2026年中考数学专项训练 专题04图形的性质考点总结(七大题型)

专题04 图形的性质考点总结（七大题型） 考点01 几何图形初步 考点02 相交线与平行线 考点03 三角形 考点04 四边形 考点05 圆 考点06 命题与证明 考点07 限定工具作图 考点01 几何图形初步 1．如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点P，Q在边ON上，，，将线段PQ绕点P顺时针旋转后，若点Q落在边OM上，则旋转角α的度数为 ． 3．如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 4．如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从前面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 5．如图，某长方体的底面是长为、宽为的长方形，如果从左面看这个长方体时看到的图形面积为，则这个长方体的体积等于 ． 6．如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数之和相等，则x的值为 ． 7．如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 8．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 10．如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 考点02 相交线与平行线 11．如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 12．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ． 13．如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ． 14．已知：如图，，点为中点，．求证：． 15．一条河流两岸分别有一座凉亭和一棵柳树，小智为了测算凉亭和柳树之间的距离，将该场景等比例缩小在一张方格纸上进行模拟测算．如图，方格纸上有若干个相同的小正方形，图中的直线m表示河流，点A表示凉亭，点B表示柳树，点C表示一根电线杆，，，小智延长到点D，使，过点D作，使点B，C，E三点在同一条直线上，连接．已知方格纸上的表示实际场景中的． (1)根据题干，在图中补全示意图（用实线连接）． (2)若测得方格纸上，求凉亭和柳树之间的实际距离． 16．如图，在三角形中，，，的平分线交于点D，，交于点E，求和的度数． 17．如图，直线被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 18．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 19．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 20．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 考点03 三角形 21．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为 ． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 23．如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 24．如图，在中，，，都是的角平分线且相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求的度数． (2)求证：． (3)猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 25．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何关系，并证明. 26．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 27．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝ ． 29．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图1、等边内有一点P，若点P到顶点、、的距离分别为2，1，，求的度数． 为了解决本题，我们可以选择将作为“基础图形”，将理解为“基础图形”引发的“旁线”，选择以“旁线”为边构造一个与“基础图形”相似的三角形（即作等边，如图2所示），再连接对应线段，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)思维进阶：如图3，为任意三角形，可视为“基础”引发的“旁线”，可选择以为边构造一个与“基础”相似的三角形，从而实现边角的转移． 如图4，即是按如上思路构造的与相似的三角形，连接．求证：； (3)尝试应用：如图5，中，，，在外，连接，若，，，求的长． 30．如图，在中，，点P是线段上一点，过点A作的垂线，交的延长线于点M，于点N，于点Q，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 考点04 四边形 31．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 32．如图，四边形是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个矩形花坛，其四个顶点恰好是菱形各边的中点，现准备在花坛中种植草皮，草皮单价为20元，请问购买草皮需要多少元？ 33．如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，且，求证：． 34．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 35．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 36．小明学习了平行四边形的知识后，想利用平行四边形的相关知识探究下列问题． (1)【问题探究】探究一 利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图①，在中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧在下方交于点，连接，，则四边形是平行四边形．小明判定四边形是平行四边形的依据是__________； (2)探究二 “在四边形中，若，对角线与交于点，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图②中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形__________（填写“是”“不是”或“不一定是”）平行四边形； (3)【问题应用】如图③，在中，E是的中点，连接AE，EB，F是AE的中点，连接交于点G．若，求的长． 37．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 38．如图，菱形中，过对角线交点作，点在上，点在上，若，则四边形面积的最小值为 ． 39．如图是一个用长的篱笆围成的直角梯形的菜地，其中梯形的高为，靠墙的一边不用篱笆，那么菜地的面积是( )． 40．已知：如图，在梯形中，，中位线，对角线，求梯形的高． 考点05 圆 41．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 42．用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 43．如图，在中，过A，B两点，且与直线相切于点A，D为中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 44．如图，是的直径，，与相交于点E，D是的中点，直线与直线相交于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，记的面积分别为，若，，求的值； (3)已知，设，，请写出y与x的函数关系式． 45．如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 46．下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 47．如图，A，B，C，D是上的点，半径，弧弧，，则扇形的面积为 ． 48．如图，在中，以为直径作，为的切线，过点A作于点D． (1)求证：； (2)E为上一点，且，过点E作交于点F， 交切线于点G， 当时，求线段的长． 49．如图中，，以为直径的圆交于点D、交延长线于点E，过E作于M，交延长线于N． (1)求证：为圆O切线； (2)若， ，求圆O的半径． 50．如图，点，，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 考点06 命题与证明 51．下列各语句是真命题的是（   ） A．三个角对应相等的三角形全等 B．两点之间直线最短 C．三角形的内角和小于 D．三角形的两边之和大于第三边 52．下列命题：①三角形三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的重心；②全等三角形对应边上的中线相等；③有两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④两边一角分别相等的两个三角形全等；⑤两边及第三边上的高分别相等的两个三角形全等．其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 53．下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 54．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 55．下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（   ） A．①、②是正确的命题 B．②、③是正确命题 C．①、③是正确命题 D．以上结论皆错 56．有下列命题：①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边长为5；②若的三边长a，b，c满足，则；③在中，若，，的度数之比为，则为直角三角形．其中，假命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 57．假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 58．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 59．有四个命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线相等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④中，，，，则边上的中线中，正确的有（   ） A．① ③ B．② ③ C．② ④ D．① ② ③ 60．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点07 限定工具作图 61．航模小组在设计支架时，需要解决以下几何问题，已知夹角为，点位于射线上，点位于射线上． (1)尺规作图：需在内部确定一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在上确定一点，使得（即为中点），并证明作法的正确性． 62．在中，，．在上取一点，以点为圆心，以的长为半径（）画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 63．如图，为上一点，为线段上一点，请用直尺和圆规作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）． 64．如图，已知，，平分交于D，于E，于F，交于G． (1)尺规作图，在上求点M，使得（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：点M、G，C三点共线． 65．如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 66．如图，点P是的边上的一定点， (1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______． 67．如图，在中，，，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、，画直线交于点，交于点，则线段的长为 ． 68．如图，已知，用直尺和圆规准确地作一个角等于． 作法：（1）作 OA． （2）以的顶点P为圆心， 长为半径画弧，交的两边于 ． （3）以点O为圆心， 的长为半径画弧，交OA于点C． （4）以点C为圆心， 的长为半径画弧，交另一条弧于点D． （5）经过点D作 OB，即为所求． 69．如图所示，在中，，在的延长线上，连接，为的中点． (1)用直尺和圆规，在上找一点，使点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，根据（1）中所作的图形，证明：． 70．如下图，已知线段a，b，作线段AB，使（注明作图步骤并保留作图痕迹，说明作图结果） 2 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质考点总结（七大题型） 考点01 几何图形初步 考点02 相交线与平行线 考点03 三角形 考点04 四边形 考点05 圆 考点06 命题与证明 考点07 限定工具作图 考点01 几何图形初步 1．如图所示的是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算、余角的性质、光的反射定律等知识点，掌握光的反射定律是解题的关键．先根据光的反射定律和已知条件可得：，从而求出，再根据余角的性质可得即可解答． 【详解】解：根据光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，，点P，Q在边ON上，，，将线段PQ绕点P顺时针旋转后，若点Q落在边OM上，则旋转角α的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质等，根据题意正确画出图形，过点P作交于点D，是解题的关键； 根据题意，确定点Q落在边OM上有两种情况，当旋转角较小时，过点P作交于点D， 利用直角三角形的性质，勾股定理和等腰三角形的性质，可求得；当旋转角较大时，同理可求得，综合可得结果． 【详解】如图1，当旋转到位置，且点A在上时， 过点P作交于点D，则， ，， ， 又， 由勾股定理得， ， ， 又， ，即； 如图2，当旋转到位置，且点B在上时， 同理可证， ，即； 综上可知，若点Q落在边OM上，则旋转角α的度数为或． 故答案为：或． 3．如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 4．如图所示的是由两个宽度相同的长方体组成的几何体，从前面看到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从前面看这个几何体上面和下面部分构成的平面图形即可解决问题. 【详解】解：从前面看上部分和下部分都是一个宽度相同的长方形，其中上部长方形的长小于下部长方形的长. 故选：． 5．如图，某长方体的底面是长为、宽为的长方形，如果从左面看这个长方体时看到的图形面积为，则这个长方体的体积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，熟练掌握长方体的体积公式是解题关键． 设这个长方体的高为，先根据长方形的面积公式可得，则可得的值，再利用长方体的体积公式求解即可得． 【详解】解：设这个长方体的高为， ∵这个长方体的底面是长为、宽为的长方形，如果从左面看这个长方体时，看到的图形面积为， ∴， 解得， ∴这个长方体的体积为， 故答案为：． 6．如图所示是一个正方体的展开图，它所有相对的面上两数之和相等，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形来确定出相对面，再根据相对面上的两数的和相等列式计算即可得解． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “5”与“3”是相对面， “x”与“4”是相对面， ∵所有相对的面上两数之和相等， ∴， 解得． 故答案为：4． 7．如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的度数． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题使用“互余的两个角和为，互补的两个角和为”，结合角平分线将角分成两个相等的部分，进行求解． 【详解】解：因为与互为补角，与互为余角， 所以． （1）因为，所以． 故答案为：． （2）因为，所以，所以， 所以． 又因为平分，所以． 故答案为：． 8．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可. 【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故③说法正确，符合题意； 在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意； 故③⑤说法正确. 故选：． 9．如图，能用字母表示的直线有 条，线段有 条，射线有 条 【答案】 1 3 4 【分析】首先识别图中直线、射线、线段的数量，同时结合还要能用字母表示线段、直线、射线即可解决问题． 【详解】解：直线没有端点，可向两端无限延伸。图中A、B、C三点在同一条直线上，能用字母表示的直线只有条(可表示 为直线，直线直线，本质是同一条直线)； 线段有两个端点，不可延伸，表示线段有共三条； 直线上有三个点，共有六条射线，但是用字母来表示的只有射线，射线，射线，射线共四条． 故答案为：①1  ②3  ③4． 10．如图，的平分线与中的相邻外角的平分线相交于点，过作，交于，交于，若，，求的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，角平分线有关计算．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的关键． 根据、分别平分、的外角，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， 同理可得 ，， ， ， 故答案为：． 考点02 相交线与平行线 11．如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，垂直定义，同角的余角相等，根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质得出，，进而解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 12．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了平行线判定和性质，平行公理的推论．过点E作，可得，从而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 13．如图，是等边三角形，为边的中点，，为中线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】12cm 【分析】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 过点作于，过点作于．求出，再证明，根据垂线段最短，解决问题即可． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于． 是等边三角形，， ，平分， ， ， ， ，， 根据面积法可得， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 14．已知：如图，，点为中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质．证明，则，即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15．一条河流两岸分别有一座凉亭和一棵柳树，小智为了测算凉亭和柳树之间的距离，将该场景等比例缩小在一张方格纸上进行模拟测算．如图，方格纸上有若干个相同的小正方形，图中的直线m表示河流，点A表示凉亭，点B表示柳树，点C表示一根电线杆，，，小智延长到点D，使，过点D作，使点B，C，E三点在同一条直线上，连接．已知方格纸上的表示实际场景中的． (1)根据题干，在图中补全示意图（用实线连接）． (2)若测得方格纸上，求凉亭和柳树之间的实际距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，画垂线和线段，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）先证明得到，再证明得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：补全示意图如图所示： （2）解：如图，∵，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵方格纸上的表示实际场景中的， ∴凉亭和柳树之间的实际距离为． 16．如图，在三角形中，，，的平分线交于点D，，交于点E，求和的度数． 【答案】的度数为，的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形内角和定理，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并正确计算． 由，可得“两直线平行，同旁内角互补”，可知，由此可求的度数；再根据三角形内角和为，可求解的度数，再根据为的平分线，可求解的度数，再由“两直线平行，内错角相等”可求解的度数． 【详解】解：∵，且， ∴， 即； ∵在三角形中，，， ∴， ∵的平分线交于点D， 即为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为，的度数为． 17．如图，直线被直线所截，则的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，由此判断即可． 【详解】解：的同位角是， 故选：C． 18．如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据，平分，可证，根据等角对等边可得，根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，进而可得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 19．如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义，掌握等量代换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，从而可得，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长 ， 故选B． 20．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定，关键在于找准两个角之间的关系． 直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意； B．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故符合题意； C．，利用内错角相等，两直线平行，可判断出，故不符合题意 ； D．，利用同旁内角互补，两直线平行，可判断出，故不符合题意， 故选B． 考点03 三角形 21．如图，与相切于点A，的延长线与交于点C，若的半径为3，．弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 连接，过A作于点D，由切线的性质得到，从而在中根据勾股定理求出，根据的面积求出，进而在中，求出，从而可得的长，再在中求出即可． 【详解】解：连接，过A作于点D， ∵为的切线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件： （1）根据根的判别式证明即可； （2）先解方程得到，，再根据等腰三角形的两条边是方程的解，得到是方程的解，据此求出方程的两个根，进而确定的三边长，结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得，， 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为1，3，3， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 当时，解得，， 此时等腰三角形三边分别为3，3，5， ， ∴此时能构成三角形， ， ∴的周长为； 综上可知，的周长为或． 23．如图，中，，以为直径作交于点，作交于点，延长交的延长线于点． (1)求证：是圆O的切线； (2)若为等边三角形，，求圆半径的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，，等量代换得，由平行线的判定得到，进而得到，即可证得是的切线； （2）由等边三角形的性质得，再结合圆周角定理以及直角三角形的性质得，根据勾股定理列式计算，即可得到结论． 本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是：正确作出辅助线，证得． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：为等边三角形， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 半径的长为2． 24．如图，在中，，，都是的角平分线且相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求的度数． (2)求证：． (3)猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理． （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，可知的度数； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌，即可得到； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ， ∴； （2）证明： 理由：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 理由：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 25．已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何关系，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； （2）答：，且. 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. 26．如图，，交于点，，是半径，且于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明； （2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 设的半径是， ，， ，， ， ， ， ， ， 的半径是． 27．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．如图，在中，为平分线，于，于，，，则＝ ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了外角的性质，角平分线的定义和所对的直角边等于斜边的一半．熟练掌握以上知识点是解题关键． 由题意先证明，再由“所对的直角边等于斜边的一半”找出和的关系即可． 【详解】解：，， ， ，而， ， 为平分线， ， 于，于， ， ， ， ． 故答案为：2． 29．阅读下面材料，并解决问题： (1)如图1、等边内有一点P，若点P到顶点、、的距离分别为2，1，，求的度数． 为了解决本题，我们可以选择将作为“基础图形”，将理解为“基础图形”引发的“旁线”，选择以“旁线”为边构造一个与“基础图形”相似的三角形（即作等边，如图2所示），再连接对应线段，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)思维进阶：如图3，为任意三角形，可视为“基础”引发的“旁线”，可选择以为边构造一个与“基础”相似的三角形，从而实现边角的转移． 如图4，即是按如上思路构造的与相似的三角形，连接．求证：； (3)尝试应用：如图5，中，，，在外，连接，若，，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）以为边在的右侧作等边，连接，证明，可得，，再由勾股定理逆定理可得，然后根据特殊角三角函数值可得，即可求解； （2）作，交于点E，连接，可得，，从而得到，即可求证； （3）作，过点E作，垂足为点E，连接，则，根据，可设，则，再由，可得，，然后根据，可得，，可证明，可得，再由，可得，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：如图，以为边在的右侧作等边，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）证明：如图，作，交于点E，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，作，过点E作，垂足为点E，连接，则， ∵， ∴， ∴， 可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 30．如图，在中，，点P是线段上一点，过点A作的垂线，交的延长线于点M，于点N，于点Q，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先由垂直条件得出多个直角，通过同角的余角相等推导出一组角相等，再结合已知的一组边相等，利用“角边角”判定定理证明两个三角形全等； （2）根据（1）的全等结论得到两组边相等和一组角相等，通过角的等量代换推导出角平分线，再利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合之前的边相等关系，证明目标边相等； （3）设出未知边长，结合已知线段长度表示出相关边，在直角三角形中利用勾股定理列方程求出未知边长，再通过直角三角形全等得到一组边相等，最后在另一个直角三角形中用勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：由（2）知，则设， 又，则， 在中，， 即， 解得， ∴， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得． 考点04 四边形 31．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理可证为的中位线，再根据中位线的性质可得，即可得证； （2）根据证明，再根据勾股定理求得，再根据等面积法即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的直径，C是的中点， ， ， 为的中位线， ， ， 是的切线； （2）解：E是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， 为直径，   ， ， ． 32．如图，四边形是一个菱形绿地，其周长为，，在其内部有一个矩形花坛，其四个顶点恰好是菱形各边的中点，现准备在花坛中种植草皮，草皮单价为20元，请问购买草皮需要多少元？ 【答案】元 【分析】本题主要考查菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形与矩形的性质是解题的关键；连接，，交于一点O．由题意易得菱形的边长为，则有，，然后根据三角形中位线可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图，连接，，交于一点O． ∵菱形的周长为， ∴菱形的边长为． ∵， ∴，是等边三角形， ∴对角线，即， ∴， ∴． ∵E，F，G，H是菱形各边的中点， ∴， ∴矩形的面积为， 即购买草皮需要（元）． 33．如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 34．如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)为何值时，在的垂直平分线上？ (2)为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意得，，则，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，在的垂直平分线上； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴当或时，的长度为． 35．如图，在菱形中，E、F分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理．由三角形的中位线定理可得，由菱形的性质可求菱形的周长． 【详解】解：∵点E、F分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长， 故选：D． 36．小明学习了平行四边形的知识后，想利用平行四边形的相关知识探究下列问题． (1)【问题探究】探究一 利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图①，在中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧在下方交于点，连接，，则四边形是平行四边形．小明判定四边形是平行四边形的依据是__________； (2)探究二 “在四边形中，若，对角线与交于点，且，四边形是平行四边形吗？” ①在图②中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； ②结合所作图形，符合条件的四边形__________（填写“是”“不是”或“不一定是”）平行四边形； (3)【问题应用】如图③，在中，E是的中点，连接AE，EB，F是AE的中点，连接交于点G．若，求的长． 【答案】(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (2)①见解析；②不一定是 (3)4 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定方法即可求解； （2）①根据题意作出符合条件的图形即可回答问题；②由①解答即可； （3）根据三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得，，可得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：由作法得：， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）解：①如图①，四边形，四边形，即为符合条件的图形； ②由①得：四边形不是平行四边形， 则符合条件的四边形不一定是平行四边形； 故答案为：不一定是； （3）解：如图②，取的中点，连接，． 是的中点，是的中点， 是的中位线， 且， 是的中点， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ． 37．如图，在菱形中，，相交于点，过点作，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若菱形的面积为48，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，求得，得到，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据菱形的面积公式得，根据菱形的性质得，，再根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为48， ∴，，， ∴， 矩形的面积． 38．如图，菱形中，过对角线交点作，点在上，点在上，若，则四边形面积的最小值为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，利用完全平方公式确定最值，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用．设，利用勾股定理和等面积法表示出，利用完全平方公式得出，整理得出的最小值为50，然后求出四边形的面积最小值即可． 【详解】解：设， ∵四边形是菱形， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， 整理得， ∵，当时，取最小值0， ∴， ∴， 整理得，即的最小值为50， ∵四边形的面积，，， ∴当取得最小值时，四边形的面积最小， 最小值为， 故答案为：21． 39．如图是一个用长的篱笆围成的直角梯形的菜地，其中梯形的高为，靠墙的一边不用篱笆，那么菜地的面积是( )． 【答案】 【分析】本题考查了梯形面积，由题意可得直角梯形的上底下底，然后通过梯形面积公式即可求解，掌握梯形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，直角梯形的上底下底， ∴菜地的面积是， 故答案为：． 40．已知：如图，在梯形中，，中位线，对角线，求梯形的高． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，梯形的中位线，直角三角形的性质及勾股定理．过作，交的延长线于，连接，易证四边形是平行四边形，，进而推出是的中位线，求出，再根据对角线垂直的条件结合直角三角形的性质求得的长度，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作，交的延长线于，连接， ，， ∴四边形是平行四边形，， 又在梯形中，中位线，即点分别是的中点， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ， 又， ， ． ， ， ， ． 考点05 圆 41．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 42．用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得：． 答：扇形的半径为． 故答案为：6． 43．如图，在中，过A，B两点，且与直线相切于点A，D为中点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的切线性质，等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，圆的垂径定理，掌握知识点是解题的关键． (1)连接，由是的切线，得到．由，D为的中点，得到平分，，设，将与分别用含的代数式表示，可得到与之和是，即，由此可证得． (2)由，设，则，在中运用勾股定理可求得x的值，即可求出的值，即可求出及的值，再利用，在中求出的值．设的半径为r，在中运用勾股定理即可求出r的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵AC是的切线，切点为A， ∴，即， ∵，D为的中点， ∴平分， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． （2）解：∵于点D，于点F， ∴， ∵， 设，则， 由勾股定理，且，可得， 解得， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即， 将代入，可得， 解得． 设的半径为r，则， ∴． 由勾股定理， 即， 解得， ∴的半径为． 44．如图，是的直径，，与相交于点E，D是的中点，直线与直线相交于点F． (1)求证：是的切线； (2)连接，记的面积分别为，若，，求的值； (3)已知，设，，请写出y与x的函数关系式． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）可知，则有，然后根据及相似三角形的性质可进行求解； （3）由（1）可知，则有，然后可得，进而通过化简可得答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图， 由（1）可知：， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 化简得：， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：如（1）图， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，整理得： ∴， ∴， 整理得：， 即y与x的函数关系式为． 45．如图，点A，B，C在半径为2的上，，，垂足为E，交于点D，连接，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，结合已知条件求得是解题的关键．连接，利用圆周角定理及垂径定理易得，则，结合已知条件，利用直角三角形中角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 46．下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】考查了垂径定理以及弦和弧的概念等知识．根据弦的定义、垂径定理的推论，即可求得答案． 【详解】A．直径是弦，弦不一定是直径，故不正确，不符合题意；     B．同圆或等圆中，半圆比劣弧长，比优弧短，故不正确，不符合题意；     C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦，故正确，符合题意；         D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确，不符合题意；     故选：C． 47．如图，A，B，C，D是上的点，半径，弧弧，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，先根据圆周角定理计算出的度数，再根据扇形面积公式列式计算即可． 【详解】解：弧弧， ， ， ， 扇形的面积， 故答案为：． 48．如图，在中，以为直径作，为的切线，过点A作于点D． (1)求证：； (2)E为上一点，且，过点E作交于点F， 交切线于点G， 当时，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质得，即，再由直径所对的圆周角是直角得，在和中，根据直角三角形两锐角互余，得到，最后根据同角的余角相等证明； （2）设，由得出，在中，根据，求出，再利用勾股定理求出，在中，，，，， ，结合，利用切线的性质，等腰三角形，相似三角形等关系建立方程求出,最后根据三角函数求出的长． 【详解】（1）证明：连接， 为的切线， ， ， ， ， ， ， 在中，，则， 在中，，则， ， ； （2）， 为的直径， ，设， 中，， ， ， 中，， ，， ， ， ， 为切线， ， ， ， ， ， 过点作于，，， ， ， 在中，, ，解得， ， ， ， 在中，， ，， ． 49．如图中，，以为直径的圆交于点D、交延长线于点E，过E作于M，交延长线于N． (1)求证：为圆O切线； (2)若， ，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、三角形中位线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：连接，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得E为中点，再结合三角形中位线的性质可得，然后得到即可证明结论； （2）设圆O的半径为r，则，，先证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵为圆O直径， ∴，即， ∵， ∴E为中点， ∵， ∴， ∵， ∴，即为圆O的切线． （2）解：设圆O的半径为r，则，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：． ∴圆O的半径为3． 50．如图，点，，，在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴． 故选：C． 考点06 命题与证明 51．下列各语句是真命题的是（   ） A．三个角对应相等的三角形全等 B．两点之间直线最短 C．三角形的内角和小于 D．三角形的两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，三角形三边关系，全等三角形的判定，三角形内角和等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据三角形三边关系，全等三角形的判定，三角形内角和一一判断即可． 【详解】解：A、三个角对应相等的三角形，形状相同，但大小不一定相同，所以不一定全等，所以原语句是假命题，本选项不符合题意； B、两点之间线段最短，而不是直线最短，所以原语句是假命题，本选项不符合题意； C、三角形的内角和等于，不是小于，所以原语句是假命题，应该是等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，本选项不符合题意； D、三角形任何两边的和大于第三边，是三角形三边关系的基本定理，所以原语句是真命题，本选项符合题意． 故选：D． 52．下列命题：①三角形三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的重心；②全等三角形对应边上的中线相等；③有两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④两边一角分别相等的两个三角形全等；⑤两边及第三边上的高分别相等的两个三角形全等．其中真命题的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】该题考查了三角形的重心，全等三角形的性质和判定，根据三角形的重心，全等三角形的性质和判定分别判断即可． 【详解】解：三角形三条中线相交于一点，这个点是三角形的重心，故命题①是假命题； 全等三角形对应边上的中线相等，故命题②是真命题； 有两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故命题③是假命题； 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，故命题④是假命题； 两边及第三边上的高分别相等的两个三角形不一定全等，故命题⑤是假命题； 故真命题的个数为1个， 故选：A． 53．下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．两直线平行，内错角相等 B．若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等 C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题，真假命题．熟练掌握构造原命题的逆命题，判断命题真假，是解题的关键． 把每个命题的题设与结论对换，构造其逆命题，运用平行线判定，绝对值性质，对顶角性质，数的平方性质，逐一判断即得． 【详解】解：A. 两直线平行，内错角相等，逆命题是；内错角相等，两直线平行，成立； B. 若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等，逆命题是；若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等，成立； C. 相等的两个角是对顶角，逆命题是；两个角是对顶角，这两个角相等，成立； D. 如果，那么，逆命题是；如果，那么，不成立． 故选：D． 54．四个小孩在校园内踢球，“砰”的一声，不知是谁踢的球把课堂窗户的玻璃打破了，王老师跑出来一看，问：“是谁打破了玻璃？” 小张说：“是小强打破的．” 小强说：“是小胖打破的．” 小明说：“我没有打破窗户的玻璃．” 小胖说：“王老师，小强在说谎，不要相信他．” 这四个小孩只有一个说了实话．请判断：是谁打破了窗户的玻璃？（  ） A．小张 B．小强 C．小明 D．小胖 【答案】C 【分析】本题考查了逻辑推理与论证，仔细读题是解决本题的关键． 根据小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾，进而判断即可． 【详解】解：根据题意得，小强说“是小胖打破的”，小胖说“小强在说谎”，两人的话相互矛盾， ∴两人的话必有一真一假， ∵“只有一个小孩说真话”， ∴小张和小明的话都是假话， ∴小明说“我没有打破窗户的玻璃”是假话，说明小明打破了玻璃． 故选C． 55．下列语句：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（   ） A．①、②是正确的命题 B．②、③是正确命题 C．①、③是正确命题 D．以上结论皆错 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理、垂直等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据平行线的性质、平行公理、垂直逐个判断即可得． 【详解】解：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；原语句正确； ②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补， ∵同旁内角相等， ∴这两个同旁内角都是， ∴这两条平行线都与第三条直线垂直；原语句正确； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原语句错误； 故选：A． 56．有下列命题：①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边长为5；②若的三边长a，b，c满足，则；③在中，若，，的度数之比为，则为直角三角形．其中，假命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要对三个命题逐一进行分析，根据勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理来判断每个命题的真假，从而确定假命题的个数． 【详解】解：命题①：在中，已知两边长分别为3和4。如果这两边都是直角边，根据勾股定理，第三边长为；如果4是斜边，3是直角边，那么第三边长为，所以命题①是假命题，符合题意； 命题②：若的三边长满足，根据勾股定理的逆定理，应该是，而不是，所以命题②是假命题，符合题意； 命题③：在中，的度数之比为，设 ∵三角形内角和为 ∴，即 解得 则 ∴为直角三角形，命题③是真命题，不符合题意． 综上所述，假命题有2个． 故选：C． 57．假设命题“”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 由于的反面为，则假设命题“”不成立，则有． 【详解】解：假设命题“”不成立，则． 故选B． 58．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 59．有四个命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②矩形的对角线相等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④中，，，，则边上的中线中，正确的有（   ） A．① ③ B．② ③ C．② ④ D．① ② ③ 【答案】C 【分析】根据菱形的判定定理判断①，根据矩形的性质判断②，根据正方形的判定定理判断③，根据勾股定理逆定理，直角三角形的性质判断④． 【详解】解：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①错误； ②矩形的对角线相等，②正确； ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③错误； ④中，，，，因为，即， 所以是直角三角形，是斜边，边上的中线，④正确； 综上，正确的有② ④． 故选：C． 60．如图，在正方形中，E、F分别是的中点，交于点G，连接，下列结论：①，②，③，④，正确的有几项（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①利用正方形的性质证明即可； ②利用的性质得出相等的角，然后利用等量代换即可求解； ③延长和，相交于点，证明，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； ④利用反证法进行证明即可． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴②正确，符合题意； ③如图所示，延长和，相交于点， ∵E是的中点， ∴， 又∵,， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴③正确，符合题意； ④假设， 由③得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 显然，矛盾， ∴假设错误， ∴④不符合题意； 综上，正确选项为①②③， 故选：C． 考点07 限定工具作图 61．航模小组在设计支架时，需要解决以下几何问题，已知夹角为，点位于射线上，点位于射线上． (1)尺规作图：需在内部确定一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在上确定一点，使得（即为中点），并证明作法的正确性． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，尺规作图，熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据尺规作图作角及线段的作法即可求解； （2）连接与，其交点即为点，利用证得，进而可求证结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接与，其交点D即为所求： 证明如下： ， ，， 由（1）得， 在与中， ， ， ． 62．在中，，．在上取一点，以点为圆心，以的长为半径（）画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，由尺规作图可得，平分，，得到，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可得，平分，， ， ， 故选：C． 63．如图，为上一点，为线段上一点，请用直尺和圆规作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图基本作图，平行线的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．分别以为圆心，相同长度为半径画弧，交于和点，再以N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M，连接交于D，则即为所求； 【详解】解：如图所示，即为所求； 画法：分别以为圆心，相同长度为半径画弧，交于和点，再以N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M，连接交于D，则即为所求； 理由：由画法知， ， ∴， ∴ 64．如图，已知，，平分交于D，于E，于F，交于G． (1)尺规作图，在上求点M，使得（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：点M、G，C三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形全等的判定与性质，熟悉相关知识的运用是解题的关键． （1）根据题意，要使，即保证，再利用尺规作图即可； （2）由题可证得，继而证得，再通过证明即可求解． 【详解】（1）解：如图，由平分，要使，即保证即可， （2）解：连接， 平分， ， ∵，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又三点共线， ， ， 即点M、G，C三点共线． 65．如图，在中，是钝角． (1)尺规作图：在上取一点O，以O为圆心，作出，使其过A、C两点，交于点D，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，，． ①求证：是的切线； ②求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②32 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D； （2）①证明即可；②证明，推出，由此可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2）①证明：连接． ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线是的切线； ②在中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为32． 66．如图，点P是的边上的一定点， (1)请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．在图 1中作一个，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切，切点为F； (2)在（1）的条件下，若，，则所作的的劣弧与、所围成图形的周长_______． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）过点作的垂线，交于点，在上取，作的角平分线，交于点，以为圆心，长为半径即可作，由作法可得，则，，满足条件； （2）连接，由（1）可得是等腰直角三角形，得到，，设，利用勾股定理得出，进而求出，再利用弧长公式求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ，， 所作的的劣弧与、所围成图形的周长． 67．如图，在中，，，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、，画直线交于点，交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理．由题意知，是线段的垂直平分线，故，在中，由勾股定理得的值，设，则在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，是线段的垂直平分线 ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， 故答案为：． 68．如图，已知，用直尺和圆规准确地作一个角等于． 作法：（1）作 OA． （2）以的顶点P为圆心， 长为半径画弧，交的两边于 ． （3）以点O为圆心， 的长为半径画弧，交OA于点C． （4）以点C为圆心， 的长为半径画弧，交另一条弧于点D． （5）经过点D作 OB，即为所求． 【答案】 射线 任意 点 （或） 射线 【分析】本题考查了用不带刻度的直尺和圆规作图形，做一个角等于已知角，熟悉作法是解题的关键． 【详解】解：作法：（1）作射线OA． （2）以的顶点P为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点． （3）以点O为圆心，的长为半径画弧，交OA于点C． （4）以点C为圆心，的长为半径画弧，交另一条弧于点D． （5）经过点D作射线OB，即为所求． 故答案为：①射线 ②任意 ③点 ④（或） ⑤⑥射线 ． 69．如图所示，在中，，在的延长线上，连接，为的中点． (1)用直尺和圆规，在上找一点，使点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，根据（1）中所作的图形，证明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的判定定理，三角形中位线定理，三线合一定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）点到和的距离相等，则点F在的角平分线上，据此根据角平分线的尺规作图方法作图； （2）根据题意可得点F在的角平分线上，由三线合一定理可得点F为的中点，则为的中位线，由三角形中位线定理即可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵点到和的距离相等， ∴点F在的角平分线上，即平分， ∵， ∴点F为的中点， 又∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴，即． 70．如下图，已知线段a，b，作线段AB，使（注明作图步骤并保留作图痕迹，说明作图结果） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，两点之间的距离，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取点B使得，线段即为所求． 【详解】解：如图所示． ①作射线． ②在射线上顺次截取． ③在线段上截取． 线段即为所作的线段． 2 / 71 1 / 71 学科网（北京）股份有限公司 $