精品解析：黑龙江省哈尔滨市博雅学校2025-2026学年九年级上学期九月月考数学试题

博雅中学2025-2026学年度九年级上学期数学9月月考0929 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】A． ，原运算错误，不符合题意； B． ，原运算错误，不符合题意； C． ，正确，符合题意． D． ，原运算错误，不符合题意； 故选C． 2. 下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为； 故选：B． 4. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个角的正弦值，根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 6. 如图，绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是由题意根据旋转的性质可得，，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，根据． 【详解】解：∵绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选C． 7. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值即可得出答案，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：． 8. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：D． 9. 数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（ ） A. B. C. 条件不足，无法计算 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图之角平分线，尺规作图之垂直平分线，三角形内角和，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，可知平分，被垂直平分，那么，，接着利用三角形内角和求得，由，求得． 【详解】解：根据题意，可知平分，被垂直平分，在的垂直平分线上， 四边形为矩形， ， 平分， ， ， 被垂直平分，在的垂直平分线上， ， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴A选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴B选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴C选项正确，不符合题目要求； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不等于零．根据分母不为零分式有意义，可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，利用二次根式的性质先化简，再相减即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】 13. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式，然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 15. 如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为______． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理得，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 16. 如图，为圆的直径，弦于点，若，，则圆的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为r，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴的直径为20． 故答案为：20． 17. 如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为________个． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找出图形的一般规律；由题意可知第1个图案有小黑点个；第2个图案有小黑点个；第3个图案有小黑点个；第4个图案有小黑点个；……；第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）；然后问题可求解． 【详解】解：第1个图案有小黑点（个）； 第2个图案有小黑点（个）； 第3个图案有小黑点（个）； 第4个图案有小黑点（个）； ……； ∴第n个图案有小黑点个（除第一个图案外）； ∴第6个图案中的小黑点个数为（个）； 故答案为：40． 18. 定义“”是一种运算符号，规定，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用已知的新定义列式计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：2026． 19. 是直角三角形，，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是分类讨论．分和两种情况讨论，利用特殊角的锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：是直角三角形，， 存在和两种情况， 若，则， ， 若，则， ， 的长为或． 故答案为：或． 20. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）的最小值为．上述结论中，所有正确结论序号是______． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】证明，可判定（1）正确；证明，得，可证，故（2）正确；连接交，于点O，Q，点M，点D关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为，故的最小值是，故（4）错误；根据，可判断（3）正确． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， 故（1）正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故（2）正确； 连接交，于点O，Q， ∵正方形，且， ∴， ∵垂直平分， ∴点M，点D关于直线对称， 故的最小值是点P与点Q重合时取得，且为， 故的最小值是， 故（4）错误； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 故（3）正确． 综上所述，正确的结论有（1）（2）（3）． 故答案为：（1）（2）（3）． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相关性质是解题的关键． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：其中． 【答案】， 【解析】 【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 【详解】解：原式． 当时． 原式． 22. 如图1、图2均为的方格纸（每个小正方形的边长均为），在方格纸中各有一条线段，其中点、均在小正方形的顶点上，请按要求画图； （1）在图1中画一个直角，使得，点在小正方形的顶点上； （2）如图2中画一个平行四边形，使得平行四边形的面积为图1中面积的倍，点、在小正方形的顶点上； （3）图2中连接，直接写出的长度． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）如图所示，平行四边形即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据中，进行作图即可； （2）根据图1中面积为4，可得平行四边形的面积为16，据此作图即可； （3）利用图象法及勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，平行四边形的面积为图1中面积的4倍， 【小问3详解】 解：如上图，连接， ． 23. 如图，热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，在图中有两个直角三角形．在Rt△ACD中，利用30°角的正切求出CD；在Rt△ABD中，利用60°角的正切求出CD，二者相加即可． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D， ∵从热气球点A处看我市一栋高楼顶部B点处的仰角为60°，看这栋高楼底部C点处的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为66m， ∴∠BAD＝60°，∠DAC＝30°，AD＝66m， ∴tan60°＝， ∴BD＝ADtan60°＝66（m）， ∵tan30°＝， ∴CD＝ADtan30°＝22（m）， ∴BC＝BD＋CD＝66＋22＝88≈152.2（m）， 答：这栋高楼的高度约为152.2m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知熟练掌握锐角三角函数关系得出CD，BD的长是解题关键． 24. 在中，点E在边上，点F在边上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设交于点G，交于点H，连接，若E是边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以为边的所有平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADE=∠CBF，AD=CB． ∵∠DAE=∠BCF， ∴． ∴DE=BF． （2）DGHE，EGHC，GAFH，GFBH 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质即可证明． （2）根据平行四边形的性质可得FA=BF=EC=DE，，根据全等三角形的判定定理和性质，三角形的中位线定理可得GH=FA=BF=EC=DE，，即可得到DGHE，EGHC，GAFH，GFBH． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵E是CD的中点， ∴DE=EC． ∵DE=BF， ∴DE=BF=EC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，． ∴． ∴． ∴FA=BF=EC=DE． ∵， ∴∠GED=∠GAF，∠GDE=∠GFA，∠HCE=∠HFB，∠HEC=∠HBF． ∴，． ∴GE=GA，HE=HB． ∴点G是AE中点，点H是BE中点． ∴GH是△EAB的中位线． ∴，． ∴GH=FA=BF=EC=DE，． ∴四边形DGHE是平行四边形，四边形EGHC是平行四边形，四边形GAFH是平行四边形，四边形GFBH是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键． 25. 亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品、若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 【答案】（1）甲种纪念品单价35元，乙种纪念品单价50元 （2）最多购进乙种纪念品60件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元，根据“购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品件，利用进货总价=进货单价×购进数量，结合进货总价不超过4400元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每件甲种纪念品的进价是x元，每件乙种纪念品的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元； 【小问2详解】 解：设该商店购进乙种纪念品m件，则购进甲种纪念品件， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为60． 答：该商店最多购进乙种纪念品60件． 26. 如图，是圆的直径，为圆上一点，弦，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作弦，垂足为，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，射线、交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是圆的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，垂足为， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （3）4或6 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到，得出，由等边对等角得到，即可证明； （2）根据垂径定理得到，再利用垂直平分线的性质即可证明； （3）连接，根据是圆的直径和，得到，，进而推出，，则有，，得出，通过证明得到，设，利用勾股定理表示出和，得出关于的方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵是圆的直径，， ∴，， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 整理得：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴的长为4或6． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点的直线交轴负半轴于点． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，是第一象限直线上一点，是线段上一点，是射线上一点，若，，求线段的长度； （3）如图3，在（2）的条件下，，过点作的垂线，交轴于点，是垂足，是线段上一点，是上一点，交轴于点，，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）根据题意得到点，代入求得直线即可求解； （2）分别过作轴的垂线，是垂足，过作于点，在延长线上取一点，先证，继而得到，再解直角三角形即可； （3）分别过点作轴垂线，是垂足，先得到直线的解析式为，，再证明，继而得到，利用构建方程求解． 【小问1详解】 解：，令，则， ，代入中，得到， ， 令，则，解得， ． 【小问2详解】 分别过作轴的垂线，是垂足，过作于点，在延长线上取一点， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， 由，当时，， ，， ， ， ， ，， ， 四边形为矩形，， ， ， ， ． 【小问3详解】 分别过点作轴垂线，是垂足， ， ， ， ， ， ，， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，则， ，， 即， 整理得， 解得或（舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博雅中学2025-2026学年度九年级上学期数学9月月考0929 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知α为锐角，且，则α的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，滑雪场有一坡角 的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米． A. B. C. D. 9. 数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在边上的点处，则的度数为（ ） A. B. C. 条件不足，无法计算 D. 10. 如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若分式有意义，则的取值范围为______． 12. 计算的结果是______． 13. 把多项式分解因式的结果是___________． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 15. 如图，为的直径，，为上两点，，，则的长度为______． 16. 如图，为圆的直径，弦于点，若，，则圆的直径为______． 17. 如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为________个． 18. 定义“”是一种运算符号，规定，则的值为______． 19. 是直角三角形，，，则的长为______． 20. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）的最小值为．上述结论中，所有正确结论序号是______． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：其中． 22. 如图1、图2均为的方格纸（每个小正方形的边长均为），在方格纸中各有一条线段，其中点、均在小正方形的顶点上，请按要求画图； （1）在图1中画一个直角，使得，点在小正方形的顶点上； （2）如图2中画一个平行四边形，使得平行四边形的面积为图1中面积的倍，点、在小正方形的顶点上； （3）图2中连接，直接写出的长度． 23. 如图，热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：） 24. 在中，点E在边上，点F在边上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设交于点G，交于点H，连接，若E是边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以为边的所有平行四边形． 25. 亚冬会举办期间，某纪念品商店计划购进甲、乙两种亚冬会纪念品、若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元． （1）求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商店决定购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过4400元，那么该商店最多购进乙种纪念品多少件？ 26. 如图，是圆的直径，为圆上一点，弦，垂足为，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作弦，垂足为，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，射线、交于点，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，过点的直线交轴负半轴于点． （1）如图1，求点的坐标； （2）如图2，是第一象限直线上一点，是线段上一点，是射线上一点，若，，求线段的长度； （3）如图3，在（2）的条件下，，过点作的垂线，交轴于点，是垂足，是线段上一点，是上一点，交轴于点，，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $