精品解析：陕西省西安市第七十中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

2025—2026学年第一学期（高二数学月考）考试试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 2. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到与垂直，进而得到方程，求出. 【详解】因为，故与垂直， 故，解得. 故选：C 3. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据垂直关系可知斜率乘积为，从而构造方程可求得结果. 【详解】由题意得，直线的斜率： ，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用直线垂直关系求解参数问题，关键是明确两条直线斜率乘积为时，两条直线垂直. 4. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由基底概念可知，不共线，再由不能构成基底可得，，共面，由共面向量基本定理待定系数求解t. 【详解】由题意，是空间的一个基底，设，， 所以，不共线， 因为，，不能构成空间的一个基底，则，，共面， 所以存在x，使得， 即， 所以，解得，，. 故选：A. 5. 已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 6. 设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 7. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可. 【详解】由点在直线上运动，故可设，， 则， ， 所以 ， 故当时，取得最小值. 故选：C． 8. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【详解】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，求出，由数形结合求解即可. 【详解】设, 则， 如图， 由图可知，当时，直线与线段相交， 故选：AC 11. 在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点E到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由中位线线线平行即可判断，对于B，由可判断，对于CD，由向量法可判断； 【详解】解：对于A，因为E，F分别是棱AB，BC的中点， 所以 因为，所以，故A正确； 对于B，易知平面， 所以 ， 故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 ， 故C错误； 对于D，， 则， 所以， 所以点E到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 13. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】 求出两条直线斜率，再根据直线平行的位置关系，解出参数. 【详解】 解：由题意得，所以，因为，， 所以，所以． 故答案为：. 14. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】依题意且与不共线（反向），结合数量积的坐标表示得到不等式，解得即可. 【详解】因为，且的夹角为钝角， 所以且与不共线（反向）， 由，则，解得， 当与共线时，，则，解得， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值是 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系，列方程求解； （2）由方向向量和斜率关系，结合两直线垂直，推出，然后由基本不等式的妙用求解. 【详解】（1）由题知，，即，解得； （2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在， 于是，由可知， 整理可得，即， 则， 当，即取得等号， 即最小值是. 16. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）用向量的线性运算求； （2）把（1）等式平方，由数量积的运算求模． 【详解】解：（1） （2） ，， 所以 ． 的长度为． 17. 已知空间中三点，，. （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行设出，然后根据列方程求解； （2）直接应用投影向量公式求解； （3）先求出，夹角的正弦值，利用三角形面积公式可求解 【小问1详解】 由题知， 又向量与平行，设， ，解得， 于是或 【小问2详解】 由（1），又， 根据投影向量公式， 【小问3详解】 由题知，， 设，的夹角为，则，显然， 根据夹角公式，，则， 根据三角形的面积公式， 则以，为邻边的平行四边形的面积是 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期（高二数学月考）考试试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. 11 B. C. 45 D. 3 2. 已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为 A. B. C. D. 4. 若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间向量，则（     ） A. B. 可以为空间的一组基底 C. D. 10. 已知，，若直线恒过点且与线段相交，则直线的斜率取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点E到直线的距离为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 13. 已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为______． 14. 已知空间向量，，若的夹角为钝角，则实数的取值范围为__． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 16. 已知平行六面体，，，，，设，，； （1）试用、、表示； （2）求的长度. 17. 已知空间中三点，，. （1）若向量与平行，且，求的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）求以，为邻边的平行四边形的面积. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $