精品解析：江西省上犹中学南校区2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题（历史方向）

2025－2026学年上学期上犹中学高三年级 数学（历史方向）综合检测一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（，，）部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中假命题的是（ ）． A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 若的定义域是，则函数的定义域为 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 11. 已知函数 是定义在上的奇函数， 是偶函数，当 时， ， 则下列说法中正确的有（ ） A. 时， B. 函数 的最小正周期是 4 C. D. 方程 恰有 10 个不同的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为______． 13. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. （1）求，的值； （2）求的值. 16. 已知函数的导函数为. （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明： 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围； （3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上学期上犹中学高三年级 数学（历史方向）综合检测一 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简,进而由集合的交并补运算即可求解. 【详解】或，由得,所以， 故选：D 2. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 3. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件，利用函数奇偶性可判断B；通过判断在上的符号可判断D；通过判断在上的零点个数可判断AC. 【详解】由题意可知，的定义域为， 因为，所以， 故为奇函数，从而的图像关于原点对称，故B错误； 当时，且，此时，故D错误； 因为在上有无数个零点， 所以上也有无数个零点，故A错误，C正确. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】由，得，则， 所以. 故选：D 5. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设至少经过小时后才能安全驾驶，由题意可得，进而求解即可. 【详解】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 6. 已知函数满足，且当时，恒成立．若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等式判断函数奇偶性，构造函数，进而求导，结合题意和函数奇偶性判断函数的单调性，可知，，，判断自变量大小结合函数单调性比较大小. 【详解】因为函数满足0，所以函数是奇函数． 令，则． 因为当时，恒成立，所以在上单调递减， 而，所以是偶函数， 所以在上单调递增． 由题意知，，， 因为，，所以， 所以， 故选：D． 7. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到； ④若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象及五点作图法求出函数解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可. 【详解】依题意可得，，， 再根据五点法作图可得，解得，． 因为，所以的图象关于点对称，故①正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故②正确； 将的图象向左平移个单位长度得到， 故③错误； 因为，当时且，， 因为函数在上有且只有两个极值点， 所以，解得，即的最大值为，故④正确； 故选：C 8. 已知定义在上的函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为奇函数化简不等式，再结合函数的单调性及定义域进行求解即可. 【详解】∵设，，所以为奇函数. 易知在区间上单调递增，所以在区间上单调递增. 因为不等式，即得， 所以，所以， 因为函数的定义域为，所以且， 所以， 又函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中假命题的是（ ）． A. 命题“，”的否定是：， B. 设，则“”是“”的充分而不必要条件 C. 若，则的最小值为4 D. 若的定义域是，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定判断A；举例说明判断BC；求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可求解定义域判断D. 【详解】对于A，命题“，”的否定是：，，A正确； 对于B，取，满足，而， 则“”不是“”充分条件，B错误； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，对于函数，，则，所以函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此函数的定义域为，D错误. 故选：BCD 10. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 11. 已知函数 是定义在上的奇函数， 是偶函数，当 时， ， 则下列说法中正确的有（ ） A. 时， B. 函数 的最小正周期是 4 C. D. 方程 恰有 10 个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设可判断函数的对称性和周期性，故可判断B的正误，根据对称性求出上的函数解析式后可判断A的正误，求出后根据周期性可求，从而可判断C的正误，利用导数刻画函数在上的单调性后可得的图像，数形结合后可判断D的正误. 【详解】因为为上的奇函数，故， 而 是偶函数，故， 所以，故， 故的周期为，故B正确； 由可得， 当时，，故，故A错误； 因为为上的奇函数，故，而， 由可得，， ，故， 故，故C正确； 当，，故在为增函数， 结合的周期性和对称性可得函数的图像如图所示： 而的解的个数可以看成两个图像交点的个数， 而，结合图像可得两个图像在轴右侧交点的个数为5个， 因，由图可得两个函数在轴左侧交点的个数为5个，故共个交点， 故恰有10个不同的解，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为______． 【答案】（） 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再结合余弦函数、对数函数单调性求出递减区间. 【详解】由，得函数的定义域为， 令，函数在上单调递减， 且在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性得函数的递减区间为，递增区间为. 故答案为： 13. 已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】分与两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题“，恒成立”是真命题. 当时，则有恒成立，合乎题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解： 设 ①在上恒成立，则； ②在上恒成立，则； ③在上恒成立，则； ④在上恒成立，则. 14. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求解. （2）由（1）的结论，利用诱导公式化简即得. 【小问1详解】 依题意，，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. 已知函数的导函数为. （1）当时，求图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再参变分离，转化为与曲线有三个不同的交点，利用导数分析函数的图象和性质，最后数形结合计算求参； 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为. 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）将函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦的和角公式及倍角公式得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件得，由可得或，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 ， 又的最小正周期为，，则，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由时，得到，所以或 即或， 因为在区间上有且仅有3个零点， 由，令，得；令，得； 由，令，得；，得； 所以， 故的取值范围是. 18. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）若函数有两个极值点，，且. （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意计算即可得解； （2）（ⅰ）将问题转化成函数与的图象在上有两个不同的交点，求出直线与曲线相切参数的值即可得解； （ⅱ）由、是的两根得，进而将问题转化成证，再利用导数工具研究函数单调性即可求证. 【小问1详解】 由题， 因为曲线在点处的切线垂直于直线， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 因为函数有两个极值点、，所以在上有两个不同的根， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 设直线与曲线相切于点，， 则切线斜率为，所以， 所以函数与的图象在上有两个不同的交点， 则， 所以a的取值范围为； （ⅱ）证明：由题可得、是的两根，且. 所以， ， 令，则， 所以要证明即证，即证， 即证， 因为，所以， 所以函数即在上单调递减，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围； （3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值． 【答案】（1）为偶函数，理由见解析 （2）答案见解析 （3），证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义判断即可； （2）由二倍角公式化简函数解析式，然后在，4，6时分别求解即可； （3）猜想，当，时，，然后利用导数分析函数的单调性证明该结论，要使方程有解，只需不等式成立，，然后解不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，所以为偶函数． 【小问2详解】 当时，； 当时，， 此时有； 当时，， 此时有． 【小问3详解】 由（2）猜想，当，时，． 下面证明该结论： 因n为偶数，所以， 故是周期为的周期函数， 那么不妨只讨论时函数的取值范围， 因为此范围即为函数在定义域上的取值范围； 因为n为偶数，则，， 此时，， 令，解得，或， 易知，当时，， 此时单调递减， 当时，， 此时单调递增， 因为，， 所以此时的最大值为1，最小值为，即；， 所以要使方程有解，只需不等式成立， 当时，，当时，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $