3.2勾股定理的逆定理同步练习 2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

3.2勾股定理的逆定理 一、单选题 1．下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 2．分别有下列几组数据∶①6，7，8；②12，13，5；③17，8，15；④4，11，9．其中能构成直角三角形的有（      ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 3．下列条件中，不能判定为直角三角形的个数为（    ） ①，，；②；③，，；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（       ） A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 5．在中，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A．B．C．D． 7．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．一个三角形三边长的比是，这个三角形 （填“是”或“不是”）直角三角形． 10．在中，，，的对边分别是，，，若三边关系为，则 是直角． 11．若的三条边a，b，c满足，则是 三角形． 12．如图，，，，，，该图形的面积等于 ． 13．已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为 三角形. 14．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 15．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 三、解答题 16．如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， (1)的长为_____，的长为_____ (2)求证： 17．如图，在中，于点． (1)求的值； (2)判断的形状，并说明理由． 18．如图，已知四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19．如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，． (1)求线段的长． (2)求的面积． 20．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 22-1 32-1 42-1 52-1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 … （1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示： a=_______，b=________，c=_______． （2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？ （3）请你观察下列四组勾股数：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(9，40，41)，分析其中的规律，直接写出第五组勾股数_______． 21．我们定义一种新的三角形—魅力三角形，三角形三边满足其中两边的平方和等于第三边平方的倍（为正整数）的三角形叫做魅力三角形．例如：三边分别为，，，，所以为魅力三角形． (1)新知理解： ①请你判断：等腰直角三角形是否为魅力三角形？________（填“是”或“不是”） ②已知某三角形三边长为，，，判断该三角形是否为魅力三角形，若是，求出的值；若不是，请说明理由． (2)知识探究： 在中，已知三条边长分别是、、，且，．若此三角形是魅力三角形，求出的的值． (3)知识拓展： 在中，，，，，且，若是魅力三角形，且，求的值． 22．在中，，点，分别是，上的点，连接． (1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”） (2)如图，连接，若平分，，，，则 ． (3)如图，若，，求证：点在的平分线上． (4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 第4页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 2．C 【详解】解：①，不能构成直角三角形； ②，能构成直角三角形； ③，能构成直角三角形； ④，不能构成直角三角形； 所以能构成直角三角形的有2组． 故选：C 3．B 【详解】解：①因为，所以不能构成直角三角形； ②因为，所以能构成直角三角形； ③因为，所以不能构成直角三角形； ④由，可设， 所以，能构成直角三角形； 综上所述：不能判定为直角三角形的个数为2个； 故选B． 4．D 【详解】解：， ，，， ，， ，， ，， ，即 三角形的形状是直角三角形，故选：D． 5．B 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 6．C 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 7．B 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．D 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴图中的直角三角形有、、、，共个． 故选：D． 9．是 【详解】解：∵三角形三边长的比是， ∴设三角形三边长分别为，，，， 又∵， ∴此三角形是直角三角形． 故答案为：是． 10． 【详解】解：在中，，，的对边分别是，，，三边关系为， 是直角．故答案为：． 11．等腰直角 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 12．96 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．直角 【详解】根据已知：a+b=10，ab=18，c=8，可求（a+b）2﹣2ab=100﹣36=64，和c2=64，因此可得到a2+b2=c2，然后根据勾股定理可知此三角形是直角三角形． 14． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 15．2026 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 16．(1)，． (2)见解析 【详解】（1）解： 由勾股定理得，． 故答案为：，． （2）解：由勾股定理得． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 17．(1)； (2)直角三角形，理由见解析 【详解】（1）解：于点D， ， 在中，， 在中，； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）可得， ， ∴是直角三角形． 18． 【详解】解：如图，连接， ， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 19．(1) (2) 【详解】（1）， ， 在中，，， ； （2），，， ， ， 的面积为． 20．（1）a=n2-1，b=2n，c=n2+1；（2）是直角三角形；（3）11，60，61. 【详解】（1）由题意：a=n2-1，b=2n，c=n2+1． （2）猜想：以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 理由：∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1， ∴a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2=c2， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． （3）观察可知：第五组勾股数为：112+602=612． 故答案为(11,60,61)． 21．(1)①是；是， (2)或或 (3) 【详解】（1）解：①∵当一个三角形是直角三角形时，设、为直角边，为斜边， ∴， 满足魅力三角形的定义，此时， ∴等腰直角三角形是魅力三角形， 故答案为：是； ②∵，，， 又∵， ∴该三角形是魅力三角形，； （2）①当为斜边时， ∵，， ∴， 此时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②当为直角边时， ∴， 此时，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 综上所述，的值为或或； （3）∵为直角三角形，， ∴， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； ②当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．(1)直角 (2)5 (3)见解析 (4)①，理由见解析；② 【详解】（1）解：∵点为的中点，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （2）解：平分，，， ， 设，则， 在中，， ， ， 即， 故答案为：5； （3）证明：如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点在的平分线上； （4）解：，理由如下： 由题意知，， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ； ②如图，连接，设，则， ，， ，， 由勾股定理，得，， 即， ，线段的长为． 答案第2页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $