e-0.由g-5 =√(x-1),整理得y=Vx,此时直线l过原点，无法与x轴和y轴围成直角三角形，舍去.故选 ABC. 11.BC 【解析】直四棱柱ABCD-ABC1D的所有棱长都为4，则底面ABCD为菱形， 又∠BAD=-子，则△ABD和△CBD都是等边三角形， 设BD与AC相交于点O,由BD⊥AC,以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O垂直于底 面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有A(2√3,0,0)，B(0,2,0),C(-2W3,0,0),D(0,-2,0),A(2W3,0,4),B(0,2,4), C1(-2W3,0,4),D(0,-2,4),点P在四边形BDDB及其内部运动， 设P(0,y,z),-2≤y≤2,0≤z≤4， 由PA+lPC=8,有√/(2W32+y2+2+√(-2W3+y+2=8, 即y+z2=4(-2≤y≤2,0≤z≤2)， D 所以点P的轨迹为yOz平面内，以O为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点P的轨迹的长度为2π，A选项错误： B 平面BDDB的法向量为元=(1,0,0)，AP=(-2W3,y,z), AP.m 直线AP与平面BDDB所成的角为6，则sin0= 2w3 AP到 √12+y2+z2 2 又由6c[0,受]，则6-吾，所以直线AP与平面BDD,B所成的角为定值，B选项正确： AB1=(-2W3,2,4),AD(-2W3,-2,4),设平面ADB的一个法向量为元=(x,y,z), 则有 ABi=-23+2y+z=0,令r=2,得y=0,2=5,元=(2,0，V5), AD·元=-2W5x-2y+4z=0 所以点P到平面AD,B,的距离d= AP_-2w3×2+3之_-4W3+34 V22+(W3y 7 高二年数学科试卷第6页，共4页 0≤z≤2，所以z=2时，d=上3+2W8-22 √7 7 所以点P到平面AD,B,的距离的最小值为2工，C选项正确： 7 PA=(2W3,-,4-z),PC=(-23,-,4-z, PA1·PC=-12+y2+(z-4)2,其几何意义为点P(y,z)到点(0,4)距离的平方减12， 由y2+z2=4,点P(y,z)到点(0,4)距离最小值为4-2=2， PA·PC的最小值为22-12=-8，D选项错误 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-1 13.y-1=(2-3)(x-1)(答案不唯一) 【解析】因为直线y=x的斜率为1，所以其倾斜角为45°.将直线y=x绕点(1,1)逆时针旋转150°，所 得直线的倾斜角为45°+150°-180°=15°，所以所求直线的点斜式方程为y-1=(2-√3)(x-1) 149✉ 【解析】解：依题意CD⊥DE,AD⊥DE,AD∩DC=D,AD,DCC 平面ADC,所以DE⊥平面ADC,又AD⊥CD,如图建立空间直 角坐标系，则D(0,0,0)、C(1,0,0)、E(0,1,0)、B(1,2,0)、 A00,1小、P分1，号)依题意△DCE为直角三角形， D2 所以△DCE的外接圆的圆心在CE的中点（号，，0）， 设外接球的球心为M号，号，m),半径为R 则DM=|MF=R 即R=V3+(合+m2=√兮+1-+（份-m,解得m=0, 所以R=号，所以外接球的低积V-言代= 3: 四、本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 【解析】(1)由题意将A品种的10棵桃树产量从小到大排列为： 40,50,60,60,70,80,80,80,90,90: -1分 且10×0.8=8，则第80百分位数为第8位和第9位数的平均数：80+90=85. 3分 2 故A品种的10棵桃树产量的第80百分位数为85. -4分 (2)由题意可得元=60×2+50+40+70+80×3+90×2=70， -5分 10 则号=0[(60-70Y×2+(60-70+(40-70+(70-70+(30-70×3+(90-70×2] =010×2+400+90+0+100×3+40×2)=260: -7分 g=60x2+50+40+70+80×4+100=70, -8分 10 号=0[〔60-707×2+50-709+(40-707+(0-709+(s0-707x4+100-707 高二年数学科试卷第7页，共4页 =0100×2+40+90+0+100×4+90)=280 -10分 (3)种植A品种，因为元=9=70，但是s1=260<s号=280， 12分 所以A品种产量较稳定. ---------13分 16. 【解析】(1)证明：在平行六面体ABCD-ABC,D中， .AE=2EA,BF=2FB,DG=2GD , -1分 ∴M=子AM,DC=-号m,丽=吉B丽， 3分 又AD=B,C,AA=BB=DD, 4分 :G=BA+AD+DC=号AM+BC-吉AM=吉B丽+BC=丽+BC=FC 又EG,FC不重合，∴.EG∥FC: -6分 (2)由题意可知AA⊥AD,AB⊥AD,平面ABCD∩平面AADD=AD, .∠AAB为二面角A1-AD-B的平面角，即∠A1AB=120°，- -8分 A6AM=2×2×(-号）=-2 -9分 连接AC,AG,P是CG的中点， =}(aG+AC=号(Ad+DG+花+Bd+C=A币+名A+号， --10分 驴=（而+名+号 =A0+需4+}+号币4+吾4丽A+A币A丽 =+需×1+片×4+0+音×2+0=的， 9 13分 6 则=，即P= 3 -15分 17. 【解析1(1)因3(sinA-sinC)=3b-2e sinB a+c 由正弦定理边角互化可得： 3(sinA-sinC)_3(a-c)=36-2c3a2-3c2=362-26c- -2分 sinB a+c 3b2+c2-a2 2be =c0sA=子： 3分 (2)1)因BD=3DC,则BD=3BC, -4分 又注意到AD=A店+BD=A+足BC=A店+足(AC-A=子A丽+足AC, ---5分 4D-3.则0-(}0+C-3-68+是+5e →c2+9b2+2bc=48, -7分 由基本不等式，48=c2+9b2+2bc≥2Wc2.9b2+2bc=8bc→bc≤6， 8分 又由.血A=1-as万-22，则3e号cnA≤2万 9分 当且仅当c2=9b2,即c=3b时取等号 -10分 ()设号=，则c=bk,其中k>0, 高二年数学科试卷第8页，共4页 又c2+962+2bc=48,则b2k2+9b2+2bk=48→b2= 48 -11分 k2+2k+9 由回)可得+城c2-号→+心-号c-公2+状-号桃-的 2bc 则2-0+1-号刻=号(-2张+3)-163+号 -12分 k2+2k+9 注意到163-2张+3=16.32+26+9-8+3】=18-128 k十3 2+2k+9 k2+2k+9 k2+2k+9 对于+3 0+26+9’令k+3=t,其中t>3. t t 1 则=t=3,2+2k+9（t-3Y+2t-3)+92-4+10 2t+是-4 1 1=3+1, --13分 2√'-4 4W3-4-8 当且仅当t=2,即t=23与9=2W5-3时取等号， 14分 t b 则a2=48-128,k3。≥48-128×5，+1=32-16W5, 2+2k+9 8 则a≥v82-6E-方4-25-22wg-1-2w6-2w -15分 18 【解析】(1)连接DE,OF,设AF=tAC, 则丽=B丽+币=(1-丽+B元，A0=-B丽+BC,BFLA0, -2分 BAG=[(1-t)B+](-BA+B)=(t-1)=(t-1)+=0. 解得t=号，则F为AC的中点， -3分 由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点， 于是DE∥AB,DB=AB,OF∥AB,OP=号AB, 即DE∥OF,DE=OF,则四边形ODEF为平行四边形， -4分 EF∥DO,EF=DO,又EF丈平面ADO,DOC平面ADO, 所以EF∥平面ADO. - -6分 ②法：由1可知P∥0D,则A0=6,D0-,得AD=5D0= 2 ---7分 因此OD+A0°=AD=5,则OD1A0,有EF1A0, -8分 又AO⊥BF,BF∩EF=F,BF,EFC平面BEF, 则有AO⊥平面BEF,- -10分 又AOC平面ADO,所以平面ADO⊥平面BEF. ------ 12分 法二：因为AB⊥BC,过点B作z轴⊥平面BAC,建立如图所示的空间直角坐标系， A(2,0,0,),B(0,0,0),C0,2W2,0), 高二年数学科试卷第9页，共4页 在ABDA中，cos∠PBA=DB+AB?-DE-是+4- -7分 2DB·AB 2×2×5 √6 在APBA中，PN=P8+AB-2PB:ABc0s∠PBA=6+1-26X2×(6)=14, [PA=√14 (x-2)2+y2+2=14 设P(x,,z),所以由PB=√6可得： x2+y2+z2=6 PC=V6 x2+(y-2W2)2+z2=6 可得：x=-1,y=√2，z=√5，所以P(-1,√2，√)， -9分 则-分号，所以安竖竖1区.o 0=(22.0面-（号号9） 设平面AD0的法向量为元=（西，1，乙）， 则元AC=0得 -2x1+√24=0 4币=0'得{-多+受+a=0 令=1，则=√2，乙=V, 所以元=(1，√2，√3)，- -10分 E=号竖9)，=10 设平面5F的法向量为成-（鱼，小，则心所0有层+号叶9=0 72·BF=0 x2+√2y2=0 令2=2，则2=-√2,2=0，所以元=(2，-√2,0)， -11分 7·n2=2×1+√2×(-√2)+0=0， 所以平面ADO⊥平面BEF: -- 12分 (3)法一：过点O作OH∥BF交AC于点H,设AD∩BE=G, 由A0LBR,得H0⊥A0,且阳=合AH, -13分 又由(2)知，OD⊥AO,则∠DOH为二面角D-AO-C的平面角， -14分 因为D,E分别为PB,PA的中点，因此G为△PAB的重心， 即有DG=专AD,GE=号BE,又PM=专A,即有DH=号CR, COS∠ABD= 4+是-艺 4+6-PA2 2x2×9 2×2×√6 ,解得PA=√4， 同理得BB= 2 --15分 于是BE十EF2=BF2=3,即有BE⊥EF, 则a=号×9了+9了=号 从而CF=匝，DH=多xE-压 3 2 32 在A0H中，0I-}=,OD=9,Dn= 2 2 于是cos∠DOH= 9+是-5 2×x9 2, 高二年数学科试卷第10页，共4页 m0H-V-受T-. 所以二面角D-A0-C的正弦值为号 -17分 法二：平面ADO的法向量为沉=(1，√2，√)， 平面AC0的法向量为=(0,0,1)， 所以os(优，》=n= =v2 21 -14分 m·2√1+2+3 因为元，元∈[0，]，所以sin(元，)=√1-cos沉，=2 2 -16分 故二面角D-A0-C的正弦值为2 -17分 19. 【解析】(1)设劣弧BC的长度为l, 因为∠B0C=5,R=3,所以1=号×3= 2分 (2)设AB,BC,CA的长度为l,∠AOC=∠BOC=∠AOB=d, 则亭且6-是-亭号 3π -4分 所以OA⊥OC,OB⊥OC,OA⊥OB, -5分 故平面OAB,平面OAC,平面OBC两两垂直，得a=B=y=受 -6分 所以球面三角形ABC的面积S=(a+B+y-π)R2=9 2 -7分 9元 故球面三角形A8C的总面率a=是=。-多： -8分 (3)由余弦定理知：AC=32+32-2×32×cos∠AOC=12,所以AC=2W3, BC2=32+32-2×32×cos∠BOC=6,所以BC=√6， 因为AO⊥B0,所以AB=√32+32=3√2， 因为AC2+BC2=AB2,故AC⊥BC, -10分 由题知，AD是球的直径，则AB⊥BD,AC⊥CD, 因为AC⊥BC,AC⊥CD,CD∩BC=C且CD,BCc平面BCD, 所以AC⊥平面BCD, 又BDC平面BCD,则AC⊥BD, 因为AC⊥BD,AB⊥BD,AB∩AC=A且AB,ACC平面ABC, 所以BD⊥平面ABC, -11分 因为BD=V62-(3√2乎=3√2=AB, 所以△ABD为等腰直角三角形， 所以sine=sin∠DAB=sin交=√2 42 因为AC,BC,BD两两垂直， -12分 以C为坐标原点，以CB,CA所在直线为x,y轴，过点C作BD的平行线为z轴， 建立如图空间直角坐标系C-xyz,设BE=t,t∈(0,3√2]，则A(0,2W3,0), 6.00c0.0.Dw6.0,3w2.r0v3.0.c90.0 高二年数学科试卷第11页，共4页 5w6.0,.0982) 则C函=6,0.0，c0=(5,5,32) 元=(，，0，尿=(6，，， 设平面OBC法向量元=(c1,1,1),则 i·CB=√6c1=0 成-C⑦=9++24=0 取=√5，则乙1=-√2,1=0，可得元=(0，√，-√2)， 13分 设平面EFG法向量元=(x2,2,22), 则iG=9v3=0 元E录=-√62+V3h-t2=0 取幼=t,则m=2t,=-3,可得元=（√2t,t,-√3）， -14分 要使sin2取最大值，则sin6取最小值，lcos取最大值， sind 因为cos=cos元，= 杭·元3t+√6 =1xt+② 园 √53t+35 √t+1 1 t+√2 1 5 t2+1 厉xV1+ 2W2t+1 -15分 t2+1 令m=2W2t+1,m∈(1,13]， 则t=m1, 22, =m-12 8 可得2v2t+1 m 8m 8 t2+1 mr+i m2-2m+9 m+品-2 8 6-22, 当且仅当m=3,即t=2时等号成立 -16分 2 则cos取最大值 ,sin0=√1-cos9=0为最小值， √5 5 √2 所以sins =5 10 2 -17分 5 高二年数学科试卷第12页，共4页