精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高二上学期10月阶段性练习数学试题

江西省上高二中高二数学阶段性练习卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若表示圆，则，解得或， 故“关于x，y的方程：表示圆”是“”的必要不充分条件． 故选：A 3. 若对圆上任意一点的取值与x，y无关，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何意义得到的取值要想与x，y无关，只需圆位于直线与之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出a的取值范围，结合选项即可求解. 【详解】设， 设表示点到直线的距离， 表示点到直线的距离，即， 显然与平行， 要使z为定值，则只需与分别在圆的两侧且与圆相离或相切， 所以，即，解得或， 当时，与位于圆心的同一侧，不合要求，舍去； 当时，与位于圆心的两侧，满足题意. 故，结合选项知选项D符合题意． 故选：D 4. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 5. 已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用垂直关系求参数，从而可得交点，即可利用圆心和半径求得圆的标准方程. 【详解】由可得：，由， 解得：，即可得，则， 即所求圆的方程为． 故选：D. 6. 已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程求出直线的斜率，结合正弦函数性质确定其范围，即可求得答案. 【详解】由题意知直线的方程为， ， 即，即直线的斜率． 由 ，得 ． 又直线的倾斜角的取值范围为 ， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角的取值范围为 ． 故选：B． 7. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再依据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可. 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 等号成立时， 故的最小值是. 故选：C 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 二、多选题 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D. 【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确； 对于B，若，则，解得．故B正确； 对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确； 对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线：，圆，则下列说法错误的是（ ） A. 若或，则直线l与圆C相切 B. 若，则圆C关于直线l对称 C. 若圆与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则 D. 若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断A，根据直线经过圆心即可判断B，根据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断C，根据圆心到直线l的距离，即可得到不等式组，解出即可，即可判断D. 【详解】圆， 对于A：直线与圆相切，则，解得，A错误； 对于B：圆C关于直线l对称圆心在直线l上，解得，故B正确； 对于C：圆C与圆E的方程作差得，即， 则，解得，经检验此时圆， 满足，则，故C错误； 对于D：圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则圆心C到直线l的距离大于1且小于3， 即，即， 又，所以，D正确； 故选：AC. 11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，可通过确定圆心坐标即可判断，对于C，设直线，分别计算直线过点时，直线与圆相切时，直线与圆相切时的取值，即可判断，对于D，连接，求得的面积为，通过向量夹角公式求得，结合图形对称性即可求解. 【详解】由题易知，圆的半径为，圆心在的垂直平分线上，,且中点坐标为 设坐标为，且， 所以， 解得，所以圆C的方程为，， 故选项A正确，选项B错误. 设直线，当直线过点时，，此时也过点， 当直线与圆相切时，，解得， 当直线与圆相切时，， 解得或， 因为直线与月牙形只有两个交点， 结合图象可知的取值范围为，故选项C正确. 连接， 直线方程为：， 点到的距离为， 又 所以面积为， 设，，， 所以， 所以， 由对称性可知月牙形的面积约为： ，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由椭圆的方程可得的值，由椭圆的定义可得的值，在中求得，进而可得. 【详解】由题意，得，， 在中，， 又，则， 则 故答案为：. 13. 若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知确定点关于直线对称的点在圆上，易得对称点为圆和圆的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k. 【详解】显然在圆上，又直线经过该圆的圆心， 所以点关于直线对称的点在圆上， 又点关于直线对称的点在圆上， 所以对称点为圆和圆的交点，联立得交点（舍去第四象限的点）， 所以与两点所在直线，与垂直，故. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中由点发出的一条光线，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】设光线的反射点为，到达区域边界的点为，求出点关于直线的对称点，总路程为，要使总路程最短，只需最短，数形结合求解. 【详解】设光线的反射点为，到达区域边界的点为. 由题意，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以点关于直线的对称点为， 总路程为，要使总路程最短，只需最短，即点到边界的距离最短. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第一象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第二象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第三象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 当时，化为，表示由圆心为，半径为的圆在第四象限内的部分， 所以到边界的最短距离为. 综上，光线经过的最短总路程为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）已知直线和直线，若，求的值； （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线的方程. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到，求解即可； （2）设直线方程截距式，，由面积及直线过点，列出等式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 解得：或； （2）设直线方程为， 由题意可得：， 联立得：，即， 解得：， 所以直线方程为：. 16 已知圆，直线 （1）求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设l与圆C交于A,B两点，若，求l倾斜角 【答案】（1）证明见解析；（2）或 【解析】 【分析】（1）直线过定点，在圆内，故得到证明. （2）先根据计算得到，再利用点到直线的距离公式得到 ，计算得到答案 【详解】（1）过定点 在圆内，故直线l与圆C总有两个不同的交点. （2）， ，则 或 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，倾斜角的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 17. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【小问1详解】 设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． 【小问2详解】 因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 18. （1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）；（3）存在，，三角形面积的最小值为8 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解； （2）设，结合对称性质列方程组求解即可； （3）先求出直线恒过定点，直线与轴和轴的交点分别为，结合题意即可求得的范围，再表示出，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，得，解得或； （2）设，则， 解得，即. （3）存在，由，得． 由，得时，则直线恒过定点，如图， 直线与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交. 而 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值8． 19. 已知圆，圆，且. （1）证明：与相切； （2）若与内切，求公切线的方程； （3）若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得与的圆心坐标和半径，求得，结合圆与圆的位置关系，即可得证； （2）联立方程组，求得直线的方程，结合直线与圆的位置关系，证得直线与相切，也与相切，即可得到圆与的公切线方程； （3）根据题意，得到过和的直线过点的直线，求得点，得到为直径的圆的方程，将其整理为关于的二次多项式，结合与无关，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 证明：由，可得圆心，半径， 圆，可得， 可得圆心，半径， 则， 当时，可得，，则，两圆相外切； 当时，可得，，则，两圆相内切； 当时，可得，，则，两圆相内切. 综上可得，当时，圆与相切. 【小问2详解】 解：联立方程组，可得， 设直线的方程为， 由点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 所以直线与相切，也与相切，所以为圆与的公切线方程， 即圆与的公切线方程. 【小问3详解】 证明：联立方程组，整理得，解得， 所以与的切点为，且圆与内切于点， 所以直线过点的直线，此时直线方程为， 当且时，可得，且和的面积之积为， 则，可得， 又由直线的倾斜角为，则有，可得， 则以为直径的圆的方程为：， 整理得， 即， 将其整理为关于的二次多项式，可得： ， 所以，即，解得或， 所以以为直径的圆恒过定点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上高二中高二数学阶段性练习卷 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. “关于x，y的方程：表示圆”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充要条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若对圆上任意一点的取值与x，y无关，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 4. 若直线与圆相离，则点（ ） A. 在圆O外 B. 在圆O内 C. 在圆O上 D. 与圆O的位置关系不确定 5. 已知为坐标原点，直线与直线互相垂直且交于点，则以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的方程为， ，则直线 的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，点不与重合，则的最小值是（ ） A. 9 B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 的充要条件为或 B 若，则 C 若直线不经过第四象限，则 D. 若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为 10. 已知直线：，圆，则下列说法错误的是（ ） A 若或，则直线l与圆C相切 B. 若，则圆C关于直线l对称 C. 若圆与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则 D. 若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则 11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点和，，直线与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：） A. B. 圆的方程为 C. b的取值范围为 D. 月牙形的面积约为 三、填空题 12. 若椭圆E：的左右焦点为、，上顶点为P，则________. 13. 若点关于直线对称的点在圆上，且在第一象限内，则实数的值为______. 14. 在平面直角坐标系中由点发出的一条光线，经直线反射后，到达区域的边界. 则光线经过反射到达边界的最短总路程为____________. 四、解答题 15. （1）已知直线和直线，若，求的值； （2）已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积为8，求直线的方程. 16. 已知圆，直线 （1）求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点； （2）设l与圆C交于A,B两点，若，求l的倾斜角 17. 古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． （1）求点P的轨迹方程； （2）若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 18. （1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 19 已知圆，圆，且. （1）证明：与相切； （2）若与内切，求公切线的方程； （3）若，且，圆与内切于点，且与的面积之积为，若经过点，的直线分别交于点（异于点），交于点（异于点），证明：以为直径的圆过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $