精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2025-2026学年高二上学期第二次定时训练（10月月考）数学试题

2024级高二第二次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 3. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（ ） A B. C. D. 4. 已知点，则的面积等于 (　 　) A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于两点，则最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A. B. C. D. 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 二、多选题:本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分， 9. 下列m的取值，能够使方程表示焦点在y轴上的椭圆的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 B. 直线在轴上的截距为1 C. 如果，那么直线不经过第三象限 D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示. 11. 已知实数满足圆的方程，则（ ） A. 圆心，半径为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两条平行直线与间距离为，则的值为_____________． 13. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 求满足下列条件的直线的方程． （1）经过两条直线和交点，且垂直于直线； （2）经过两条直线和的交点，且平行于直线； 16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； （2）过三点、、的圆； （3）过两点、的椭圆． 18. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 19. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线方程；若不存在，请说明理由. （3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二第二次定时训练 数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 圆的圆心到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2. 若直线与平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线平行可得，运算求解并代入检验即可. 【详解】若直线与平行， 则，整理可得，解得或， 若，则与平行，符合题意； 若，则与重合，不合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点、，则，由中点坐标公式可得，由已知条件可得出，将代入等式，化简可得出轨迹的方程； 【详解】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 4. 已知点，则的面积等于 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点式可得直线的方程，利用点到直线的距离公式可得点到的距离，根据三角形面积公式可得答案. 【详解】解：由题意得： 设边上的高为，则， 其中， 边上的高就是点到直线的距离．AB边所在的直线方程为，即. 点到直线的距离为 因此，. 故选：C 5. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 6. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标 【详解】设C（m，n），由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为代入欧拉线方程得：整理得：m-n+4=0 ① AB的中点为（1，2）， AB的中垂线方程为， 即x-2y+3=0．联立 解得 ∴△ABC的外心为（-1，1）． 则（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8  ② 联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4． 当m=0，n=4时B，C重合，舍去．∴顶点C的坐标是（-4，0）．故选A 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 7. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 8. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分， 9. 下列m的取值，能够使方程表示焦点在y轴上的椭圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆焦点在y轴上求出参数的范围,从而得出答案. 【详解】若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则， 解得或． 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 B. 直线在轴上的截距为1 C. 如果，那么直线不经过第三象限 D. 经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，利用直线方程互化及斜率公式，结合三角函数的性质即可，对B，利用截距的定义即可求解；对C，直线方程互化及已知条件即可求解；对D，利用直线的两点式方程即可求解. 【详解】对A：直线的方程为， 当时直线方程为，倾斜角， 当时，直线方程化为，斜率， 因为，所以，即， 又因为，所以，综上可得，故A错误； 对于B，将代入直线方程，可得，解得，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以可化为，所以直线的斜率，纵截距， 所以该直线经过一、二、四象限，故C正确； 对对D：经过任意两个不同的点，的直线： 当斜率等于0时，，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为也能用此方程表示，故D正确. 故选：CD. 11. 已知实数满足圆的方程，则（ ） A. 圆心，半径为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由圆的标准方程即可判断A，由解出即可判断B，由表示圆上点到定点的距离，计算圆心到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 【详解】对于A：由圆的方程，所以圆心为，半径为，故A错误； 对于B：由，有， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点距离的最大值为，故C正确； 对于D：由得， 所以， 令，由在单调递增， 所以，所以的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知两条平行直线与间的距离为，则的值为_____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用平行直线间距离公式可直接构造方程求得结果. 【详解】由题意知：，即，解得：或. 故答案为：或. 13. 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线方程为． 考点：相交弦所在直线的方程 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 求满足下列条件的直线的方程． （1）经过两条直线和交点，且垂直于直线； （2）经过两条直线和的交点，且平行于直线； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线垂直求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案； （2）联立两直线方程求得两直线交点，由直线与直线平行求得斜率，代入直线方程的点斜式得答案 【详解】（1）联立，解得， 所以，两条直线和的交点为， 又直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得， 所以，两条直线和的交点坐标为， 又直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. 【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为. （1）与直线平行的直线的方程可设为； （2）与直线垂直的直线的方程可设为. 16. 已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为． （1）求直线的方程； （2）若直线上任意一点，都满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点，根据的中点在直线上，求出点的坐标，再求得关于直线对称的点，进而可求直线的方程； （2）根据题意确定点到直线的距离相等，从而得直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离，列式求解即可． 【小问1详解】 如图，由点在直线上，设，则的中点在直线上， 所以，解得，所以． 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 显然在上，则直线的斜率为， 则直线的方程为，整理得． 【小问2详解】 点到直线的距离为． 因为点满足，所以点到直线的距离相等， 所以直线与直线平行，且直线到直线的距离等于点到直线的距离． 设，则有，解得或4， 所以直线的方程为或． 17. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； （2）过三点、、的圆； （3）过两点、的椭圆． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定椭圆的焦点位置，设出其标准方程，列出关于的方程组，求解即得所求； （2）依题意，设所求圆的一般方程，代入三点坐标求解方程组即得所求； （3）依题意，设椭圆的方程为，代入两点坐标求解方程组即得所求. 【小问1详解】 依题意，椭圆的焦点在轴上，且半焦距为， 设椭圆方程为， 由椭圆过点，则，又，建立解得， 故所求椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设所求圆的一般方程为， 将已知三点的坐标代入，即得方程组，解得， 故所求圆的方程为，即. 【小问3详解】 设所求椭圆的方程为， 将两点坐标代入，可得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. 18. 已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围； (2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【详解】（1）由题意可得，直线l的斜率存在， 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0． 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1． 故由，解得：． 故当，过点A（0，1）的直线与圆C：相交于M，N两点． （2）设M；N， 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程， 可得， ∴， ∴， 由，解得 k=1， 故直线l的方程为 y=x+1，即 x-y+1=0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|=2 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算 19. 如图，圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦. （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点平分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由. （3）是过点的另一条弦，当与始终保持垂直时，求的最大值. 【答案】（1）； （2）存，； （3）22. 【解析】 【分析】（1）应用点斜式写出直线方程，再应用点线距离和弦长公式求相交弦长； （2）假设存在，当弦被点平分时，点是的中点，根据已知及点斜式写出符合要求的直线方程即可； （3）记点到的距离分别为，有，根据弦长公式有，应用基本不等式求目标式的最大值. 【小问1详解】 当时，直线为，故， 由圆圆心为原点且半径为，则圆心到距离为， 所以. 【小问2详解】 假设存在，当弦被点平分时，点是的中点， 连接，则，故，又，即， 所以直线为，则. 【小问3详解】 记点到的距离分别为，有， 又， ， 当且仅当时等号成立， 综上，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $