4.3.2 等比数列的通项公式（教学课件）高二数学苏教版2019选择性必修第一册

4.3 等比数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 4.3.2 等比数列的通项公式 第四章 数列 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 理解等比数列的通项公式的意义． 掌握等比数列的通项公式． 能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并解决相应 的问题． 设 {an} 是首项为 2，公比为 3 的等比数列，则 a2＝2×3， a3＝2×3×3＝2×32， a4＝2×3×3＝2×33， ······ 你能写出第 n 项 an 吗? 一般地，对于等比数列 {an} 的第 n 项an，有 an＝a1qn－1（n∈N+） 这就是等比数列 {an} 的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比. 新知探究 证明：因为{an}是等比数列，所以当，有 将上面n－1等式左右两边分别相乘，得： 即所以 an=a1qn－1． 当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等比数列{an}通项公式为： an=a1qn－1（n∈N+） 新知探究 4 在等比数列 {an} 中， (1) 已知 a1＝3，q＝－2，求 a6； (2) 已知 a3＝20，a6＝160，求 an. 例 1 解 (1) 由等比数列的通项公式，得 a6＝3×(－2)6－1＝－96. ∵a3=20，a6=160，∴a6=a3q3，∴160=20×q3， 即q3=8=23，∴q=2， (2) 设等比数列的公比为 q， ∴an=a3×qn-3=20×2n-3=5×2n-1． 方法技巧 解题的关键： 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解. 典例分析 教材P146 例题 在 243 和 3 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列. 例 2 解：设插入的3个数为a2，a3，a4， 由题意得243，a2，a3，a4，3成等比数列， 设公比为q,则3=243q5-1，解得 ， 因此所求3个数为81，27，9或-81，27，-9． 典例分析 教材P146 例题 已知等比数列 {an} 的通项公式为 an＝3×2n－3，求首项 a1 和公比 q . 例 3 解：∵等比数列{an}的通项公式为an=3×2n-3， ∴ = ，a2=3×2-1= ， ∴q= = =2． 典例分析 或q= = =2． 教材P146 例题 在例3中，等比数列的通项公式 是一个常数与指数式的乘积．从图象上看，表示这个数列的各点均在函数y的图象上． 新知探究 8 如果数列{}的通项公式是an=aqn,那么,当a，q是非零常数时,这个数列一定是等比数列;当a，q中有一个为0时,这个数列就不是等比数列. 如果一个数列{}的通项公式为 an=aqn,其中a,q都是不为 0的常数,那么这个数列一定是等比数列吗? 思考 1.求下列等比数列的公比、第5项和第n项： (1)2，6，18，54，…； (2)7， ， ， …； (3)0.3，-0.09，0.027，-0.0081，…； (4)5，5c+1，52c+1，53c+1，… 解：(1)由题意可得，公比q=3，a5=162， ； (2)由题意可得，公比q= ，a5= ，an=7 ； (3)由题意可得，公比q=-0.3，a5=-0.00243， =(-1)n-1×(0.3)n； (4))由题意可得，公比q=5c，a5=54c+1， =5nc-c+1 教材P147 练习 10 2.已知等比数列的公比为 ，第4项是 ，求前三项． 解：由题意可得， ， 解可得，a1= = ，a2= = ， ． 教材P147 练习 11 3.在等比数列{an}中， (1)已知a1=-3，q=2，n=5，求an； (2)已知a1=1，q=2，an=16，求n； (3)已知a1= ，n=6，an=9，求q； (4)已知q=- ，n=4，an=-27，求a1． 解：(1) =-48；(2) =16，∴n=5； (3) =27，∴q= ，(4) =-27，∴a1= =8． 教材P147 练习 12 4.在等比数列{an}中， (1)已知a5=8，a8=1，求a1和q； (2)已知a3=2，q=-1，求a15； (3)已知a4=12，a8=6，求a12． 解：(1)由等比数列的性质可知， = ，所以q= ， = =128； (2)∵a3=2，q=-1，∴a15= =2． (3)由 = ，∴a12= =6× =3． 教材P147 练习 13 5.三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于-3，求这三个数． 解：∵三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和等于-3， 设这3个数为 ，∴ ， 解得a=2，q=-2或a=2，q=- ， ∴这3个数分别为-1，2，-4或-4，2，-1． 教材P147 练习 14 6.如图，在边长为1 的等边三角形ABC中，连结各边中点得△A1B1C1，再连结△A1B1C1的各边中点得△A2B2C2…如此继续下去，试证明数列S△ABC， ， ，…是等比数列． 证明：由题意，三角形AnBnCn的边长构成首项为1， 公比为 的等比数列，所以 ， 所以 ， 所以 = ． 所以数列S△ABC， ， ，…是等比数列． 教材P147 练习 15 等比数列的通项公式 题型一 题型探究 1.［江苏镇江2025质量检测］等比数列的各项均为正数，若 ， ，则 ( ) B A.588 B.448 C.896 D.224 解析 设等比数列的公比为，由得， 解得或 （舍），则 .故选B. 2.［江苏徐州三中等十三校2025高二联考］已知等比数列的公比 ，且满足 ，，则 的值为( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 解析 由于， ，所以两式相除得， 解得或，因为，所以 .故选A. 3.已知正项等比数列满足， . （1）求 的通项公式； 【解】设的公比为 . 由题意得，所以，，所以 ， .所以 . 等比数列的通项公式 题型一 题型探究 （2）设，求 的最大值. [解] .二次函数 的图象 的对称轴为直线，故当或时，取得最大值，且最大值为 . 17 等比数列的函数性质 题型二 题型探究 4.已知等比数列的各项均为正数，且,，则使得 成立 的正整数 的最小值为( ) C A.8 B.9 C.10 D.11 解析 由题可得等比数列的公比，且 . 由题得两式相除得，则 ， 所以，故，显然时 不成立， 所以且，，即 ，则 ，故正整数 的最小值为10. 故选C. 5.设为等比数列，则“对于任意的, ”是“ 为递增数列”的( ) C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 充分性：设等比数列的公比为, . 由得 . 情形一：当时，由得，解得或 . 若，则，此时 与已知矛盾； 若，则，此时 为递增数列. 情形二：当时，由得，又，所以或 . 若，则，此时 与已知矛盾； 若，则，此时 为递增数列. 必要性：若为递增数列，则 . 所以“对于任意的,”是“ 为递增数列”的充分必要条件.故选C. 在解决等比数列单调性的有关问题时，要注意等比数列通项公式的函数特征，既要考虑首项的符 号，又要考虑正数公比 与1的大小关系. 等比数列的函数性质 题型二 题型探究 19 在等比数列中，公比为 ，则有以下几种情况： 时，数列是常数列，如数列2,2,2,2, ； 时，数列是摆动数列，如数列1,,4,,16, ； ,时，数列是递减数列，如数列1,,, ,…； ,时，数列是递增数列，如数列1,2,4,8, ； ,时，数列是递增数列，如数列,,, ,…； ,时，数列是递减数列，如数列,,,, . 等比数列的函数性质 题型二 题型探究 归纳总结 20 等比数列的性质 题型三 题型探究 6.［江苏镇江一中2025高二月考］设各项均为正数的等比数列满足 ，则 等于( ) C A. B. C.11 D.9 解析 设的公比为，，， . .故选C. 7.已知等比数列满足，等差数列满足 ，则 ____. 10 解析 由，解得 . 因为，所以由等差数列的性质得 构造等比数列求数列的通项公式 题型三 题型探究 8.已知在正项数列中，,，则数列 的通项公式为 ( ) D A. B. C. D. 解析解法一： 在递推公式的两边同时除以，得 . 令，则①式变为，即 ， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 . 解法二 设，则 ， 与比较可得 ， 所以 ， 所以数列是首项为 ，公比为2的等比数列， 所以，所以 .故选D. 8.已知在正项数列中，,，则数列 的通项公式为 ( ) D A. B. C. D. 构造等比数列求数列的通项公式 题型三 题型探究 23 9.已知数列满足 且 .若是递增数列，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 构造等比数列求数列的通项公式 题型三 题型探究 解析 由，可得，又 , 所以 ，所以 ， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 ，整理得 . 因为是递增数列，即 ,所以 整理得,解得 ,故选C. 24 等比数列的设法忽视公比的取值范围致错 题型四 题型探究 10.已知一个等比数列的前4项之积为，第2项与第3项的和为 ，则这个等比数列的公比为 _____________________. 或 解析 设这个等比数列的前4项依次为，，，（其中 ）. 由题意得 所以 所以，整理得或，解得 或 . 易错警示 涉及三个数成等比数列时，常将这三个数依次设为，， . 而涉及四个数成等比数列时， 若已知四个数同号，则常依次设为，，， ; 若不能确定数的符号，常依次设为，，，. 本题易错设四个数依次为,，，,公比为 ,相当于规 定了这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算公比. 忽略特殊项的应用，出现漏解而致错 题型五 题型探究 11.若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“ 积数列”.若各项均为正 数的等比数列是一个“2 020积数列”，且，则当其前项的乘积取最大值时， 的值 为________________. 1 009或1 010 解析 设数列的公比为.由题意可得 ， ， . 又，,数列为递减数列，则,， ，则当其前 项的乘积取最大值时， 的值为1 009或1 010. 本题易忽略导致错解，在解决等比数列前项的乘积取最大值时 的取值问题，判断是 否有值为1的项是解题的关键. 易错警示 1.知识清单： (1)等比数列通项公式的基本运算. (2)等比数列的应用. (3)等比数列的通项公式与函数的关系. (4)等比数列的判定与证明. (5)等比数列中项的设法. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法.定义法、分类讨论. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列. 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况. $