4.3.3 课时2 等比数列前n项和的性质及应用课件-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕等比数列前n项和的性质及应用展开，先通过知识回顾复习等比数列前n项和公式，再以例1（非等比数列的Sn）与变式（等比数列的Sn）对比为起点，引导学生探究Sn与指数函数的关系，搭建从公式应用到性质发现的学习支架，逐步揭示Sm+n=Sn+qⁿSm、片段和等核心性质。 其特色在于注重数学眼光与思维的培养，通过“探究”环节让学生观察Sn的指数函数特征，结合例1与变式的对比推理，归纳Sn=Aqⁿ+B为等比数列的条件，发展逻辑推理能力。引用《算法统宗》“三百七十八里关”问题作为例3，培养用数学语言建立模型解决实际问题的能力。当堂检测分层设计，学生能巩固性质应用，教师可借助资料系统教学，提升课堂效率。

4.3.3 课时2 等比数列前n项和的性质及应用 作者编号：32200 1.掌握等比数列前n项和公式的性质及其应用. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 学习目标 作者编号：32200 na1 知识回顾 作者编号：32200 例1 已知数列的前项和为求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列. 解：当时，有. 当时，有==. 因此数列的通项公式为= 又因为= ，= 因此=，=2，所以可知不是等比数列. 新知学习 作者编号：32200 变式：将例1中的改为，再次判断这个数列是否是等比数列. 解：当时，有， 当时，有=)=. 当时也满足此式，因此数列的通项公式为= 因此是首项为3，公比为2的等比数列. 新知学习 作者编号：32200 探究： (1)等比数列中，与的关系与以前所学过的什么函数有关？ (2)如果数列{an}的前项和的公式是 ， 其中A,B,都是常数，且，那么{an}一定是等比数列吗？为什么？ (1)当时 如果记 则可以看出是关于n的指数型函数. (2)不一定， 由(1)知，只有当q≠1时，A+B=0，{an}是等比数列. 作者编号：32200 归纳总结 时， (1) (， )⟺是等比数列； (2) (， )⟺ 从第2项起是等比数列. 作者编号：32200 问题1:你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n? 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n ＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm ＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m ＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm. 新知学习 作者编号：32200 问题2:类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn， S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下： 思路一：当q＝1时，结论显然成立； 新知学习 作者编号：32200 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn， 故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn， 故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 新知学习 作者编号：32200 问题3：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 若等比数列{an}的项数有2n项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系， 新知学习 作者编号：32200 若等比数列{an}的项数有2n＋1项， 则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项， 于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶， 即S奇＝a1＋qS偶. 新知学习 作者编号：32200 等比数列前n项和公式的性质 1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋). 2.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. 3.当n是偶数时，S偶=S奇·q；当n是奇数时，S奇=a1+S偶·q.</m> 知识梳理 作者编号：32200 例2 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于． (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_____. 解析：(1)由题意得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列. 即1，2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列. ∴a9＋a10＋a11＋a12＝4. 4 新知学习 作者编号：32200 (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝_____. 解析：(2)由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80， ∴S奇＝－80，S偶＝－160， ∴q＝＝2. 2 新知学习 作者编号：32200 例3《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么该人第1天所走路程里数为( ) A.96 B.126 C.192 D.252 C 新知学习 作者编号：32200 解析：由题意得，该人每天走的路程里数形成以a1为首项，以为公比的等比数列， 因为该人6天后到达目的地，则有S6==378， 解得a1=192， 所以该人第1天所走路程里数为192. 故选C. 新知学习 作者编号：32200 (1)解应用问题的核心是建立数学模型. (2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型，求解数学模型，还原实际问题. (3)注意问题是求什么(n，an，Sn). 归纳总结 新知学习 作者编号：32200 1.一个等比数列的前n项和为45，前2n项和为60，则前3n项和为(　　) A.65 B.73 C.85 D.108 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q=2，S100=36，则a1+a3+…+a99等于(　　) A.24 B.12 C.18 D.22 A B 当堂检测 作者编号：32200 3.(多选题)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话的意思为“一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，……，第六天被截取剩下的一半剩下a6尺，则(　　) BD 当堂检测 作者编号：32200 课堂小结 作者编号：32200 S3n－S2n＝－＝， 而(S2n-Sn)2＝[]2，Sn(S3n－S2n)＝×， 当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝. S2n－Sn＝－＝， 即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. A.a6= B.=8 C.a5+a6= D.a1+a2+…+a6= 等比数列前n项和的综合应用 $