精品解析：内蒙古呼和浩特市内蒙古大学附属中学金河校区2025--2026学年上学期九年级月考数学卷

2025-2026学年第一学期九年级数学第一次月考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列变量具有二次函数关系的是（　　） A. 正方形的周长y与边长x B. 速度v一定时，路程s与时间t C. 正方形的面积y与边长x D. 三角形的高一定时，面积y与底边长x 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 最低点是 C. 可以由向左平移2个单位得到 D. 当时，随的增大而增大 5. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，①②③当时，④若，为函数图象上的两点，则，以上结论中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若函数是二次函数，则______． 10. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______． 11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 12. 已知，是方程的两根，则______． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程 （1） （2） （3） 14. 已知二次函数的图象过点和和． （1）求此二次函数的解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）； （3）当在什么范围内时，随的增大而增大？当在什么范围内时，随的增大而减小？ （4）求当时，的取值范围． 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 16. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，当，的长是多少时，四边形的面积最大？ 17. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 18. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学第一次月考试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义：方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程(等式),叫做一元二次方程.判断即可． 【详解】解：A．是二元一次方程，不符合题意； B．是二元二次方程，不符合题意； C．是分式方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 2. 下列变量具有二次函数关系的是（　　） A. 正方形的周长y与边长x B. 速度v一定时，路程s与时间t C. 正方形的面积y与边长x D. 三角形的高一定时，面积y与底边长x 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键． 【详解】解：A、，是一次函数，错误； B、，v一定，是一次函数，错误； C、，是二次函数，正确； D、，h一定，是一次函数，错误； 故选C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数顶点式确定顶点坐标等知识，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解﹒ 【详解】解：抛物线的顶点坐标是﹒ 故选：B﹒ 4. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 最低点是 C. 可以由向左平移2个单位得到 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，根据顶点式反映出的性质，逐一判断． 【详解】解：中，-1＜0， ∴开口向下，顶点坐标为（2，0），是最高点， 可以由向右平移2个单位得到， 当时，y随x的增大而增大， ∴说法正确的是D， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，从抛物线的表达式可知抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最高（最低）点坐标，增减性等． 5. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方程有实数根求参数范围，涉及一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系等知识，根据一元二次方程定义，得，再由一元二次方程根的情况与判别式关系列不等式求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义、一元二次方程根的情况与判别式关系是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 当时，则，解得； 综上所述，的取值范围是且， 故选：A． 7. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意， 选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意， 选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意， 选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意． 故选：C． 8. 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，①②③当时，④若，为函数图象上的两点，则，以上结论中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质解答． 【详解】解：由题意可知二次函数图象与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根， ，故①正确； 由函数图象对称性可得函数图象经过和两点， ①，②， 并化简得：， ，故②正确； 由函数图象对称性可得函数图象经过和两点， 由函数整个图象可得当时，，故③正确； 设时，函数值为，则由函数图象的对称性可得：， ， 由函数的增减性可得：， ，故④错误； 故正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若函数是二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数不为，从而求解的值． 【详解】是二次函数， ，， ，， ， 故答案为：． 10. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据图象求与x轴的另一个交点坐标，然后根据图象与x轴交点坐标的横坐标为一元二次方程的根，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的两根为，， 故答案为：，． 11. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可． 【详解】解：依题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 已知，是方程的两根，则______． 【答案】11 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， ∴， 故答案为：11． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法等知识﹒ （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用配方法即可求解； （3）利用公式法即可求解﹒ 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴﹒ 14. 已知二次函数的图象过点和和． （1）求此二次函数的解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）； （3）当在什么范围内时，随的增大而增大？当在什么范围内时，随的增大而减小？ （4）求当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：列表， x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 描点，连线，二次函数图象如图： ； （3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （4） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象，二次函数的性质等知识，综合性强，难度较大﹒ （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据画函数图象的步骤：列表，描点，连线，即可画出二次函数图象； （3）先求出二次函数对称轴为直线，再结合开口方向即可得到当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （4）分别求出当时，y有最小值，，当时，，当时，，结合图形即可得到当时，的取值范围是﹒ 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点和和， ∴ 解得 ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由二次函数解析式得抛物线对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 【小问4详解】 解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y有最小值，； 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是﹒ 15. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 16. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，当，的长是多少时，四边形的面积最大？ 【答案】当时，四边形的面积最大 【解析】 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，再利用配方法求出二次函数最值．求出四边形的面积是解题关键． 【详解】解：设交于点，，四边形面积为，则， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时，， ∴当时，四边形的面积最大． 17. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】（1）， （2）设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 【小问1详解】 解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 18. 问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出，，三点的坐标； （2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】（1），， （2）抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【小问1详解】 解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $