第01讲 直线方程讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+巩固提升）-2026年高考数学一轮复习（新高考通用）

第01讲 直线方程 目 录 思维导图 3 高考分析 3 知识要点 4 解题策略 10 题型归纳 11 题型01：直线的倾斜角 11 （一）直线的倾斜角 12 （二）倾斜角的取值范围 12 （三）函数值域求倾斜角 14 题型02：直线的斜率 15 （一）直线的斜率 15 （二）直线的斜率求参 16 （三）直线斜率取值范围及最值 16 （四）直线斜率的几何意义 18 题型03：直线的方向向量 21 （一）直线的方向i向量 21 （二）根据直线方向向量求直线 23 题型04：直线方程的五种形式 24 （一）点斜式直线方程 24 （二）斜截直线方程 26 （三）两点式直线方程 27 （四）截距式直线方程 28 （五）直线一般式方程 31 （六）中点坐标公式 35 题型05：直线方程求法综合 35 （一）直线图像 35 （二）三角形三大线 36 （三）与圆有关的直线方程 41 （四）与距离有关的直线方程 41 （五）直线系方程 43 （六）求法综合 43 题型06：两直线位置关系 46 （一）两条直线平行 46 （二）两条直线垂直 49 （三）两条直线交点 51 题型07：距离问题 53 （一）两点间距离 53 （二）点到直线距离 55 （三）两平行直线间距离 58 题型08：直线过定点 59 题型09：对称问题 61 （一）点关于点对称 61 （二）点关于线对称 61 （三）直线关于点对称 63 （四）直线关于线对称 64 题型10：光学问题 66 题型11：直线方程的应用 70 （一）双直线含参型定圆 70 （二）截距式应用 72 （三）两点距离公式应用 73 （四）平行线应用 75 （五）对称：“将军饮马”型最值 77 （六）绝对值型最值 80 （七）对称：叠纸型 82 （八）坐标系中三角形三线综合问题 84 （九）直线平行与垂直 86 （十）两动直线隐藏型垂直求最值 86 （十一）利用斜率解三角形三大线 87 （十二）直线方程理论 89 （十三）最小面积求直线 90 （十四）切线型求面积最值 92 （十五）数形结合求最值：距离公式 93 （十六）数形结合：绝对值--点到直线距离公式 95 （十七）直线最值范围综合应用 96 直线方程是高考数学中的重要考点，其考情分析如下： • 考查形式：从近几年的高考情况来看，直线方程的考查多以选择题、填空题的形式出现，如2024年全国甲卷（文数）第10题，2024年北京卷第3题等，分值一般为4分或5分。 • 考查内容：主要考查直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式等。例如2025年新高考数学一卷第12题，考查了直线方程与曲线方程相结合的应用问题；高考也常考查根据已知条件求直线方程，如已知直线过定点、直线的斜率或截距等条件，求直线的点斜式、斜截式或一般式方程。 • 难度系数：直线方程单独考查时，难度一般不大，属于基础题型，只要掌握基本概念和公式，计算不出错，就能得分。但在一些综合题型中，如直线与圆锥曲线相结合的问题，直线方程可能作为其中的一部分，与其他知识综合考查，难度相对较大。 • 命题趋势：预计未来高考对直线方程的考查仍将保持稳定，题型和难度变化不大。会更加注重对直线方程基本概念和方法的考查，同时也可能会与其他知识，如函数、不等式、圆锥曲线等相结合，考查学生的综合运用能力。 知识点一：倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 ①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角的范围为． 2．直线的斜率 ①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时, , . ②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为. 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在． 4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系： （1） 当时，越大，斜率越大； （2）当时，越大，斜率越大. 5.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 1. 斜率：表示直线的变化快慢的程度；，直线递增，，直线递减， 1. 倾斜角：直线向上的部分与轴正方向的夹角，范围为 知识点二：中点坐标及重心坐标公式 中点坐标公式 ，，为的中点，则： 三角形重心坐标公式 知识点三：直线的方程 1．直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程. (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x= x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为. 2．直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程. (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3．直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线l经过两点 ()，则方程叫作直线l的两点式方程. (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当时，直线方程为 (或). ③当时，直线方程为 (或). 4．直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程叫作直线l的截距式方程. (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能 表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线. (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的 坐标求解k，得到直线方程.、 5．直线的一般式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)： 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x，它表示斜率为，在y轴上的截距为 的直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线. 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=，它表示垂直于x轴的直线. (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线. 辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 知识点四：方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的. 如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即()=t(m,n)，所以 ①. 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数. 由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程. 知识点五：直线的位置关系 1．两直线的平行关系 (1) 对于两条不重合的直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线， 有. 两条直线平行或重合的充要条件 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 2．两条直线的垂直关系 (1) 对于两条直线，其斜率为，有. (2)对于两条直线，有. 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 3.两条直线的交点 （1）.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. （2）.两条直线，联立方程组， 若方程组有无数组解，则重合． 或者．若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标． 知识点六：距离公式 1．两点间的距离公式 设两点，则. 2．点到直线的距离公式 设点，直线，则点到直线的距离 . 3．两平行线间的距离公式 设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离 . 知识点七：对称问题 1.中点坐标公式： 2.中心对称：点A(，)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－,2n－)；曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0；特别地，点P(，)关于原点的对称点为(，)． 3.轴对称：（1）点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点(，)，满足如下关系： 4.特殊的轴对称：（i）点P(，)关于x轴、y轴，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(，－)、(－，)、(2m－，)、(,2n－)、(，)、(－，－)、(－m，＋m)、(－＋n，－＋n) 5.曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴，y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0． （一）点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有 可得对称点的坐标为 （二）点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． （三）直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． （四）直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 （五）常见的一些特殊的对称 点关于轴的对称点为 ，关于轴的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 点关于点的对称点为 ． 点关于直线的对称点为 ，关于直线的对称点为 ． 知识点七：三种直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 高考直线方程解题核心是“先定形式，再求参数”，即根据已知条件选择最优直线方程形式，代入数据计算关键参数（斜率、截距等）。 一、核心解题步骤（通用） 1. 分析已知条件：明确题目给出的信息类型，如“过两点”“已知斜率和截距”“与另一直线平行/垂直”等，这是选择方程形式的依据。 2. 选择最优方程形式：避免复杂计算，例如“过两点”优先用两点式或两点求斜率后代入点斜式，“已知斜率和y轴截距”直接用斜截式。 3. 计算关键参数：代入已知条件求斜率（k）、截距（b）或定点坐标，注意斜率不存在（竖直线）的特殊情况，避免漏解。 4. 验证与整理：将结果化为题目要求的形式（如一般式Ax+By+C=0，A≠0），代入原条件验证是否正确。 二、高频题型专项策略 1. 求直线方程（基础题型） • 已知斜率k和定点(x₀,y₀)：直接用点斜式y - y₀ = k(x - x₀)，注意k不存在时直线为x = x₀。 • 已知两点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)：先算斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)（x₁≠x₂），再用点斜式；若x₁=x₂，直线为x = x₁。 • 已知直线平行/垂直于另一直线：平行则斜率相等（或均不存在），垂直则斜率乘积为-1（或一条斜率为0、另一条不存在），再结合其他条件求方程。 2. 直线与距离、位置关系（高频考点） • 求距离：先将直线化为一般式，再用公式： • 判断位置关系：设两直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0，l₂:A₂x+B₂y+C₂=0，优先用系数比判断： 平行：A₁B₂=A₂B₁且A₁C₂≠A₂C₁ 垂直：A₁A₂+B₁B₂=0 相交：A₁B₂≠A₂B₁ 3. 综合题型（与圆锥曲线结合） • 核心是“设而不求”：设直线方程为y=kx+b（斜率存在）或x=my+n（避免讨论斜率不存在，尤其与抛物线y²=2px结合时更简便），代入圆锥曲线方程，利用韦达定理求根与系数的关系，再结合题目条件（如弦长、中点坐标）求解。 三、避坑指南 • 勿忽略斜率不存在的情况：当直线垂直x轴时，方程为x=a，此时斜率不存在，需单独验证是否满足题意。 • 注意直线方程的定义域：例如用两点式时，需保证x₁≠x₂且y₁≠y₂，否则需转化为其他形式。 • 计算距离时，确保直线方程为一般式，且系数A、B、C无公因数（非必需，但可简化计算）。 题型01：直线的倾斜角 （一）直线的倾斜角 【典型例题】．直线的倾斜角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】确定直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意可得直线的斜率为， 直线倾斜角为，则， 故. 【变式训练1-1】.直线的倾斜角的大小为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】.若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是 . 【变式训练1-3】.已知直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】.已知点，，则直线的倾斜角为 ． 【变式训练1-5】.已知直线过原点且倾斜角为，其中，若在上，且满足条件，则的值等于 . （二）倾斜角范围最值 【典型例题1】.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　 B. C.∪　　　 D.∪ 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率k＝－∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是. 【典型例题2】11.设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围. 设直线的斜率为，则， 故，而，故，故选：C. 【典型例题3】.已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的倾斜角是钝角，则的取值范围是 【答案】 【解析】由直线的倾斜角是钝角，可知直线的斜率存在,且,即可得到,求解即可. 因为直线的倾斜角是钝角，所以直线的斜率存在,且, ,则,解得. 故答案为:. 【变式训练1-1】.过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】.设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】.直线的倾斜角是，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式训练1-5】．直线l经过两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B．∪ C． D． 【变式训练1-6】.已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为 . 【变式训练1-7】．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-8】.函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-9】．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是 D．若事件A与事件B相互独立，且，，则 （三）函数值域型求倾斜角 【典型例题】．直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】分，，讨论即可. 设直线的倾斜角为，当时，直线为，； 当时，，当且仅当时取等号， ∴； 当时，， 当且仅当时取等号， ∴，综上可得.故答案为： 【变式训练1-1】．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】．已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】．已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值 ． 【变式训练1-4】．已知分别是双曲线的上､下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】．（多选）已知直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，若，则直线的倾斜角可能为（    ） A． B． C． D． 题型02：直线的斜率 （一）：直线的斜率 【典型例题】．已知点，，则直线AB的斜率为（    ） A．2 B．－2 C．1 D．－1 【答案】A 【解析】由两点的斜率公式计算. 点，，则直线AB的斜率为. 【变式训练2-1】．已知两点所在直线的倾斜角为45°，则m＝ ． 【变式训练2-2】.已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式训练2-3】.如图，若直线的斜率分别为，则（    ）      A． B． C． D． （二）直线斜率求参 【典型例题】.已知直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，解之即可. 由题意可知，直线的斜率为，解得. 故选：A. 【变式训练2-1】.设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则（    ） A．4 B．3 C． D．1 【变式训练2-2】.将直线绕点按逆时针方向旋转后所得直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】.如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（    ）    A． B． C． D． （三）斜率的取值范围最值 【典型例题1】．直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，当直线在的位置时，；当直线在的位置时，，故直线的斜率的取值范围是．    故选：A 【点睛】此类问题常利用数形结合求解，记住斜率与倾斜角的变化关系：当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率为正且越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率为负且越大. 【典型例题2】已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】分别求得直线，的斜率，结合图形可得的范围，再由直线的斜率公式，可得倾斜角的范围. 如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 【变式训练2-1】.将直线绕点按逆时针方向旋转后所得直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】.已知实数x，y满足方程，当]时，的取值范围为 . 【变式训练2-3】.点在函数的图象上，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-4】．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练2-5】.已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．k≥　　 B．k≤－2 C．k≥或k≤－2　　 D．－2≤k≤ 【变式训练2-6】.已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-7】已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． （四）斜率的几何意义 【典型例题1】． “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为.故选：C. 【典型例题2】.如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，如此依次下去，得到一组线段：，，，……，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知条件找到规律，从而确定正确答案. 直线的斜率为，倾斜角为， 所以，， ，……，以此类推可知.故选：B 【典型例题3】．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是.故选：A 【变式训练2-1】．在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【变式训练2-2】.已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】．已知实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【变式训练2-4】．设函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-5】. 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（    ） A．0° B．1° C．2° D．3° 【变式训练2-6】．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（    ） A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9 【变式训练2-7】.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【变式训练2-8】.已知正三角形的三个顶点均在抛物线上，其中一条边所在直线的斜率为，则的三个顶点的横坐标之和为 ． 题型03：直线的方向向量 （1） 直线的方向向量 【典型例题1】.直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量. 在直线上取点、， 故直线的一个方向向量为. 故选：A. 【典型例题2】.已知是互相垂直的单位向量，若直线和的方向向量分别为，则和所成的角的余弦值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】设和所成的角为，由题意可得，借助向量夹角公式计算即可得. 设和所成的角为， 则 . 故选：C. 【典型例题3】.已知直线l：与曲线W：有三个交点D、E、F，且，则以下能作为直线l的方向向量的坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的性质可得曲线的对称中心，即得，再根据给定长度求出点的坐标即得. 显然函数的定义域为R，，即函数是奇函数， 因此曲线的对称中心为，由直线l与曲线的三个交点满足，得， 设，则，令，则有，即， 解得，即，因此点或，或， 选项中只有坐标为的向量与共线，能作为直线l的方向向量的坐标是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可. 【变式训练3-1】.直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】.已知经过，两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C． D．2 【变式训练3-3】.已知直线，且向量是直线l的一个方向向量，则实数的值为（　　） A． B． C． D．或 【变式训练3-4】.已知直线l的一个方向向量为，直线l的倾斜角为，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【变式训练3-5】.下列说法正确的是（    ） A．直线：在y轴上的截距为2 B．直线的方向向量为 C．经过点，且在x，y轴上截距相等的直线方程为 D．已知直线过点，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则面积的最小值为4 【变式训练3-6】.已知实数成公差非零的等差数列，集合，，若，则的最大值为 . （2） 根据直线的方向向量求直线方程 【典型例题】.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 又直线经过点，所以直线的方程为，即. 故选：D. 【变式训练3-1】.直线的方向向量为，直线过点且与垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】.已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】.已知直线l1的方向向量为＝(1，3)，直线l2的方向向量为＝(－1，k)，若直线l2过点(0，5)，且l1⊥l2，则直线l2的方程是（    ） A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 题型04：直线方程的五种形式 （1） 点斜式 【典型例题1】.过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答. 依题意，直线的斜率， 所以直线方程为：，即. 故选：B. 【典型例题2】.过两点的直线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据斜率公式求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 由两点，可得过两点的直线的斜率为， 又由直线的点斜式方程，可得，即. 故选：B. 【典型例题3】.一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______． 【答案】 【解析】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为 故答案为：. 【典型例题4】.求满足下列条件的直线方程． (1)经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； (2)过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）直线可化为，斜率为， 所以所求直线的斜率为 故所求直线方程为，即 （2）设直线的方程为，，解得， 故所求的直线方程为， 即或 【变式训练4-1】.已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为______． 【变式训练4-2】.过点，倾斜角为150°的直线方程为（ ） A．y－2＝－ (x＋4) B．y－(－2)＝－ (x－4) C．y－(－2)＝ (x－4) D．y－2＝ (x＋4) 【变式训练4-3】.方程表示（    ） A．通过点的所有直线 B．通过点且不垂直于y轴的所有直线 C．通过点且不垂直于x轴的所有直线 D．通过点且除去x轴的所有直线 【变式训练4-4】.过点 且垂直于直线 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练4-5】.过点且与直线平行的直线方程为 . 【变式训练4-6】已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　) A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4) C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4) 【变式训练4-7】.若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-8】.已知一条直线经过点A（2,－），且它的倾斜角等于直线x－y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ； 【变式训练4-9】.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　) A．x＋y－3＝0　　 B．x－3y－2＝0 C．3x－y＋6＝0　　 D．3x＋y－6＝0 【变式训练4-10】.A、B两点的坐标分别为和，则线段AB的垂直平分线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-11】.已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． (1)若的面积为4，求直线l的方程； (2)求的最小值，并求此时直线l的方程． （二）斜截式直线方程 【典型例题1】.直线用斜截式表示，下列表达式中，最合理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化方程为斜截式即可. 直线用斜截式表示为， 故选：B． 【典型例题2】.与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案. 因为所求的直线与直线垂直，所以，得. 设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点， 求得,所以所求直线的斜截式方程为， 故选：B. 【典型例题3】.倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________． 【答案】 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 故答案为：. 【变式训练4-1】.倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（    ） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y+1＝0 【变式训练4-2】.经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______． 【变式训练4-3】.与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式训练4-4】.过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______． （三）两点式直线方程 【典型例题】.已知直线过点，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可. 由直线的两点式方程可得， 直线l的方程为，即． 故选：C． 【变式训练4-1】.过点，直线的两点式方程为______． 【变式训练4-2】.已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为______． 【变式训练4-3】.过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】.已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C （四）截距式直线方程 【典型例题1】.若直线过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】已知直线的过点点，可通过直线方程的截距式得出其方程为. 【解答过程】由直线过点，则直线的方程为即. 故选：A . 【典型例题2】.过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意，分截距为或不为两种情况，分别设对应的直线方程，代入已知点，可得答案. 显然，所求直线的斜率存在． 当两截距均为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为； 当两截距均不为时，设直线方程为，将点代入得，此时直线方程为． 故选：D． 【典型例题3】.已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解. （1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为 把点代入求出，即直线方程为 （2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为， 把点代入求出，即直线方程为 综上，直线方程为或 故选：A. 故选：B. 【典型例题4】.已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． 【答案】x＋2y－4＝0. 【解析】方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)， 则A，B(0,1－2k)， S△AOB＝(1－2k)· ＝≥×(4＋4)＝4， 当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立． 故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设直线l：＋＝1， 且a>0，b>0， 因为直线l过点M(2,1)， 所以＋＝1， 则1＝＋≥2，故ab≥8， 故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4， 当且仅当＝＝时取等号， 此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1， 即x＋2y－4＝0. 【变式训练4-1】.直线的截距式方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】.经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练4-3】过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 . 【变式训练4-4】.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练4-5】.直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】.写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程 . 【变式训练4-7】. 经过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍，则该直线的方程为________． 【变式训练4-8】.若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为 ． 【变式训练4-9】.直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【变式训练4-10】.已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【变式训练4-11】.已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【变式训练4-12】.过点的直线 （1）求在两个坐标轴上截距相等的方程； （2）求与x,y正半轴相交，交点分别是A、B,当△AOB面积最小时的直线方程. （五）直线的一般式方程 【典型例题1】.直线（不同时为0），则下列选项正确的是（    ） A．无论取任何值，直线都存在斜率 B．当，且时，直线只与轴相交 C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交 D．当，且，且时，直线是轴所在直线 【答案】D 【解析】结合直线的方程依次分析各选项即可得答案. 【解答过程】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误； 对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误； 对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误； 对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确. 故选：D. 【变式训练4-1】.经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】.在直角坐标系中，直线经过（    ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【变式训练4-3】.已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（    ） A． B． C． D． （1）直线一般式与其他形式的互化 【典型例题2】.经过点且斜率为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】写出点斜式，再化为一般式即可. 由点斜式得，即. 故选：A. 【典型例题3】.如果， ，那么直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】直线变换为，确定，，得到直线不经过的象限. 由可得，， 因为，，故，. 故直线不经过第四象限. 故选：D. 【变式训练4-4】.若直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】.已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练4-6】.过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________． 【变式训练4-7】.过点的直线方程（一般式）为 _____． 【变式训练4-8】.经过点且斜率为2的直线的一般式方程为__． （2）直线一般式方程理论 【典型例题4】．若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据点与直线的位置关系即可求解. 因为是直线和的公共点， 所以，且， 所以两点和都在同一条直线上， 故两点和所确定的直线方程是， 故选:A. 【典型例题5】．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况说法错误的是（    ） A．存在、、使之无交点 B．存在、、使之有无穷多交点 C．无论、、如何，总是无交点 D．无论、、如何，总是唯一交点 【答案】ABC 【解析】根据条件，建立方程组 ，解这个方程组，即可求出 的交点坐标. 由题意得 ， ； 关于 交点的情况，联立方程组 ， 得： ，将 代入上式得： ， 因为 ，所以 ，即 代入①得： ， 由条件 ， ，代入 得 ， 即不论 情况如何，解是唯一的： ， 有唯一的交点； 故选：ABC. 【变式训练4-9】．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 【变式训练4-10】．已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【变式训练4-11】．下列关于直线方程的说法正确的是 .①直线的倾斜角可以是；②直线l过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为；③过点的直线的直线方程还可以写成；④经过，两点的直线方程可以表示为. （六）中点坐标公式 【典型例题】.直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】设点､， 由中点坐标公式得：， 解得：，， 由直线过点､， 直即. 故答案为：. 线的方程为：， 【变式训练】.已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为______. 题型05：直线方程求法综合 （一）直线图像 【典型例题】．（多选）已知，，则直线通过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【解析】可把直线方程化为，因为，，其斜率，直线在轴的截距，由此可知直线通过第一、三、四象限． 故选：ACD. 故选C. 【变式训练5-1】．已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式训练5-2】．如果，，那么直线不通过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练5-3】.已知直线经过第一、二、四三个象限，则（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【变式训练5-4】．（多选）在同一平面直角坐标系中，直线和直线不可能是（    ） A．   B．   C．   D．   （二）三角形三大线 【典型例题1】.⧍ABC中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D．⧍ 【答案】A 【解析】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 【典型例题2】.的三个顶点、、，则边上的中线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为的三个顶点、、，则线段的中点为， 所以，， 所以，边上的中线所在直线方程为，即. 故选：A. 【典型例题3】．已知，则线段AB的垂直平分线的一般方程为 . 【答案】 【解析】先求出直线AB的斜率与AB的中点坐标，由点斜式方程求解即可. 因为，所以直线AB的斜率为， 所以AB的垂直平分线的斜率为，AB的中点坐标为， 故线段AB的垂直平分线的方程为：，化为一般式为：. 故答案为：. 【典型例题4】.在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）. (1)求点A和点C的坐标； (2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程. 【答案】(1)，(2) 【解析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标； （2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程. （1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点， 由，得，故， 又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以 又 所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为， 由，得， 所以点A和点C的坐标为，； （2）由（1）知AC所在直线方程为， 所以直线l的斜率为， 因为，所以直线l所在的方程为，即， 所以直线l的斜截式方程为. 【典型例题5】．已知菱形ABCD的三个顶点､､. (1)求顶点D的坐标； (2)求对角线AC和BD所在直线的方程. 【答案】(1)(2) ， 【解析】（1）作图，根据条件，分析出点D所在的位置； （2）根据（1），写出两点式直线方程AC和BD即可. （1）计算AB，BC，AC的长度： ， ， ， ∴ ，则菱形必然是以AB和BC为邻边的菱形， 作图如下： 设菱形的中心为E，E为AC和BD的中点，则E（4,0）， 设D（x,y），则有 ，解得x=5，y=3， 故D点的坐标为（5,3）； （2） 根据（1）的结果得AC方程为 ，即 ， BD的方程为： ，即 ， 综上，D（5,3），AC的方程为x+3y-4=0，BD的方程为3x-y-12=0. 【变式训练5-1】.中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】.经过点，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则这条直线的方程为 ； 【变式训练5-3】.已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【变式训练5-4】.已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 【变式训练5-5】.在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【变式训练5-6】.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【变式训练5-7】.已知的顶点边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【变式训练5-8】.已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【变式训练5-9】.已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为． (1)求顶点A的坐标； (2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）． 【变式训练5-10】.已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【变式训练5-11】.已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求点的坐标. 【变式训练5-12】.已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 （三）与圆有关的直线方程 【典型例题1】．若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，由条件可知，当最短时，直线，即可得到，从而得到结果.    当最短时，直线，所以. 又，所以， 所以的方程为，即. 【变式训练5-1】．已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】．已知圆：和圆：的公共弦所在直线横过定点P，若过点P的直线l被圆上截得的弦长为，则直线l的方程为 ． （四）与距离有关的直线方程 【典型例题】.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【解析】根据直线与直线的位置关系， 分类讨论，可得其斜率之间的关系，求得斜率，可得答案. 设直线的斜率为，直线的斜率为， 当直线时，显然点，到直线的距离相等， 如下图：    则此时，由，且直线过， 则直线的方程为，整理可得； 当直线与直线相交时，作于，于，如下图：      若，由，，则， 可得，即为的中点，其坐标为， 此时直线的斜率，直线的方程为，整理可得. 故答案为：或. 【变式训练5-1】.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线l方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【变式训练5-2】.求垂直于直线，且与点的距离是的直线的方程． （五）直线系方程 【典型例题】．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立得，所以两直线交点坐标为， 所求直线为，整理得. 故选：A. 【变式训练5-1】．过与的交点，且平行于向量的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-2】.经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． （六）综合练习 【典型例题】．写出下列直线的方程. （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； (3)求过点，斜率是直线的斜率的的直线方程. (4)求经过点，且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线方程. (5)求过，两点的直线的方程. 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）或；（5）. 【解析】（1）因为直线经过点，斜率是，所以直线的点斜式方程为； 因为直线经过点，倾斜角是，所以斜率为 所以直线的点斜式方程为； （3）设所求直线的斜率为，依题意， 又直线经过点，∴所求直线方程为，即； （4）当直线不过原点时，设所求直线方程为， 将代入可得，解得，∴直线方程为； 当直线过原点时，设直线方程为，则，解得， ∴直线方程为，即；故所求直线方程为或； （5）①当时，直线的方程为； ②当时，直线的方程为，即， ∵时，代入方程，即为， ∴直线的方程为. 【变式训练5-1】.下列命题中正确的是（　　） A．经过点的直线都可以用方程表示 B．经过定点的直线都可以用方程表示 C．经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 D．不经过原点的直线都可以用方程表示 【变式训练5-2】.将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，求折痕所在直线是（　　）． A． B． C． D． 【变式训练5-3】.已知直线，直线过点，__________．在①直线的斜率是直线的斜率的2倍，②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题． (1)求的一般式方程； (2)若与在轴上的截距相等，求的值． 【变式训练5-4】．在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式训练5-5】．在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 【变式训练5-6】.已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【变式训练5-7】．在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（    ） A．24 B． C．14 D． 【变式训练5-8】．设点满足，则“”是“为定值”的（     ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练5-9】．已知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则的取值范围是 ． 【变式训练5-10】．已知在中，点的坐标分别为，的中点在轴上，的中点在轴上． (1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程． 【变式训练5-11】．已知的边所在直线方程为，边所在直线方程为，边的中点为.求： (1)边所在直线方程； (2)求的面积. 题型06：直线与直线的位置关系 （一）两条直线平行 【典型例题1】.若直线与直线平行，则m=（　　） A．4 B．-4 C．1 D．-1 【答案】A 【解析】因为直线与直线平行，所以，解得． 故答案为：A 【典型例题2】.已知直线和，问实数为何值时，分别有： （1）与相交？（2）？（3）与重合？ 【解析】解：（1）直线和， 与相交， ， 解得，． （2）直线和， 与平行， ， 解得． （3）直线和， 与重合， ， 解得． 【典型例题3】.若为实数，则“”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件分析判断. 若“直线与平行”， 则，解得或， 当时，直线，，此时//，符合题意； 当时，直线，即，， 此时，重合，不符合题意； 综上所述：“直线与平行”等价于. 所以“”是“直线与平行”的充要条件. 故选：C. 【典型例题4】.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为. 【变式训练6-1】．直线与平行，则实数（    ） A． B． C．或 D．0 【变式训练6-2】.已知直线，，若，则实数a的值是（　　） A．-1 B．2 C．2或-1 D．-2或1 【变式训练6-3】已知直线与平行，则实数的值为　　 A． B．2 C．或2 D．以上答案均不对 【变式训练6-4】．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【变式训练6-5】.若 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练6-6】．“ ”是“直线 与 平行”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式训练6-7】.直线：与直线：平行，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要 【变式训练6-8】.若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【变式训练6-9】.对于圆上任意一点，的值与，无关，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-10】.若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-11】.已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-12】.下列选项正确的是（    ） A．过点且和直线垂直的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．若直线与平行，则与的距离为 D．已知圆，圆，、分别是圆、上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 【变式训练6-13】.若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 . （二）两条直线垂直 【典型例题1】.直线过点且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案. 直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：C. 【典型例题2】.若直线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】或 【解析】 利用两直线位置关系计算即可. 由题意可知或. 【典型例题3】.已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．8 D．9 【答案】D 【解析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得，在利用基本不等式即可求得的最小值. 由题可知，两条直线斜率一定存在， 又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即， 整理可得， 所以，当且仅当时，等号成立； 因此的最小值为. 故选：D 【典型例题4】.若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】运用导数几何意义及导数公式求得切线的斜率，结合两直线垂直进而求得a的值. 由题设，知处的切线的斜率为， 又因为， 所以，解得. 【变式训练6-1】.（多选）已知直线l1：，l2：，l3：，l4：.则（    ） A．存在实数α，使l1l2， B．存在实数α，使l2l3； C．对任意实数α，都有l1⊥l4 D．存在点到四条直线距离相等 【变式训练6-2】.已知直线，，若且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式训练6-3】.已知直线：，直线：，若，则_________若，则________ 【变式训练6-4】.已知，，直线，，且，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练6-5】．已知直线，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】.“”是“直线与直线垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-7】.设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练6-8】.已知函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则实数 ． 【变式训练6-9】.若曲线在原点处的切线与直线垂直，则实数a的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 （三）两直线交点 【典型例题1】．若三条直线和交于一点，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】联立得. 把代入得. 故选：C 【典型例题2】．关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 【答案】-35 【解析】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 【典型例题3】．已知直线l1：与l2：相交于点，则__． 【答案】﹣1 【解析】把分别代入直线l1和直线l2的方程， 得， 所以， 所以． 故答案为：-1． 【典型例题4】．（多选题）已知a为实数，若三条直线和不能围成三角形，则a的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【解析】当三条直线交于一点时，由，解得，所以交点为， 所以，得， 当直线与平行时，，得， 当直线与平行时，，得， 所以当，或，或时，三条直线不能围成三角形， 故选：ACD 【变式训练6-1】．已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【变式训练6-2】．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______． 【变式训练6-4】．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 【变式训练6-5】.已知点P，Q的坐标分别为，，直线l：与线段PQ的延长线相交，则实数m的取值范围是 . 【变式训练6-6】.对于任意实数，直线恒过定点A，且点，则直线的一个方向向量为 ． 【变式训练6-7】.已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【变式训练6-8】．已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式训练6-9】．已知直线l：. (1)求证：直线l过定点； (2)若直线l被两平行直线：与：所截得的线段AB的中点恰好在直线上，求的值. 【变式训练6-10】.已知在中，点，的角平分线为，边上的中线所在直线的为，求边所在直线l的一般式方程. 题型07：距离问题 （1） 两点间距离 【典型例题1】．已知、，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用两点间距离公式即可求解. 因为、， 所以， 故选：C. 【典型例题2】.已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由已知，，， ∴，即， ∴是直角三角形. 故选：B. 【典型例题3】.在平面直角坐标系中，已知点，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】利用两点间距离公式结合三角函数公式求解． 点，， 故选：A． 【变式训练7-1】.直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________． 【变式训练7-2】.的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式训练7-3】.已知直线：与直线：的交点为，则点与点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-4】.已知三角形的三个顶点，则过A点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】.已知点，，且，则实数等于（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．或3 【变式训练7-6】.当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【变式训练7-7】.已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-8】.已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【变式训练7-9】下列命题为真命题的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【变式训练7-10】.若，则的最小值是 ． （二）点到直线距离 【典型例题1】1.（1）点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． （2）已知直线，直线，则与之间的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）D 【解析】（1）点到直线的距离为，故选：D. （2）直线的方程可化为，则与之间的距离．故选：D 【典型例题2】. 设直线l：与直线平行，则点到l的距离的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由已知两直线平行，∴,∴直线, ∴到l的距离的,当时取到最小值, 故选： 【典型例题3】．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设出点的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点的坐标 设，由重心坐标公式得，三角形的重心为代入欧拉线方程得：整理得：① 的中点为， 的中垂线方程为， 即．联立 解得 ∴的外心为． 则，整理得： ② 联立①②得：或． 当时重合，舍去．∴顶点的坐标是． 【点睛】本题考查了直线方程，求直线方程的一般方法：①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接求出直线方程．②待定系数法： 先设出直线的方程，再根据已知条件求出假设系数，最后代入直线方程，待定系数法常适用于斜截式，已知两点坐标等． 【变式训练7-1】.在平面直角坐标系中，点到直线距离的取值范围是 . 【变式训练7-2】．当点到直线的距离最大时，m的值为（    ） A．3 B．0 C． D．1 【变式训练7-3】.直线与的交点到直线的距离______． 【变式训练7-4】.对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为______． 【变式训练7-5】.已知的三个顶点的坐标为、、，试求： (1)边上的高所在的直线方程； (2)的面积． 【变式训练7-6】.已知直线l垂直于直线，点到直线l的距离为1，求直线l的方程． 【变式训练7-7】.已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 【变式训练7-8】.过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练7-9】.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____. 【变式训练7-10】.抛物线的焦点到直线的距离为，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式训练7-11】．传说，意大利的西西里岛有个山洞是用来关押罪犯的，罪犯们曾多次密谋商议逃跑，但不管多完美的计划都会被狱警发现，原来山洞内的空间是一个椭球体，最大截面部分是一个椭圆面，罪犯和狱警所待的地方正好是椭圆的两个焦点，罪犯们说的话经过洞壁的反射，最终都传向了狱警所在的地方，即椭圆的另一个焦点，这里面含着椭圆的光学性质.请利用椭圆的该性质解决下列问题：已知是椭圆：上的点.、是椭圆的左右焦点，，为坐标原点，到椭圆在处的切线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-12】.若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-13】．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． （三）两直线间距离 【典型例题1】.已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．5 D．10 【答案】A 【解析】由两平行线距离公式求解即可. 这两条直线之间的距离为. 故选：A 【典型例题2】.已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】取直线上的定点，再计算到的距离即可. 取直线上的定点，则到的距离即到的距离为. 故选：D 【变式训练7-1】.若平面内两条平行线：，：间的距离为，则实数（    ） A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 【变式训练7-2】.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 【变式训练7-3】.已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【变式训练7-4】.已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练7-5】.曲线上的点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 题型08：直线过定点 【典型例题1】.直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据直线系方程求解即可. 将化为， 联立，得， 即直线过定点． 故选：C 【典型例题2】.直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线变形为，由且，即可求出定点． 将变形为：，令且，解得， 所以直线恒过定点. 故选：A 【典型例题3】.已知直线l方程为， 那m为 时，点到直线l的距离最大，最大值为 【答案】 【解析】求出直线过定点的坐标，当时，为所求点到直线距离的最大值，再由垂直求得值． 直线l：化为， 由，得 ， 直线l必过定点． 当点到直线l的距离最大时，垂直于已知的直线l， 即点与定点的连线长就是所求最大值， 此时直线与直线垂直， ，解得， 此时，点到直线的最大距离是． 综上所述，时，点到直线的距离最大，最大值为． 【典型例题4】.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与连接两点的线段相交， 所以由图可知，. 【变式训练8-1】.已知直线 则当变化时，直线都通过定点 【变式训练8-2】.直线恒过定点 【变式训练8-3】.若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【变式训练8-4】.已知直线为实数）过定点，则点的坐标为　　． 【变式训练8-5】.已知点，直线，若直线l与线段有交点，则实数m的取值范围为 . 【变式训练8-6】.已知直线过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若与轴正半轴交于点与轴正半轴交于点，求面积的最小值． 【变式训练8-7】.已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】．以直线恒过的定点为圆心，半径为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-9】.已知圆，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线l与圆C有两个交点 C．当时，圆C上恰有四个点到直线的距离等于1 D．圆C与圆恰有三条公切线 【变式训练8-10】.如果直线和曲线恰有一个交点，那么实数的取值范围是 . 【变式训练8-11】.设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【变式训练8-12】.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 题型09：对称问题 （一）点关于点对称 1. 若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点　　 A． B． C． D． （二）点关于线对称 【典型例题】（1）．已知点与点关于直线对称，则的值为__________． 【解析】因为）、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： (2)点关于直线的对称点是　　 A． B． C． D． 【解析】解：设点关于直线的对称点是， 则有，解得，， 故点关于直线的对称点是． (3).点关于直线对称的点的坐标为 　　　　． 【解析】解：设所求的对称点为， 则，解得，故所求对称点的坐标为． 【变式训练 9-1】.（1）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． （2）.求关于直线对称的点的坐标___________. （3）.在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【变式训练 9-2】.已知的顶点边上的高所在直线平行于直线，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程___________. 【变式训练 9-3】.光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的方程为________． 【变式训练 9-4】.若入射光线所在直线的方程为，经直线反射，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练 9-5】.已知三个点，，. (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【变式训练 9-6】.已知直线的方程为，，且与轴交于点． (1)求直线和的交点坐标； (2)与轴、轴分别交于，两点，点关于直线的对称点为，求的面积． 【变式训练 9-7】.在中，，其中直线，是和的平分线． (1)求点关于的对称点的坐标； (2)求直线的方程． （三）线关于点对称 【典型例题1】直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（　　） A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9 【答案】C 【解析】设直线 上的点 关于点 的对称点的坐标为 ， 所以 ， ，所以 ， ， 将其代入直线 中，得到 ，化简得 。故答案为：C． 【典型例题2】.直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 【变式训练 9-1】.与直线关于坐标原点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练 9-2】.直线y＝4x﹣5关于点P（2，1）对称的直线方程是（    ） A．y＝4x+5 B．y＝4x﹣5 C．y＝4x﹣9 D．y＝4x+9 【变式训练 9-3】.已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为． 【变式训练 9-4】.已知直线l：. （1）求点关于直线l的对称点坐标； （2）求直线l关于点对称的直线方程. 【变式训练 9-5】.已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． （四）线关于线对称 【典型例题1】（1）．与直线关于轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设为所求直线上任一点，则关于轴对称的点为， 由题意可得点在直线上， 所以，即， 所以与直线关于轴对称的直线的方程为， 故选：B （2）.已知直线与直线关于轴对称，则直线的一般方程为___________. 【答案】 【解析】根据题意，在直线上取和两点， 则点和点关于轴对称的点和点在直线上， 因此直线的斜率， 故直线的方程为，即. 故答案为：. 【典型例题2】.求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（　　） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【解析】设对称直线方程为 ， ，解得 或 （舍去）， 所以所求直线方程为 。故答案为：B 【变式训练9-1】.直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【变式训练9-2】.直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】.直线关于直线对称的直线方程为________. 【变式训练9-4】.直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-5】．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行轴的直线 C．过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为 D．直线关于直线的对称的直线方程为 【变式训练9-6】.已知直线过点和，直线：． (1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 题型10：光学问题 【典型例题1】.如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可. 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 【典型例题2】.如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【解析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 【典型例题3】．一束光线从点出发，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【解析】设关于的对称点为，则， 又因为点与都在反射光线所在的直线上， 所以反射光线所在直线的斜率， 对于A，方向向量对应的直线斜率为，故A错误； 对于B，方向向量对应的直线斜率为，故B正确； 对于C，方向向量对应的直线斜率为，故C错误； 对于D，方向向量对应的直线斜率为，故D错误. 故选：B. 【典型例题4】．从点出发的一条光线l，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解析】设点关于直线的对称点为， 则 ，解得 ， 由题意可知，D在反射光线上，又反射光线恰好通过点， 则 ，即反射光线所在直线的斜率为， 故选：B﹒ 【典型例题5】.一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【解析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 【变式训练10-1】.已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-2】.一条光线沿直线入射到直线后反射，则反射光线所在直线的一般方程为 . 【变式训练10-3】.已知光线从点射出，到轴上的点后，被轴反射到轴上的点，再被轴反射，这时反射光线恰好经过点，则所在直线的方程为_________. 【变式训练10-4】.一条光线从点处射到轴上，经轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线的倾斜角是______． 【变式训练10-5】．在直角坐标系中，全集，集合，已知集合A的补集所对应区域的对称中心为M，点P是线段（，）上的动点，点Q是x轴上的动点，则周长的最小值为（    ） A．24 B． C．14 D． 【变式训练10-6】.如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-7】.如图，在直角坐标系中，三角形ABC的顶点坐标分别为、、，O为原点，从O点出发的光线先经AC上的点反射到边AB上，再由AB上的点反射回到BC边上的点停止，则光线的斜率的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10-8】.已知：，，，，，一束光线从点出发发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）斜率的范围为 . 【变式训练10-9】.已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论正确的是（    ） A．圆关于轴的对称圆的方程为 B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为 C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则 D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为 【变式训练10-10】.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，则（    ） A．当时，延长交直线于点，则、、三点共线 B．当时，若平分，则 C．的大小为定值 D．设该抛物线的准线与轴交于点，则 题型11：直线方程的应用 （一）双直线含参型定圆 【典型例题1】．已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题可知直线与直线垂直，直线经过定点，直线经过定点，因此点A在以为直径的圆上，因此. 当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直； 易知直线经过定点，直线经过定点， 所以点A在以为直径的圆上， 的中点为，所以， 所以圆， 所以, 所以， 故选：A. 【典型例题2】．已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】结合已知，求出交点的轨迹方程，再结合切线的性质即可求解. 直线即直线，过定点， 直线即直线，过定点，又由斜率关系可得两直线垂直，所以交点的轨迹是以为直径的圆，即轨迹方程为，圆心， 因为Q是圆C上一点，且PQ与C相切，所以问题转化为圆上任意一点作直线与圆相切，求切线的范围.设设圆的半径为，因为圆的圆心，半径为定值，当取得最小值和最大值时，切线取得最小值和最大值，，又因为，即，即，所以，即，故选：C. 【变式训练11-1】．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是 . 【变式训练11-2】．已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】．已知，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则下列结论中正确的是（    ） A．A点的坐标为 B．点P的轨迹方程 C． D．的最大值为 （二）截距式应用 【典型例题1】．过点在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】截距为零时单独考察，在截距不为零时，设截距分别为利用截距式写出直线方程，根据过定点,得到的关系，判定的范围，然后求得后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，从而解决问题. 当截距为0时，是直线,只有一条， 当截距大于0时，设截距分别为则直线方程为，∵直线过点, ∴①，∵,∴,结合①可得，,∴, 又∵为整数，， 由①解得,为12的因数， ∴,对应,相应 对应的直线又有6条， 综上所述，满足题意的直线共有7条， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的截距和直线方程的截距式，涉及整除问题，关键有两点：一是要注意截距为零的情况，而是在截距不为零时，得到后分离常数得到，进而得出应当为12正因数，本题属中档题. 【典型例题2】．下列说法正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线必过定点 C．方程与方程表示同一条直线 D．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】A：先求斜率，然后根据求解出倾斜角；B：根据直线过定点列出关于的方程组，求解出结果即可知定点坐标；C：根据分式方程的特点作出判断即可；D：考虑直线的横纵截距是否为，由此分类讨论. 对于A：直线的斜率，所以倾斜角的正切值，所以，故正确； 对于B：因为直线，令，所以，所以直线过定点，故正确； 对于C：方程中，方程中，故错误； 对于D：当直线的横纵截距均为时，设直线方程，代入，解得， 当直线的横纵截距均不为时，设直线方程，代入，解得， 故所求直线方程为或，故错误； 故选：AB. 【变式训练11-1】．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练11-2】．已知过点的直线L在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线L的方程为 ． 【变式训练11-3】．记函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是 A． B． C． D． （三）两点距离公式应用 【典型例题1】． 的最小值为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】C 【解析】设，对要求的式子进行变形，看作抛物线的右半部分上一点P与的距离加上P到抛物线焦点的距离之和的最小值，根据抛物线性质进行求解. 设，则，则曲线为抛物线的右半部分．抛物线的焦点为，设点到准线l：的距离为d，点P为抛物线的右半部分上一点，设P到准线l：的距离为， 则 ． 故选：C 【点睛】本题难点在于要对题干中的代数式进行转化为抛物线的相关知识点进行求解距离的最值问题，利用数形结合思想和抛物线的性质进行求解. 【典型例题2】．下列命题为真命题的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BC 【解析】利用两点距离公式将题干中复杂式子转化为几个点间的距离，结合抛物线的定义，作出图形，数形结合即可得解. 设， 易知点的轨迹是抛物线的上半部分， 抛物线的准线为直线到准线的距离，为抛物线的焦点， 对于AB， ， 所以的最小值为，故A错误，B正确； 对于CD， ， 所以的最小值是，故C正确，D错误. 故选：BC. 【变式训练11-1】．已知x，，若恒成立，则实数m的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】．已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【变式训练11-3】．若，则的最小值是 ． （四）平行线应用 【典型例题1】．对于圆上任意一点，的值与，无关，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点到直线距离公式知可表示点到直线与直线得距离之和的倍，若其值与，无关，则圆在平行线与之间，即，解不等式即可. 由点到直线距离公式知点到直线与直线的距离分别为与，所以， 即可表示点到直线与直线得距离之和的倍， 若其值与，无关，则圆在平行线与之间， 即平行线间距离，解得或，故选：B. 【典型例题2】．下列选项正确的是（    ） A．过点且和直线垂直的直线方程是 B．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 C．若直线与平行，则与的距离为 D．已知圆，圆，、分别是圆、上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，可判断A选项；根据直线倾斜角与斜率的关系可判断B选项；利用平行线间的距离公式可判断C选项；求出圆关于直线的对称圆方程，数形结合可得出的最小值. 【详解】对于A选项，设过且和直线垂直的直线方程为， 则，可得， 所以，过点且和直线垂直的直线方程是，A对； 对于B选项，若，则；若，则. 所以，直线倾斜角的取值范围是，B错； 对于C选项，若直线与平行， 则，解得，则直线的方程为，即， 所以，与的距离为，C对； 对于D选项，圆心，圆的半径为，圆心，圆的半径为，圆心距为，因为，所以，圆与圆外离，所以，圆心关于直线的对称点为点，则线段的中点坐标为，由题意可得，即，解得，即点，所以，圆关于直线的对称圆为圆， 则点关于直线的对称点在圆上，由对称性可知， 所以，， 当且仅当点为线段与直线的交点时，取最小值，D对.故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项考查与圆相关的最值问题，解题的关键在于作出圆的对称圆，将位于直线同侧的两圆转化为位于直线异侧两圆上点的距离的最 【变式训练11-1】．若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】．若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【变式训练11-3】．若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 . （五）对称：“将军饮马”型最值 【典型例题1】． 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意将所求问题转化为上一点到两点的距离之和的最小值，可求出点关于直线的对称点为，可得答案. 因为 表示直线上一点到两点的距离之和． 设点关于直线的对称点为，所以，解得， 即，所以， 即的最小值为.故选：C.   【典型例题2】.已知点M，N分别在直线：与直线：，且，点，，则|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则直线的方程为， 由， 所以， 设， 则表示直线上的点与连线的距离之和， 所以的最小值为. 故选：C 【典型例题3】.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】， 则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即， 则可知当三点共线时，取得最小值， 即. 故选：B. 【典型例题4】.已知点，，直线，在直线l上找一点P使得最小，则这个最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设A关于直线的对称点的坐标为， 则， ∴最小． 故选：B 【典型例题5】.已知，点为轴上一动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知点关于轴的对称点为， ，直线方程为，令得， 所以直线与轴交点为， ，当且仅当是与轴交点时等号成立． 故选：A． 【变式训练11-1】.直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练11-2】.已知实数a，b满足，则的最小值为___________. 【变式训练11-3】.若，则的最小值为___________. 【变式训练11-4】.求函数的最小值． 【变式训练11-5】.已知，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【变式训练11-6】．在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ） A． B． C． D． 【变式训练11-7】． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（    ） A．13 B．11 C．9 D．7 【变式训练11-8】. 2025年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（    ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【变式训练11-9】．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【变式训练11-10】.若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________． （六）绝对值型最值 【典型例题1】．已知实数，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分类讨论，画出图像，利用的几何意义，转化求解即可. 当时，，双曲线第一象限部分， 当时，，椭圆第四象限部分， 当时，，双曲线第三象限部分， 当时，，不存在；其图像如下： 又的几何意义是曲线上的点到直线的距离的2倍，两条双曲线的渐近线相同且与平行，此时两平行线距离为，由图可知直线与椭圆在第四象限的部分相切时，距离取得最大， 设切线为，联立，可得， ，解得，（舍去），所以最大值为， 则的取值范围是.故选：D. 【典型例题2】．设点是圆上任意一点，若为定值，则的值可能为 A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【解析】求出圆心和半径，根据题意可得当且仅当圆夹在这两条平行直线之间时为定值，根据圆心到直线的距离大于等于，求出的范围，判断即可． 解：圆即为， 圆心坐标为，半径为， 表示两条平行直线和的距离之和的倍，当且仅当圆夹在这两条平行直线之间时为定值， 根据圆心到直线的距离大于等于，即，即，解得 只有满足条件，故选：． 【变式训练11-1】．对于圆 上任意一点的值与无关，有下列结论: ① 点的轨迹是一个圆； ② 有最小值； ③ 当 时，有最大值； ④ 当 时，. 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练11-2】．在平面直角坐标系中，点间的折线距离，已知，记，则（    ） A．若，则有最小值8 B．若，则A点轨迹是一个正方形 C．若，则有最大值15 D．若，则点A的轨迹所构成区域的面积为 【变式训练11-3】．已知实数、、、满足：，，，则的最大值为 . （七）对称：叠纸型 【典型例题1】．将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由对称，求出折痕所在直线方程，两个方程相同，列方程组可求未知数. 假设折痕所在直线的斜率不存在，由点与点可得折痕所在直线的方程为，由点与点可得折痕所在直线的方程为，故舍去； 由点与点可得折痕所在直线的斜率不为0， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即， 由点与点关于折痕对称，两点的中点坐标为，两点确定直线的斜率为，则折痕所在直线的斜率为，所以折痕所在直线的方程为：，即，则有，解得. 所以故选：D 【典型例题2】．将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据与关于折线对称求出即可. 设点和，线段中点为点, 折线即为线段的中垂线， 则，，所以，直线的斜率为，则折线斜率为2， 所以折线方程为：，由题知与关于折线对称， 则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，所以化简得，解得，所以.故选：A 【变式训练11-1】．张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线y=x+4关于折痕对称的直线为 . 【变式训练11-3】．在一张矩形纸片上，画有一个圆（圆心为O）和一个定点F（F在圆外）．在圆上任取一点M，将纸片折叠使M与点F重合，得到折痕CD．设直线CD与直线OM交于点P，则点P的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 （8） 坐标系中三角形三线综合问题 【典型例题1】.已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. （1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. （2）由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 【典型例题2】已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）根据垂直确定，再计算直线方程得到答案. （2）设，根据的中点在直线上，结合在上，得到答案. （1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故， 直线方程为，即； （2）设，则的中点坐标为， 则，解得，即，. 【变式训练11-1】.在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【变式训练11-2】.在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，边上的高线所在的直线方程为,的角平分线所在直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【变式训练11-3】.已知的顶点边上的高所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. ①角的平分线所在直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为. 若__________.求直线的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【变式训练11-4】.已知的顶点，边上的高BH所在直线为，边上的中线AD所在直线方程为． (1)求顶点A的坐标； (2)求直线的方程.（结果用一般式方程表示）． 【变式训练11-5】.在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）. (1)求点A和点C的坐标； (2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程. 【变式训练11-6】.已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【变式训练11-7】.已知的边上的高所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为为边的中点. (1)求边所在的直线方程； (2)求点的坐标. 【变式训练11-8】.已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 （九）直线平行与垂直 【典型例题1】.设a为实数，若直线两两相交，且交点恰是直角三角形的三个顶点，则这样的有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】A 【解析】算出三条直线的方向向量，根据法向量相互垂直可求a的值，故可得正确的选项. 三条直线的法向量分别为， 于是a的值必然在集合． 经验证，当时，中有重合的直线，当时，三线共点，因此所求组数为2． 故选:A. 【变式训练11-1】.设直线（、不同时为零），（、不同时为零），则“、相交”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式训练11-2】.已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式训练11-3】.已知直线：，：互相垂直，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-4】.已知，为正整数，且直线与直线互相平行，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．11 D．16 （十）两动直线隐藏型垂直求最值 【典型例题1】设直线与直线的交点为；分别为上任意两点，点为的中点，若，则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据题意画出图形，如图所示； 直线 与直线 的交点为 ； 为 的中点， 若，则，即 解得 ．故选A． 【典型例题2】. ，动直线过定点动直线过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，，且两直线斜率之积等于，∴直线和直线垂直，则，即，的最大值为，故选． 【变式训练11-1】.将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 【变式训练11-2】.，动直线过定点，动直线过定点，则点坐标为 ；若直线与相交于点（异于点,），则周长的最大值为 ． 【变式训练11-3】.设分别是△中的对边边长，则直线与直线的位置关系是 ． 【变式训练11-4】.已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 （十一）利用斜率解三角形三大线 【典型例题1】.已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【解析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积. 直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C 【典型例题2】.已知的三个顶点，则的高CD所在的直线方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先求出，进而得到，再由点斜式写出直线方程即可. 由题意知：，则，故CD所在的直线方程为，即. 故选：D. 【变式训练11-1】.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为___________. 【变式训练11-2】如图，在中，，所在直线方程分别为和，则的角平分线所在直线的方程为（       ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】.若△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为________. 【变式训练11-4】.已知为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为，斜边上中线CE所在直线方程为，且点C的纵坐标大于点E的纵坐标，则AB所在直线的方程为_______________________. （十二）直线方程理论 【典型例题1】.设，为不同的两点，直线.记，则下列结论中正确的个数是（ ） ①不论为何值，点都不在直线上； ②若，则过的直线与直线相交； ③若，则直线经过的中点. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个. 【答案】C 【解析】①通过分母不为0，确定，可以判断①的对错；②③通过对条件整理变形，利用直线的相关性质判断. 因为，分母不为0，所以，所以不论为何值，点都不在直线上，①正确； 当时，设，（），则，为直线上的两个点，显然直线与直线平行，故过的直线与直线不会相交，②错误； 当时，设，整理得：，因为，，所以的中点坐标为，故若，则直线经过的中点.③正确；正确的个数为2个 故选：C 【典型例题2】.在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（    ） A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上 B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行 C．若，则直线经过线段M，N的中点； D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交； 【答案】A 【解析】根据题意对一一分析，逐一验证． 解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确． 对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确； 对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确； 对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确； 故选A 【变式训练11-1】.设是直线:的一个方向向量，是直线的一个法向量.设向量与向量的夹角为，则为（   ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（    ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【变式训练11-3】.已知是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线（    ） A．与重合 B．与交于点 C．过与平行 D．过与相交 （十三）最小面积求直线 【典型例题1】.已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值. 过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 【典型例题2】.在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题： ①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； ②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条； ③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； ④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条． 其中，所有真命题的序号是． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【解析】∵直线与轴，轴交点的坐标分别是：，，∴，当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，∴当，在时，有两个值；当时，，∵，当且仅当时取等号，∴，当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值；∴当时，仅有一条直线使的面积为，故①不正确；当时，仅有两条直线使的面积为，故②正确；当时，仅有三条直线使的面积为，故③正确；当时，仅有四条直线使的面积为，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选D. 【变式训练11-1】.已知直线与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为.当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】.已知直线的斜率小于0，且经过点，并与坐标轴交于，两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-3】.直线 ，动直线 ，动直线 ．设直线与两坐标轴分别交于两点，动直线l1与l2交于点P，则的面积最大值（    ） A． B． C． D．11 （十四）切线型求面积最值 【典型例题1】若直线与抛物线相切，且切点在第一象限，则与坐标轴围成三角形面积的最小值为 . 【答案】4 【解析】设切点坐标，利用导数求切线方程，然后表示出三角形面积，利用导数可得最小值. 设切点为，因为，所以切线斜率为，得切线l的方程为 与坐标轴的交点分别为，令，解得， 因为切点在第一象限，所以，所以与坐标轴围成三角形面积 令，则 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，有最小值所以故答案为：4 【变式训练11-1】.已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式训练11-2】.设函数的图象为曲线C，为C上任意一点，过点R的直线PQ与C相切，且与x轴交于点P，与y轴交于点Q，当三角形POQ的面积取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． （十五）数形结合求最值：距离公式 【典型例题1】.我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离，所以， 过点作，垂足为，因为直线的方程为，， 所以，又直线与直线平行，， 所以，所以，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时，取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为，联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为，故选：D. 【典型例题2】.已知函数，给出下列四个结论： ①函数的图像是轴对称图形；    ②函数在上单调递减； ③函数的值域是；    ④方程有4个不同的实数解． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】根据函数解析式的几何意义，数形结合判断选项正误. 表示x轴上的点到，和的距离之差的绝对值. 对于①，当点在左右对称位置时，到，和的距离之差的绝对值相等，所以的图象是轴对称图形，①正确； 对于②，时，点从左向右靠近，到，和的距离之差的绝对值变小，所以在上单调递减，②正确； 对于③，当点在时，，取最小值0，又因为，所以值域为，③正确； 对于④，由③得，当时，，所以在上有两个不同的解，，和各有两个解，故有4个实数解，④正确. 故选：D. 【点睛】④中方程解的个数问题，注意的值域为，所以的解需在上，才能有两个解. 【变式训练11-1】.已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【变式训练11-2】.已知，为实数，代数式的最小值是 . 【变式训练11-3】.已知二元函数的最小值为，则正实数a的值为 ． （十六）数形结合：绝对值--点到直线距离公式 【典型例题1】.已知实数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 根据题意，设直线：，设点那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率，当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ，所以，即， 因为，所以，故答案为：. 【典型例题2】若恰有三组不全为0的实数对,满足关系式，则实数t的所有可能的值为 ． 【答案】或或 【解析】化简得到，然后对进行分类讨论即可求解. 由已知得，整理得， 看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， （1）当，此时易得符合题意的直线 l 为线段AB的垂直平分线以及与直线平行的两条直线和； （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点， 所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，符合； 综上，满足题意的实数t为或或 故答案为：或或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 【变式训练11-1】.已知直线交圆于，两点，则的取值范围为 . 【变式训练11-2】.已知满足方程，则M的轨迹为（       ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 （十七）直线最值范围综合应用 【典型例题1】.过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【解析】直线l：，化为，可得直线l经过定点线段PM的中点根据可得点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上利用点到直线的距离公式可得点Q到直线的距离的最小值． 解：直线l：，化为， 联立，解得，． 直线l经过定点．线段PM的中点．． 点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．其圆的标准方程为：． 圆心G到直线点距离．点Q到直线的距离的最小值为． 故答案为． 【典型例题2】.在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（    ） ①对任意三点A、B、C，都有 ②已知点P(3,1)和直线则 ③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形； ④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点． 其中真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】①讨论，，三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断； ②设点是直线上一点，且，可得，，讨论，的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值； ③运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断； ④讨论在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断． 解：①对任意三点、、，若它们共线，设，、，， ，，如右图，结合三角形的相似可得，， 为，，，或，，，则，，，； 若，或，对调，可得，，，； 若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ，，，； 则对任意的三点，，，都有，，，；故①正确； 设点是直线上一点，且， 可得，， 由，解得，即有， 当时，取得最小值； 由，解得或，即有， 的范围是，，，．无最值， 综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 故②正确； ③由题意，到原点的“切比雪夫距离” 等于的点设为，则， 若，则；若，则，故所求轨迹是正方形，则③正确； ④定点、，动点 满足，，， 可得不轴上，在线段间成立， 可得，解得， 由对称性可得也成立，即有两点满足条件； 若在第一象限内，满足，，， 即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线为常数）有且仅有2个公共点． 故④正确； 综上可得，真命题的个数为4个， 故选:. 【变式训练11-1】.已知点，，，直线将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】.在平面直角坐标系中，已知直线：与曲线从左至右依次交于、、三点，若直线：上存在满足，则实数的取值范围是 ． 【变式训练11-3】.已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【变式训练11-4】.在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（   ） A．     B．     C．     D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $第01讲直线方程 目录 思维导图 3 高考分析 ……3 知识要点.。 解题策略 ....10 题型归纳 ..11 题型01：直线的倾斜角 ,11 （一)直线的倾斜角..... ....12 (二)倾斜角的取值范围 ...14 (三)函数值域求倾斜角 ...18 题型02：直线的斜率… 21 (一)直线的斜率. ....21 (二)直线的斜率求参. ..23 (三)直线斜率取值范围及最值 ....24 (四)直线斜率的几何意义 .29 题型03：直线的方向向量..... ...........36 （一)直线的方向i向量.... ...36 (二)根据直线方向向量求直线 39 题型04：直线方程的五种形式.. 。。。。。。。。。。 41 (一)点斜式直线方程 .41 (二)斜截直线方程 ..45 (三)两点式直线方程 48 (四)截距式直线方程 49 (五)直线般式方程 56 (六)中点坐标公式 63 题型05：直线方程求法综合....。 .64 (一）直线图像 .64 (二)三角形三大线 ..66 (三)与圆有关的直线方程 .78 (四)与距离有关的直线方程.。 ......79 (五)直线系方程 .81 1 (六)求法综合 82 题型06：两直线位置关系... 90 (一)两条直线平行 ...90 (二)两条直线垂直 …….98 (三)两条直线交点 ..........102 题型07：距离问题..... 109 (一)两点间距离 .109 (二)点到值线距离..… ..115 (三)两平行直线间距离 122 题型08：直线过定点… .......125 题型09：对称问题… ....132 (一)点关于点对称 .132 (二)点关于线对称. .133 (三)直线关于点对称 137 (四)直线关于线对称. .141 题型10：光学问题.。 ........145 题型11：直线方程的应用....，.. .......156 (一）双直线含参型定圆.… ..156 (二)截距式应用 ..159 (三)两点距离公式应用.。 .162 (四)平行线应用 ....165 (五)对称：“将军饮马”型最值 .168 (六)绝对值型最值 .178 (七)对称：叠纸型 ...181 （八)坐标系中三角形三线综合问题 ...184 (九)直线平行与垂直. ..191 (十)两动直线隐藏型垂直求最值 .......192 (十一)利用斜率解三角形三大线 ....195 (十二)直线方程理论..... ..198 (十三)最小面积求直线 .200 (十四)切线型求面积最值..….….…… .203 (十五)数形结合求最值：距离公式......... (十六)数形结合：绝对值一点到直线距离公式. ..208 2 （十七)直线最值范围综合应用.211 思维导图 两条直线平行 两条直线相交 5.两条直线的位置关系 1直线的倾斜角和斜率 两条直线垂直 点斜式 两点间距离 斜截式 点到直线距离 6.距离公式 2直线的方程 截距式 平行直线间距离 两点式 一般式 点关于点对称 直线方程 点关于线对称 3.中点坐标及重心坐标公式 线关于点对称 7.对称问题 线关于线对称 4直线的方向向量及直线的参数方程 其它对称 8.直线系方程 9.直线有关最值 高考分析 直线方程是高考数学中的重要考点，其考情分析如下： ·考查形式：从近几年的高考情况来看，直线方程的考查多以选择题、填空题的形式出现，如2024年全国甲卷（文 数)第10题，2024年北京卷第3题等，分值一般为4分或5分。 ·考查内容：主要考查直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式等。例如2025年 新高考数学一卷第12题，考查了直线方程与曲线方程相结合的应用问题；高考也常考查根据已知条件求直线方程， 如己知直线过定点、直线的斜率或截距等条件，求直线的点斜式、斜截式或一般式方程。 ·难度系数：直线方程单独考查时，难度一般不大，属于基础题型，只要掌握基本概念和公式，计算不出错，就能 得分。但在一些综合题型中，如直线与圆锥曲线相结合的问题，直线方程可能作为其中的一部分，与其他知识综合 3 考查，难度相对较大。 ·命题趋势：预计未来高考对直线方程的考查仍将保持稳定，题型和难度变化不大。会更加注重对直线方程基本概 念和方法的考查，同时也可能会与其他知识，如函数、不等式、圆锥曲线等相结合，考查学生的综合运用能力。 知识要点 知识点一：倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 ①定义.当直线1与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线1向上的方向之间所成的角C叫做 直线1的倾斜角.当直线1与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°· ②范围：倾斜角0的范围为0≤<π. 2.直线的斜率 ①定义.一条直线的倾斜角(0≠90°)的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tana, 倾斜角是90°的直线没有斜率.当直线l与x轴平行或重合时，0=0°，k=tan0°=0. ②过两点的直线的斜率公式.经过两点P(:,乃)，P(:,乃，)(x≠x)的直线的斜率公式为k=业-当 X2-X1 3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在. 4.直线的倾斜角C、斜率k之间的大小变化关系： (1)当a∈[0，元)时，k>0,a越大，斜率越大 2)当aE)时，k<0,a越大，斜率越大 5.直线的斜率与倾斜角的定义及其关系 (1)斜率：表示直线的变化快慢的程度；k>0,直线递增，k<0,直线递减， (2)倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为l0,π) 知识点二：中点坐标及重心坐标公式 中点坐标公式 4 x=古+5 2 Ax,y),Bx,乃2)，M(x,yo为AB的中点，则： 2 三角形重心坐标公式 Ax,y,B(x2,y2,Cx3,y3,Mx,y)为△ABC重心 )=当+5+5 3 →%=出+为+⅓ 3 =名+3+2 知识点三：直线的方程 1.直线的点斜式方程 (1)直线的点斜式方程的定义： 设直线1经过一点P(xo,o),斜率为k,则方程y一yo=k(x一x)叫作直线1的点斜式方程， (2)点斜式方程的使用方法： ①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角α=90°，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因 为1上每一个点的横坐标都等于x1,所以直线方程为xx1;若直线的倾斜角a味90°，则直线的斜率k=tana,直 线的方程为y一yo=(tana)·(x-xo) 2.直线的斜截式方程 (1)直线的斜截式方程的定义： 设直线1的斜率为k,在y轴上的截距为b,则直线方程为y=kx+b,这个方程叫作直线1的斜截式方程. P0,b) (2)斜截式方程的使用方法： 已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程. 3.直线的两点式方程 (1)直线的两点式方程的定义： 设直线1经过两点P(x,),P(x2,)(x,片，则方程)二片=二X叫作直线1的两点式方程. y2-y1x2-x1 (2)两点式方程的使用方法： ①已知直线上的两个点P(x,),P2(x2,y2),且x≠x2,片y2时，可以直接使用该公式求直线方程. ②当x=x2,2时，直线方程为x=x(或x=x2) ③当xx2,片=y2时，直线方程为y=少（或y=y2): 5 4.直线的截距式方程 (1)直线的截距式方程的定义： 设直线1在X轴上的检距为a,在y轴上的截距为6，且a*0,b坐0，则方程。十方=1国作直线！的发距式 方程。 y B(0,b) A(a,0) (2)直线的截距式方程的适用范围： 选用截距式方程的条件是a≠O,b≠0，即直线1在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能 表 示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行（或重合）的直线 (3)截距式方程的使用方法： ①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为O时，可以直接使用该公式求直线方程. ②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为O时，可设直线方程为y=kx,利用直线经过的点的 坐标求解k,得到直线方程.、 5.直线的一股式方程 (1)直线的一般式方程的定义： 在平面直角坐标系中，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=O(其中A,B不同时为O)叫作直线的一般式方程. 对于方程Ax+By+C=OA,B不全为O): 当B*0时，方程++C0可以与成y=音x-台·它表示斜率为-台·在y箱上的为-合的 直线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线， 当B=0时，A*0.方程Ax+B+C=0可以写成X-号，它表示垂直于x轴的直线. C (2)一般式方程的使用方法： 直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线。 辨析直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 不能表示与×轴垂直 ①已知斜率：②已知 点斜式 y-yo=k(x-Zo) 的直线 一点 不能表示与×轴垂直 ①已知在y轴上的截距： 斜截式 y-kx+b 的直线 ②已知斜率 不能表示与×轴、 ①已知两个定点：②已知 两点式 y轴垂直的直线 两个截距 6 y一班= x一x y2-1C2-x1 不能表示与x轴垂直、 ①已知两个截距：②已知 截距式 +=1 与y轴垂直、过原点 直线与两条坐标轴围成的 a 的直线 三角形的面积 Ax+By+C-0 求直线方程的最后结果均 一般式 表示所有的直线 (A,B不全为0) 可以化为一般式方程 知识点四：方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它 由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的 如图1，设直线1经过点P(xo,%),v=(m,n)是它的一个方向向量，Px,y)是直线1上的任意一点，则向量PoP与 '共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t,使P户=t位，即(x一xoy一o)=m,,所以 x=xo+t①. y=yo+nt 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数 y M P(x.y) 0 Po(xo.Yo) N 图1 由上可知，对于直线1上的任意一点Px,,存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确 定的值，由①可以确定直线1上的一个点Px,).我们把①称为直线的参数方程. 知识点五：直线的位置关系 1.两直线的平行关系 (1)对于两条不重合的直线，2，其斜率为k,k,有l/儿台k,=k2· (2)对于两条直线l:Ax+By+C=0,I2:A2x+B2y+C2=0, 有1/1l2台AB2-A,B=0,AC2-A,C1≠0 两条直线平行或重合的充要条件 直线11A1x十B1y十C1=0与直线12：A2x十B2y十C2=0平行或重合的充要条件是A1B2一A2B1=0. 2.两条直线的垂直关系 (1)对于两条直线1，l2,其斜率为k,k,有l⊥12台kk3=-1. (2)对于两条直线L:Ax+By+C=0,I2:Ax+B2y+C2=0,有1⊥12台AB+A,B2=0 直线11：A1x十B1y+C1=0与直线12：A2x十B2y十C2=0垂直的充要条件是A1A2十B1B2=0. 3.两条直线的交点 (1).两条直线相交：对于两条直线l:Ax+By+C=0,I2:Ax+B2y+C2=0,若AB2-A,B≠0，则 Ax+By+C=0 方程组 有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. Ax+B3y+C2=0 Ax+By+C=0 (2).两条直线l:Ax+By+C=0,I2:Ax+B2y+C2=0,联立方程组 Ax+B3y+C2=0 若方程组有无数组解，则1,1，重合. 或者.若有4=8=9，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合， A B2 C2 若有4-及±9，则方程组无解，比时两直线平行： 若有4≠及，则方程组有唯一解，比时两直线相交，此解即两直线交点的坐标 A.B2 知识点六：距离公式 1.两点间的距离公式 设两点P(x,y),P(x2,y2),则PP=V(x2-x)2+(y2-y)2 2.点到直线的距离公式 设点P(xo,yo),直线1：Ax+By+C=0,则点P(xo,y)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=l AXo+Byo +C VA2+B2 3.两平行线间的距离公式 设两条平行直线l:A+By+C=0,I,:Ax+By+C,=0,则这两条平行线之间的距离 d= G-C2l VA2+B2 知识点七：对称问题 七=龙+5 2 片=出+丛 1.中点坐标公式： 2 2.中心对称：点A(&o,yo)关于点Pm,n)的对称点坐标为2m一xo,2n-yo;曲线（直线）f(x,y)=0关于点P(m, n对称的曲线（直线）方程为f(2m一x,2n一y=0;特别地，点Pxo,yg)关于原点的对称点为xo,~Y,). 8 3.轴对称：(1)点Px,y关于直线Ax十By+C=0的对称点Poo,Yo),满足如下关系： [4+0+B++C=0, 2 2 -0_B -0A 4.特殊的轴对称：(i)点P(xo,yo)关于x轴、y轴，x=m,y=n,y=x,y=一x,y=x十m,y=一x+n的对称点 的坐标依次为o,-yo小、(-xo,Yo小、(2m-xo,o小、（区o,2n-yo小、(Y0,xo小（-yo,-xo小、(Y0一m,xo+ m以、（-y0+n,-xo+nl 5.曲线（直线f(x,y)=0关于x轴，y轴，x=m、y=n、y=x、y=一x、y=x+m、y=一x十n对称的曲线（直线）方 程依次为：fx,-y)=0、f-x,y)=0、f2m-x,y)=0、fx,2n-y)=0、fy,x=0、f-y,一x=0、fy-m, x+m)=0、f-y+n,-x+n)=0. (一)点关于点对称 点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点P(x,y)关于点Q(x,,y)的对称点为P'(x2,y,),则根据中点坐标 =戈+5 公式，有 2 %=出+当 2 可得对称点P'(x2,y)的坐标为(2x。-x,2-) (二)点关于直线对称 点P(x,)关于直线1：Ax+By+C=0对称的点为P'(x,y),连接PP',交1于M点，则1垂直平分Pp',所 k·kpp=-l 以PP'⊥1，且M为PP'中点，又因为M在直线1上，故可得 A西+x+B当+业+C=0 解出(32，)即可. 2 2 (三)直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程. (四)直线关于直线对称 求直线l:ax+by+c=0,关于直线l2:d+ey+∫=0（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立1，l,算出交点P(x。,y) 第二步：在1上任找一点（非交点）Q(x,),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点Q'(x,y) 9 第三步：利用两点式写出1方程 (五)常见的一些特殊的对称 点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(x,y). 点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x) 点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y). 点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)· 点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k)· 知识点七：三种直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=O(m∈R且m≠C. (2)与直线Ax+By+C=O垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=O(n∈R). (3)过直线1：A1x+B1y+C1=0与12：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+AA2x+B2y+C2) =0(A∈R),但不包括12. 解题策略 高考直线方程解题核心是“先定形式，再求参数”，即根据已知条件选择最优直线方程形式，代入数据计算关键参数（斜 率、截距等)。 一、核心解题步骤（通用） 1.分析已知条件：明确题目给出的信息类型，如“过两点”“已知斜率和截距”“与另一直线平行/垂直”等，这 是选择方程形式的依据。 2.选择最优方程形式：避免复杂计算，例如“过两点”优先用两点式或两点求斜率后代入点斜式，“已知斜率和y 轴截距”直接用斜截式。 3.计算关键参数：代入已知条件求斜率(k)、截距(b)或定点坐标，注意斜率不存在（竖直线）的特殊情况， 避免漏解。 4.验证与整理：将结果化为题目要求的形式（如一般式Ax+By+C=O,A≠0），代入原条件验证是否正确。 二、高频题型专项策略 1.求直线方程（基础题型） ·已知斜率k和定点(x。,。):直接用点斜式y-y。=k(x-X。),注意k不存在时直线为x=X。。 ·已知两点(x1,y小、(X,y2:先算斜率k=(y2-y)/(X-x)(x1≠X),再用点斜式；若x=,直线为X=X1。 ·已知直线平行/垂直于另一直线：平行则斜率相等（或均不存在），垂直则斜率乘积为-1（或一条斜率为0、另 一条不存在)，再结合其他条件求方程。 10