四川省成都市某中学2026-2027学年高二上学期数学综合训练卷（八）

高2025级高二上期数学定时练习（第八周） 姓名 班级 考号 一、单选题（每题5分） 1. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ）A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 2. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 3. 一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（ ） A. ，，，，的极差为5 B. ，，，，的方差为9 C. ，，，，的第40百分位数为 D. ，，，，的平均数为10 4. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 5. 如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6. 已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（    ） A. B. C. D. 7、如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）   A． B． C． D． 8、已知正方体的棱长为2，点M满足，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2、 多选题（每题6分） 9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 10. 已知，为样本空间的两个随机事件，其中，，，则下列说法正确的有（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与独立 C. D. 11、在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 3、 填空题（每题5分） 13. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则______ 13. 在正方体中，连接其任意两个顶点都可以得到一条线段，则这些线段所在的直线平行于平面的概率为______． 14、如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.   解答题 15.（13分） 在空间直角坐标系中，四棱锥各点坐标为，，，，，点满足． （1）当时，求线段的长度； （2）若，求实数的值； （3）求异面直线与所成的角． 16. （15分）为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 17.（15分）图1是直角梯形，，，四边形是边长为4的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.    （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，则的值； 18（15分） 某机器人闯关挑战赛设置了，，，3道独立关卡，选手可自由调整闯关顺序规则：连续成功通过2关可获得1枚铜牌，连续成功通过3关可获得1枚金牌，其余情况不获奖．已知选手甲通过关卡的概率为，通过关卡的概率为，通过关卡的概率为，且各关卡能否通关相互独立． （1）若． （ⅰ）若甲按的顺序闯关，求甲获得金牌的概率； （ⅱ）现有两种闯关方案：方案①：按闯关；方案②：按闯关．试通过计算判断，哪种方案甲获奖的概率更大？ （2）若在所有闯关排列顺序中，仅当关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率最大，求实数的取值范围． 19.如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求点到直线的距离； (3)求点到平面的距离. 高2025级高二上期数学定时练习（第八周）答案 1. 【答案】A 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 2. 【答案】A 【详解】由题意，得. 3. 【答案】D 【详解】因为递增，，，极差，， 所以的平均数为，方差为，极差为， A选项，的极差，A错误； B选项，的方差，B错误； C选项，百分位数计算：， 当是整数时，第百分位数为第项与第项数据的平均值， 也就是，不是，C错误； D选项，，D正确. 4. 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 5. 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 6.【答案】A 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A． 7、【答案】C 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以.    故选：C. 8、【答案】C 【详解】由，且， 结合共面向量定理得四点共面， 即点在平面上，则的最小值为点到平面的距离． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，取，则，， 所以点到平面的距离. 9.【答案】BD 【详解】A项，空间向量不能比较大小，故A错误； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，由投影向量的定义知在上的投影向量为，故D正确. 故选： BD. 10. 【答案】BCD 【详解】已知，则， 由. 对A：因为，所以事件与可能同时发生，故事件与不互斥，选项A错误； 对B：因为， ， 所以，所以事件与独立，选项B正确； 对C：，又， 所以，选项C正确； 对D：因为事件与互斥，事件与独立， 所以，选项D正确 11.【答案】BCD 【详解】对于A，当点为棱的中点时， ， 所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即， 所以四点共面，B正确； 对于C，当时，， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，当时， ， ， 所以点到的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的面积， 即面积的最小值为，D正确． 12. 【答案】 【详解】点关于平面的对称点为， 点关于轴的对称点为，则. 13.【答案】 【详解】在中，连接任意两个顶点的线段除了12条棱之外， 还有每个面上各有两条面对角线，共，还有4条体对角线，共28条线段， 其中它们所在的直线与平面平行的有共3条面对角线所在直线， 故这些线段所在的直线平行于平面的概率为． 故答案为：． 14.【答案】 【详解】由题知，设，则，又，且，因为，，，四点共面，所以，即，又因为，则，即，所以，所以，所以 ， 所以，解得，故，所以，所以.故答案为： 15.【答案】（1） （2） （3）（或） 【解析】 （1）设，因为，，，， 所以，， 当时，，所以，即， 解得，即，所以； （2）设，因为，，， 所以，， ， 因为，所以，即， 解得，即，所以， 由，得，解得； （3）因为，，，， 所以，，所以， ，， 所以， 因为，所以 所以异面直线与所成的角为． 16. 【答案】（1）6人 （2）平均数是62，方差是25.2 【解析】 （1）因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，即，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：， 抽样比为：，因此应抽取人数：人． （2）因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． 17.（1）作出辅助线，得到⊥BE，⊥BE，且，由勾股定理逆定理求出AF⊥，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P的坐标，(1) 小问详解： 略 详解： 以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，    则， 设，，， 即，解得：， 故， 设平面的法向量为， 则，则 ， 令，则，故， 其中 则， 解得：或（舍去）， 所以存在点，使得到平面的距离为，此时. 18.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）方案① （2） 【解析】 （1）设选手甲通过关卡为事件，通过关卡为事件，通过关卡为事件， 则，当时，. （ⅰ）由题意，甲获得金牌的概率为. （ⅱ）方案①：甲获奖的概率为 ； 方案②：甲获奖的概率为 . 综上所述，，则方案①甲获奖的概率更大. （2）根据对称性，只需考虑位于中间的顺序的关卡， 若关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率为 ； 若关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率为 ； 若关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率为 . 由题意，仅当关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率最大， 则，解得，又，则， 即实数的取值范围为． 19.【答案】(1)平面，平面，平面平面； 为等边三角形，为中点，， 又平面平面，平面，平面， 取中点，连接，则，平面， 则以为坐标原点，为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，， ，，， ，平面，平面. (2) (3) （2）由题意得，，， 所以点到直线的距离为； （3）由（1）知：平面的一个法向量为； 又，， 点到平面的距离. ( 第 1 页 共 17 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $