精品解析：山东省济宁市第十五中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

济宁市第十五中学“启·合”学科竞赛初四数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数y＝图象经过点（2，3），则n的值是（　 　）． A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】将x=2，y=3代入函数解析式求解即可． 【详解】解：将点（2，3）代入y＝得，3＝， 解得：n=1． 故选D． 【点睛】本题考点：利用待定系数法求反比例函数解析式． 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，根据定义解题即可． 【详解】解：．是一次函数，故本选项不符合题意； ．，时，为一次函数，故本选项不符合题意； ．，为一次函数，故本选项不符合题意； ．，为二次函数，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 周末清晨，小明从家出发匀速跑步前往公园，到达公园后和朋友们组队打了一会儿篮球赛，结束运动后匀速步行回家．下面能反映小明离家距离与时间的大致关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象与实际生活的联系．根据在每段中，离家的距离随时间的变化情况即可进行判断． 【详解】解：图象应分三个阶段， 第一阶段：跑步到公园，在这个阶段，离家的距离随时间的增大而增大； 第二阶段：在公园打了一会儿篮球赛，这一阶段离家的距离不随时间的变化而改变； 第三阶段：散步回家，这一阶段，离家的距离随时间的增大而减小，并且这段的速度小于第一阶段的速度． 故选：C． 4. 反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. y随x的增大而减小 C. 若矩形的面积为2，则 D. 若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征是正确判断的前提． 根据反比例函数图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由于图象在第二象限，因此，所以选项A不符合题意； B．y随x的增大而增大，因此选项B不符合题意； C．由|，而，所以，因此选项C符合题意； D．若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是，因此选项D不符合题意； 故选：C． 5. 函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：a＞0时，y=的函数图象位于第一三象限，y=ax2的函数图象位于第一二象限且经过原点， a＜0时，y=的函数图象位于第二四象限，y=ax2的函数图象位于第三四象限且经过原点， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选D． 考点：1.二次函数的图象；2.反比例函数的图象． 6. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解意义是解题的关键． 根据反比例函数的几何意义逐一分析判定即可． 【详解】解：A．阴影面积，故选项A不符合题意； B．阴影面积为，故选项B符合题意； C．阴影面积为2×，故选项C不符合题意； D．阴影面积为故选项D不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中，，于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 8. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 9. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠C=∠D=90°， 由折叠得AF=AD=BC=10，∠AFE=∠D=90°， 在Rt△ABF中，有AB=8，AF =10， ∴BF==6， ∵∠B=∠C=∠D=90°， ∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∴tan∠EFC=tan∠BAF=． 故选A． 【点睛】考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．锐角三角函数的定义． 10. 如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，根据设，，证，得出比例式，求出，，，求出，解直角三角形得出即可． 【详解】解：如图，作交延长线于点， ， 又， ， ∵ ∴， ∵， ∴设，则， ，， ， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 12. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、坡度坡角问题等知识点，根据图示确定在哪个直角三角形中进行解直角三角形是解题的关键． 先根据坡角，坡长米求得的长，从而知的长，再根据背水坡CD的坡度得到∠C的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得的长即可． 【详解】解：∵迎水坡的坡角，坡长m， ∴（米）， ∴， ∵背水坡CD的坡度，， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为12． 13. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：的图象均在第一象限， ， 点，均在反比例函数（是非零常数，）的图象上， ， 矩形的顶点在反比例函数（是非零常数，）的图象上， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围城的矩形的面积是定值． 14. 利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围：____________； 【答案】 【解析】 【分析】设边的长为米．边长为米．利用两宽加上一长等于30即可得出函数关系即可；本题考查了一次函数的实际应用，解不等式组，根据题目的条件，利用矩形的面积计算方法列出公式，即可作答． 【详解】解：依题意，设边的长为米．边长为米． 根据题意得：， 整理得：， ∵且， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）根据乘方运算法则，特殊角的三角函数值，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，中，，． （1）求的长． （2）是边上的高，请你补全图形，并求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一得出，在中，勾股定理求得，进而即可求解； （2）过点，作交的延长线于点，根据，以及正弦的定义，结合（1）的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵ ∴， ∵ ∴, ∴ 在中，, ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点，作交的延长线于点 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵, ∴ 【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据函数图象直接写出关于的不等式的解； （3）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）通过观察图象即可求得； （3）把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数表达式为，点的坐标为． 点和在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数表达式为； 【小问2详解】 由图象可知，关于的不等式的解为或； 【小问3详解】 是直线与轴的交点， 当时， 点． 【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式． 19. 某校九年级数学兴趣小组开展实践活动，甲、乙两小组成员分别采用不同的方案测量同一古塔的高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题 测量古塔的高度 组别 甲组的研究报告 乙组的研究报告 测量工具 卷尺、平面镜、标杆 测角仪、卷尺 测量方案 点、、在同一水下线上，、均与垂直，平面镜大小忽略不计， 点、在同一水平线上，和均与垂直，在点处测得塔顶A的仰角为，于点 测量数据 ，， ，， 参考数据 ，， 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请你从甲、乙两组中任选一组的方法计算古塔的高度，写出解答过程．（结果精确到0.1m） 【答案】若选择甲组，；若选择乙组， 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形及相似三角形的应用，熟练掌握解直角三角形及相似三角形的应用是解题的关键；若选取甲组，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解；若选择乙组，由题意易得四边形是矩形，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：若选择甲组， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 若选择乙组， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内） （1）求点D与点A的距离； （2）求隧道的长度．（结果保留根号） 【答案】（1）点D与点A的距离为300米 （2）隧道的长为米 【解析】 【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解； （2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长 【小问1详解】 由题意可知：， 在中， ∴（米） 答：点D与点A的距离为300米． 【小问2详解】 过点D作于点E． ∵是东西走向 ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ ∴（米） 答：隧道的长为米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 22. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 23. 我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理可得：， 同理可得：． 利用上述结论解答下列问题： （1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的值，根据勾股定理的逆定理证明直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案； （2）把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，即， ∴为直角三角形，， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， 化简得， 解得，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义和解直角三角形的知识，理解新定义并正确运用新定义的公式是解题的关键，注意应熟记特殊角的三角函数值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市第十五中学“启·合”学科竞赛初四数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 反比例函数y＝图象经过点（2，3），则n的值是（　 　）． A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 周末清晨，小明从家出发匀速跑步前往公园，到达公园后和朋友们组队打了一会儿篮球赛，结束运动后匀速步行回家．下面能反映小明离家距离与时间的大致关系的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. y随x的增大而减小 C. 若矩形的面积为2，则 D. 若图象上点B的坐标是，则当时，y的取值范围是 5. 函数y=与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，延长斜边到点，使，连接，若，则的值（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 如图，某拦水大坝的横断面为梯形，为梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡长m，背水坡CD的坡度，则背水坡的坡长为______m． 13. 如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接，．若四边形的面积为3，则的值为________． 14. 利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围：____________； 15. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，中，，． （1）求的长． （2）是边上的高，请你补全图形，并求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）请根据函数图象直接写出关于的不等式的解； （3）连接，求的面积． 19. 某校九年级数学兴趣小组开展实践活动，甲、乙两小组成员分别采用不同的方案测量同一古塔的高度，以下是他们研究报告的部分记录内容： 课题 测量古塔的高度 组别 甲组的研究报告 乙组的研究报告 测量工具 卷尺、平面镜、标杆 测角仪、卷尺 测量方案 点、、在同一水下线上，、均与垂直，平面镜大小忽略不计， 点、在同一水平线上，和均与垂直，在点处测得塔顶A的仰角为，于点 测量数据 ，， ，， 参考数据 ，， 备注 测量过程中注意安全及保护文物不被破坏 请你从甲、乙两组中任选一组的方法计算古塔的高度，写出解答过程．（结果精确到0.1m） 20. 小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内） （1）求点D与点A的距离； （2）求隧道的长度．（结果保留根号） 21. 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 22. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 23. 我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？（已知） 如图，锐角中，、、所对的边分别为a、b、c，过点C作， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理可得：， 同理可得：． 利用上述结论解答下列问题： （1）在中，，求a和的大小； （2）在中，，其中，求边长c的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $