精品解析：山西省太原市志达中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试题

太原市志达中学校2025~2026学年八年级10月学业诊断 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 16的平方根是（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解： 的平方根是 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A、是整数，是有理数，不符合题意； B、是分数，是有理数，不符合题意； C、开方开不尽，是无理数，符合题意； D、是分数，是有理数，不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、分别根据算术平方根、立方根的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. B. 2，3，4 C. 13，5，12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形的方法成为解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解∶A．由，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； B．由，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； C．由，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，符合题意； D．由，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 5. 我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 类比思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的证明，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 6. 已知，，则（ ） A. 14.36 B. 143.6 C. 45.4 D. 454 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 7. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，先利用算术平方根的定义求出正方形的边长，进而根据数轴上两点间距离公式解答即可求解，利用算术平方根的定义求出正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点表示的数为， 故选：． 8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，故，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】由题意可知 ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故选：B． 9. 如图，在中，点M是边上一个动点．若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的计算方法，得出最小值的位置是解决问题的关键．作于D，则，由等腰三角形的性质和勾股定理求出，当时，最小；由的面积的计算方法求出的最小值． 【详解】解：过点A作于点D，如图，则． ∵， ∴． 由勾股定理得． 当时，BM最小，此时， ∴的面积，即， 解得． 故选B． 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 36 B. 42 C. 48 D. 52 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用、图形规律等知识点．根据勾股定理得到以直角三角形各边长为边长的正方形的面积之间的关系是解决本题的关键． 根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，...，所以每增加一次操作，面积就增加4，所以n次操作后，图中所有正方形的面积和为，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和等于． 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积， ∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4． ∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； …… ∴每增加一次操作，面积就增加4， ∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为． 故选C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个数的立方根是3，则这个数是 _______ ． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根． 根据立方根的定义，这个数是3的立方． 【详解】解：∵， ∴27的立方根是3， ∴这个数是27． 故答案为：27． 12. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 13. 如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数，绝对值，理解框图中的运算法则是解题的关键． 当输入的值为时，根据数值转换机示意图运算法则计算，如果结果为无理数，则输出，否则再求其算术平方根，直至结果为无理数为止． 【详解】解：当输入的值为时，，，是有理数， 的算术平方根是，为无理数， ∴输出的值为， 故答案为：． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用．利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得： “捷径”长度， ∴， 即他们仅仅少走了，却踩伤了花草． 15. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 求下列各式中的x． （1）4（x+1）2＝1． （2）（2x﹣1）3＝﹣27． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值； （2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 17. 请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． （1）求该魔方的棱长． （2）求该长方体纸盒的长． 【答案】（1）该魔方的棱长 （2）该长方体纸盒的长为 【解析】 【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键． （1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可． 【小问1详解】 解：设魔方的棱长为， 可得：， 解得：， 答：该魔方的棱长； 【小问2详解】 解：设该长方体纸盒的长为， 则， 故，解得：， 因为是正数，所以， 答：该长方体纸盒的长为． 18. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 【答案】（1） 证明：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 19. 综合与实践 笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下： 课题 测量旗杆的高度相关问题探究 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，绳子 示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）． 提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？ 解决问题 如右图，过点作于点．根据题意得米，米．…… 请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程． 【答案】 解：所以． 设旗杆的高度的长为米，则米，米． 在中，根据勾股定理，． 所以，． 解，得． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于点．根据题意得米，米．设旗杆的高度的长为米，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】略 20. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】（1）； （2）或或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当秒时，，求得，然后利用勾股定理即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可； （）分当在线段上时，当在延长线上时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为． ， 当秒时，， ， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当时，过作于点，如图所示： ∴，， 在中，，，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，当时，如图所示： 由得， ∴， 如图，当时，如图所示： ，， ∴， ∴， 综上可得：当为等腰三角形时，的值为或或； 【小问3详解】 解：如图，当在线段上时，连接，如图所示： ∵，， ∴点在平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图，当在延长线上时，连接，如图所示： ∵，， ∴点在平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上可得：当为或时，能使． 附加题：（本题10分） 21. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）千米； 知识迁移：20． 【解析】 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ， ， ， 则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E， ， ， ， 由勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点， 设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 过作， 根据对称性：， 设，则，由勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市志达中学校2025~2026学年八年级10月学业诊断 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 16的平方根是（ ） A. B. 8 C. D. 2 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式正确的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. B. 2，3，4 C. 13，5，12 D. 5. 我们在探究平方差公式“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差”．即时，利用了如图①的阴影部分面积表示的几何意义，从而验证了的正确性；同样的，在勾股定理的验证过程中，也运用了如图②的图形面积验证其正确性，这种验证方法体现了我们数学的（ ） A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 方程思想 D. 类比思想 6. 已知，，则（ ） A. 14.36 B. 143.6 C. 45.4 D. 454 7. 如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（    ） A. B. C. D. 8. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，点M是边上一个动点．若，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 45 10. 如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）． A. 36 B. 42 C. 48 D. 52 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若一个数的立方根是3，则这个数是 _______ ． 12. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 13. 如图是一个数值转换机示意图，当输入x的值为时，则输出的值为 _______________． 14. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______，却踩伤了花草． 15. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 求下列各式中的x． （1）4（x+1）2＝1． （2）（2x﹣1）3＝﹣27． 17. 请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． （1）求该魔方的棱长． （2）求该长方体纸盒的长． 18. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 19. 综合与实践 笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下： 课题 测量旗杆的高度相关问题探究 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，绳子 示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）． 提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？ 解决问题 如右图，过点作于点．根据题意得米，米．…… 请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程． 20. 如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 附加题：（本题10分） 21. 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ， ， ， 则它们满足的关系式为 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $