精品解析：天津市耀华中学2026届高三年级第二次校模拟考数学学科试卷

天津市耀华中学2026届高三年级第二次校模拟考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题纸上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数有意义求得集合A，进而求出集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，又，因此， 所以． 故选：B 2. 设，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若 ,则有 于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得 ，则 ，于是; (2)时，由，可得 ，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 3. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数小于平均数 C. 中位数超过75分 D. 估计全校有640名考生及格 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可. 【详解】A，若，则或异面，故该选项错误； B，若，则或相交，故该选项错误； C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误； D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确. 故选：D. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象，利用性质和特值排除可得答案. 【详解】对于A中的函数，当时，，与图象不符，故排除； 对于B中的函数的定义域为，故排除； 对于D中的函数为偶函数，故排除． 对于C中的函数，定义域为，且满足，其图象关于原点对称， 当时，，当时，，与图象一致. 故选：C 6. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 7. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，为数列的前项和，若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项结合等差数列基本量的运算求得，代入等差数列前n项和公式求得，分离参数得，结合对勾函数的单调性求解即可. 【详解】因为，且，，成等比数列，所以，得或（舍去）， 所以，所以， 又对任意恒成立，所以， 因为，结合对勾函数的单调性且， 所以当时，取得最小值为， 所以，即实数的最大值为. 故选：D 8. 设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出的特征，再结合最大值与最小值的和为0的条件，求出的最小值． 【详解】，周期为， ，则是周期， ，即是正偶数， 当时，， 已知最大值与最小值的和为0， 最大值与最小值互为相反数， 若，区间，最大值为，最小值为1，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和不为0； 若，区间，最大值为，最小值为，和为0； 的最小值为6． 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用和垂直轴得出点的坐标，再由得出点的坐标，最后利用两垂直向量的数量积为列出方程即可求解. 【详解】由题知，，， ，，将其代入双曲线的方程，得， 设，则，， 设，，， 解得，，即， ，， 即，得，即， 即，整理可得， ，整理可得，解得或， ，，即. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上． 10. 复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 所以. 11. 的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【解析】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为圆的圆心在抛物线的准线上，所以设圆的圆心坐标为， 则圆的半径为， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以半径， 因此圆的方程为. 13. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______；随机变量表示三人共命中的次数，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据条件概率公式即可求解；②由题意得，总命中次数的期望等于每个人命中次数的期望之和，分别求出每个人命中次数的期望即可. 【详解】①设事件为“甲命中”，事件为“乙命中”，事件为“丙命中”，事件为“恰好有两人命中”， 则由题意得，且每个人射击相互独立， 因此他们未命中的概率分别为，，， 则甲乙命中，丙未命中的概率为； 甲丙命中，乙未命中的概率为； 乙丙命中，甲未命中的概率为； 因此，恰有两人命中的概率为， 甲命中且恰有两人命中的概率为， 由条件概率公式得. ②设为甲命中的次数，设为乙命中的次数，设为丙命中的次数， 则，因此， 由题意得，，， 因此. 14. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量线性运算可将化为，由向量数量积的运算律和定义可构造方程求得，由此可得； 作，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算可将化为关于的二次函数的形式，由二次函数最小值的求法可求得结果. 【详解】，，，， ， ，又，； 作，垂足为， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，，， 设，，， 解得：，， ，，， ， 则当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 15. 已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合函数图像分析临界点，进而确定零点个数，得到答案． 【详解】令，即， 如图，当左侧相切时， 此时，即只有一个解， ，整理得， ，解得或（舍去）， 时，有2个零点，时，有3个零点； 如图，当左侧直线过时， ，解得或（舍去）， 当时，有4个零点，时，有3个零点； ③如图，当右侧过时， ，解得或（舍去）， 当时，有2个零点，时，有3个零点； ④如图，当右侧相切时， 又，则只有一个解， ，整理得， ， 解得或（舍去）， 当时，有4个零点；时，有3个零点； 时，有2个零点； 综上，函数恰有2个零点，正实数的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题纸上． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，求b的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得； （2）由二倍角公式求得，后再由两角和的正弦公式可求值； （3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得. 【小问1详解】 ，由正弦定理得，， ， 即， ，， 又，. 【小问2详解】 由已知得， ， ， . 【小问3详解】 由正弦定理，得， 由（1）知，结合，， ，由余弦定理得，，. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，，即可用空间向量法求解； （2）由向量得出点到平面的距离，再由锥体的体积公式即可求解； （3）分别求出平面与平面的法向量，然后用空间向量法求解. 【小问1详解】 由题意可知、、两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设异面直线与所成角为，则为锐角， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 由（1）易知，，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 所以点到平面的距离为； ，，， 所以三棱锥的体积为． 【小问3详解】 由（1）可知，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由直线的方程为得其斜率为，即 ，结合，可得离心率； （2）（i）先求得点的坐标，根据三角形面积求得的值，从而可得椭圆的方程；（ii） 设直线的方程为，联立椭圆的方程，由判别式为零，结合点到直线的距离公式表示出四边形的面积，求解方程可得的值，从而得直线的方程． 【小问1详解】 由已知，则．，． 【小问2详解】 （ⅰ）设点，于是 ， 所以或， 而无解；由得 又因为三角形面积，所以， 于是，椭圆的方程为． （ⅱ）设直线：代入椭圆的方程中，得 由已知，即 同时，，， 易知四边形为梯形，所以， 解得，所以. 所以，直线的方程为． 19. 已知等差数列的公差为，数列满足． （1）求证：； （2）（ⅰ）若，求； （ⅱ）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）16；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，根据两角和差的余弦公式可证得． （2）由（1）的结论可得， ，易得 ，从而得到 ．（ⅱ）根据项与和的关系，可由求得，依次分析时，时，时，时的取值情况，即可证得． 【小问1详解】 因为等差数列的公差为，所以，； 所以 ， 即． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）得， 由上可得，则， 故 ， 故 ． 所以 ． （ⅱ）由得 当时，由， 所以，得； 当时，，得，符合上式. 所以. 时， 时，； 时，； ，，， ，． 时，； ， ，， 时，； ，． 综上所述，． 20. 已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，从而得到切线的斜率，进而写出切线方程； （2）（i）通过求导找出极小值点，再代入原函数中，结合题目中的参数范围，转化为函数最值问题求解； （ii）通过变量代换将变量转化为新函数的根，通过构建辅助函数并进行求导，结合导数与单调性的关系求出最值，进而可求出距离最小值时的参数关系. 【小问1详解】 当时，，， 求导可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （i），求导可得 ， 因为，分类讨论 当时，，单调递减，则不可能有极小值点； 当时，令，即，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此均有极小值点，且 ， ， 令，设函数， 故对任意的，，求导可得， 当时，，单调递增， 当，，单调递减， ，， 当时，；，， 图象如下图所示， 故恒成立，解得． （ii）方程有两个根， 由（i）可知，否则单调递减，不可能有两个根， 方程有两个根等价于有两个根， 设函数，， 当，；当，，故可知， 记，上式等价于有两个根， 即，两式相减可得，记， 故上式可写成，即， 将代入可得， 设函数，求导可得， 设函数 ，求导可得 ，单调递增， 故，即，单调递增， 要求最小值，即求的最小值，就是求的最小值， 设函数，求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ，，的图象如下图所示 ， 故存在使得，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即时，取最小值， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学2026届高三年级第二次校模拟考 数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题纸上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（ ） A. B. 众数小于平均数 C. 中位数超过75分 D. 估计全校有640名考生及格 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，为数列的前项和，若对任意恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. 9 C. 6 D. 8. 设函数，若恒成立，且在上最大值与最小值的和为0，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线在第一象限内的一点，为轴上的点，垂直于轴，，且为平面直角坐标系内一点，满足，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上． 10. 复数满足，则__________. 11. 的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 12. 已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 13. 已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为______；随机变量表示三人共命中的次数，则______． 14. 如图梯形，且，，在线段上，，则的最小值为____________． 15. 已知为正实数，若函数恰有2个零点，则正实数的取值范围是______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分，将解题过程及答案填写在答题纸上． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角B； （2）若，求的值； （3）若，求b的值. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求三棱锥的体积； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． （1）求椭圆的离心率； （2）设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 19. 已知等差数列的公差为，数列满足． （1）求证：； （2）（ⅰ）若，求； （ⅱ）若，求证：． 20. 已知，是实数，函数，其中是自然对数的底数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， （ⅰ）若均有极小值点，且，求实数的取值范围； （ii）若方程有两个根，，当取最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $