精品解析：安徽省淮南市东部地区2025-2026学年九年级上学期第一次联考数学试卷

九年级数学学科专项作业（2025.10） 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 2. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意； 由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意； 由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意； 因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为． 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上，即可求解． 【详解】解： 移项得， 两边同时加上，即 ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 5. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个数学问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长阔各几何?译文：一个长方形的面积是864平方步，它的宽比长少12步，长宽各是多少步?设长为x步，则可列出正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决问题，关键是找相等关系； 设宽为步，长为步，列方程即可； 【详解】设宽为步， 长为步， 根据题意列方程， 故选：B． 6. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．利用新运算的规定列出方程，解方程求解即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故选B． 7. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，直线 （是常数且）与抛物线的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向，一次函数图像的分布规律，确定即可． 【详解】∵， ∴当时，一次函数的图像分布在二、三、四象限；时，一次函数的图像分布在一、三、四象限； 故C，D都是错误的； 当时，抛物线开口向上， 故B是错误的； 当时，一次函数的图像分布在二、三、四象限；抛物线开口向下， 故A正确； 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线与一次函数图像的分布规律，熟练掌握图像与分布的规律是解题的关键． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 10. 如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何动点，一次函数，函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键．读懂题意，则进行分类讨论，即当时，当时，当时，点M在线段上，分别根据面积公式列式化简，得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形中，，且点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动， ∴（秒），（秒）， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， 此时它是开口向上的二次函数， 如图，当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴ ． ∴；， 此时它是开口向下的二次函数， 依题意，（秒）， ∴点P、Q从出发到相遇所用的时间是4秒， ∴当时，点M在线段上，点N在线段上， ∴， ∴， 此时随着的增大而减小的一次函数， 综上，． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 【答案】(1，8) 【解析】 【分析】根据题意可知，本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，进行求解． 【详解】解：由二次函数性质可知，的顶点坐标为(，) ∴的顶点坐标为(1，8) 故答案为：(1，8) 【点睛】本题考查了二次函数的性质，先把函数解析式配成顶点式根据顶点式即可得到顶点坐标． 13. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 【答案】2019 【解析】 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 14. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 【分析】（1）直接将点代入计算即可 （2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值 【详解】解：（1）将代入得： 故答案为：0 （2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标 得新抛物线顶点的纵坐标为： ∵ ∴当a=1时，有最大值为8， ∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 故答案为：2 【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 请用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用判别式可证明原方程无实数解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴原方程无实数根． 16. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）当时，结合图象求y的取值范围． 【答案】（1） 函数图象如下图： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【小问1详解】 解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 【小问2详解】 解：观察函数图象得：当时，的取值范围为． 17. 列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．求该商场投入资金的月平均增长率． 【答案】该商场投入资金的月平均增长率 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 【详解】解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 18. 已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（2，-3）.求该函数的解析式. 【答案】 【解析】 【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），设抛物线的顶点式为，将点（2，-3）代入求a即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵其图象经过点（2，-3）， ∴a（2﹣1）2﹣4＝-3， ∴a＝1， ∴，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 19. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． 【小问2详解】 第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， 【小问3详解】 解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 20. 已知二次函数的图像为抛物线． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线的函数解析式． 【答案】（1）开口向上，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式． 【小问1详解】 解： ， 抛物线的开口向上． ， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可解答； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，的值即可解答． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的实数根为，， ∴，， ∴ 解得：或， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求这个二次函数的解析式； （2）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）； （2）存在，最大值为，； （3）或． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E．求出的解析式，设，则，则， 然后根据三角形的面积公式即可得出，然后利用二次函数的性质即可得出答案． （3）根据二次函数的平移分别求出当时和当时的k的值，再令，根据根的判别式可得出k的值，进而可得出k的取值范围． 【小问1详解】 解：将，代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：存在； 理由：如图，在第一象限内作平行于y轴的直线，交抛物线于点D，交直线于点E． 设直线的解析式为， 将将，代入， 得 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴ ∴当时，有最大值，最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：k的取值范围为或． 当时，，， 此时； 当时，，， 此时； 令， 整理，得， 若与直线只有一个交点， 则， 解得． ∴当与直线只有一个交点时，k的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数，二次函数平移,二次函数与一次函数的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科专项作业（2025.10） 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个数学问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长阔各几何?译文：一个长方形的面积是864平方步，它的宽比长少12步，长宽各是多少步?设长为x步，则可列出正确的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中的值为（ ） A. 1或 B. 或7 C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 8. 在同一平面直角坐标系中，直线 （是常数且）与抛物线的图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，点M，N同时从点A出发，点M以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→D的方向运动，点N以每秒1个单位长度的速度沿A→D→C的方向运动，当M、N两点相遇时，它们同时停止运动．设M，N两点运动的时间为t秒，的面积为S（平方单位），则的面积S与运动时间t之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. E. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 12. 抛物线的顶点坐标为______________________________． 13. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 14. 设抛物线，其中a为实数． （1）若抛物线经过点，则______； （2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 请用适当的方法解下列方程： （1） （2） 16. 已知二次函数． （1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）当时，结合图象求y的取值范围． 17. 列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动，四月份投入资金 20 万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同．求该商场投入资金的月平均增长率． 18. 已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-4），且过点（2，-3）.求该函数的解析式. 19. 【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： （1）第个图案中“”的个数为 ； （2）第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 20. 已知二次函数的图像为抛物线． （1）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线．请直接写出抛物线的函数解析式． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若满足，求m的值． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为点和点B，与y轴交于点，连接． （1）求这个二次函数的解析式； （2）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）取抛物线的一部分（）记为W，将W沿y轴向下移动k个单位长得到，若与直线只有一个交点，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $