精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

2025年下学期初三十月份调研试卷 数学科目 考生注意：本试题卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一．选择题 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据384000用科学记数法表示为， 故选：C． 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减法法则对各项进行运算即可． 【详解】A． 与不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意； B． ，故此选项错误，不符合题意； C． ，故此选项错误，不符合题意； D． ，故此选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减法法则是解题的关键． 5. 以下调查适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解全国学生周末使用网络情况 B. 了解一沓钞票中有没有假钞 C. 了解全国九年级学生节约用水的情况 D. 了解山西省中学生心理健康现状 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查即普查，指对总体中每个个体都进行的调查，一般适用于总体中个体数量不太多的情况；对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时，不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键．根据全面调查的特点逐项分析即可． 【详解】解：A、总体中个体数量比较大，不适宜采用全面调查，故不符合题意； B、适宜采用全面调查，故符合题意； C、总体中个体数量比较大，不适宜采用全面调查，故不符合题意； D、总体中个体数量比较大，不适宜采用全面调查，故不符合题意； 故选：B． 6. 不等式组的整数解是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴整数解为． 故选：C． 7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查的知识点是抛物线的平移规律；用到的方法是“左加右减，上加下减”的平移技巧；解题关键是准确掌握x（左右平移）和常数项（上下平移）的变化规则；易错点是混淆左右平移时x的“加”“减”方向，造成平移后解析式错误． 解题时，根据“左加右减，上加下减”的平移原则，对抛物线，向右平移1个单位，x变为，得到；再向上平移3个单位，在表达式后加3，得到，进而确定选项． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位，得；再向上平移3个单位，得． 故选：A． 8. 如图，，点D在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键掌握全等三角形的对应角相等． 先根据全等三角形的性质得到，，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】解：， ，， ， 即， ， ． 故选：A． 9. 如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A. 25° B. 40° C. 50° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质得到∠OCA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A． 【详解】解：∵∠D＝25°， ∴， ∵切于点C， ∴ ∴ ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线． 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；②若且，则； ③若，则；④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理等．利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键． 由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得，，把代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出，设，利用勾股定理得，则，解得，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ，故②正确； 抛物线对称轴为直线， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ， ， ∴点的坐标为，，故③正确； ，抛物线对称轴为直线， ， 设， ，，， ， ， ，解得， ，故④错误． ∴正确的有3个， 故选：D． 二．填空题 11. 比大小：__________． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，两个正数比较大小，可通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大． 【详解】解：分别对两个二次根式平方得： ， ， 因为，且，， 所以． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式继续因式分解即可． 【详解】解：原式． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 14. 如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且周长为24， ∴，， ∴， ∵点E是中点， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F．若，，则的长是 ______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先利用正方形的选择证明和全等可得，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得： ． 故答案为：25． 16. 如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 三．解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】考查负指数幂、二次根式、零指数幂、绝对值的运算；方法是分步化简后合并；关键是掌握各运算核心法则，准确判断符号；易错点为负指数幂、绝对值化简及零指数幂底数判断错误．先分别化简各项：，，，；再代入原式合并，即可求得该式的结果． 【详解】解： ． 18. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值. 【答案】；时，原式(或当时，原式.) 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再选择使分式有意义的值代入. 【详解】解：原式 ∵， ∴当时，原式(或当时，原式.) 【点睛】本题考查了分式化简求值.，解题的关键是熟练掌握运算法则. 19. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度． 【答案】（1）即为所求． （2）， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，旋转性质的理解，旋转中心，正确作图是解题的关键． （1）根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，描点，画图即可； （2）先确定旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下： 此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转， 故答案为：，． 20. 为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了下表 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________，图中的值为____________，请补全形统计图． （2）求本次调查样本中数据的众数和中位数； （3）若学校计划购买200双轮滑鞋，建议购买35号轮滑鞋多少双? 【答案】（1）40；15； 补充条形统计图如图所示： （2）众数：35；中位数：36； （3）60双 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图与扇形统计中“36号”的人数与占比求出总人数即可；从而求出m的值即可；然后根据条形统计图求出“37号”的人数； （2）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可； （3）根据样本估计总体的方法列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为（人）， “37号”的人数为（人）， “34号”的占比为， ∴扇形统计图中m的值为15； 图略； 故答案为：40，15； （2）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多， ∴这组样本数据的众数为35； ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，如下： 34 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 38 38 其中处于中间的两个数都为36， ∴中位数为； （3）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%， ∴（双）， ∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%， ∴计划购买200双运动鞋，建议购买60双为35号． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键． 21. 如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接AD，过点C作，交延长线于点M，垂足为点F，连接交于点N，猜想和的数量关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：， ， ， 绕点C顺时针旋转得到线段， ，， 在中，， ， ． （2） 解：，证明如下： ，， ∴，， 垂直平分， ， ， ，即， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据等腰三角形的性质和判定可得平分、，则，进而得到垂直平分可得，进而得到，再根据角的和差可得，然后根据全等三角形的性质以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 22. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线． ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，结合等腰三角形的性质和三角形中位线可证得，即可证得结论； （2）如图，作于点F，得到矩形，再通过勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， ∴， 中，． 23. 某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值： （3）若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得24000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2），利润的最大值为31500元 （3）在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得24000元的利润，护眼贴的销售单价为70元/盒 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，利用二次函数解决利润问题，求二次函数的函数值，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意确定自变量的取值范围，列出二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）利用二次函数的函数值，求出自变量的值即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将表格中数据分别代入中， 得， 解得， ∴， ∵每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得，， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴利润的最大值为31500元； 【小问3详解】 解：能，理由如下： ∵， ∴， 由(2)可知，， ∴， 将代入中， ∴， 解得或， ∵， ∴， 答：在每盒护眼贴的利润不高于20元的情况下，该电商每月能获得24 000元的利润，此时护眼贴的销售单价为70元/盒． 24. 对于二次函数，规定函数是它关于直线的相关函数． （1）已知二次函数：，如图1，求其关于直线的相关函数的图像与坐标轴的交点坐标． （2）已知二次函数的顶点为点，与轴交于点，点在二次函数关于直线的相关函数的图像上，点在轴上．若、、、四点能构成以为边的平行四边形，求点的坐标． （3）如图2，已知点，的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与二次函数关于直线的相关函数的图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），，； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，二次函数与几何图形的问题． （1）由题意先得到关于直线的相关函数的解析式，然后由图可知，分别求出当和时，函数与坐标轴的交点坐标； （2）先由求出点、的坐标，设，的横坐标为，分和两种情况讨论当、、、四点能构成以为边的平行四边形时，点的坐标； （3）首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有1个交点、2个交点、3个交点时的值，然后结合函数图像可确定出的取值范围． 【小问1详解】 解：， 其关于直线的相关函数为， 由图可知， 当时，，此时函数图像与轴有一个交点， 令，解得， 该图像与轴的交点坐标为； 当时，，此时函数图像与轴有两个交点， 令，解得， 此时函数图像与轴的交点坐标为或； 综上所述，二次函数关于直线的相关函数的图像与坐标轴的交点坐标为，，； 【小问2详解】 解：二次函数， 顶点坐标． 令，解得， ． 二次函数关于直线的相关函数为， 设，的横坐标为， 当时，在上，所以设， 当为对角线时，、、、四点能构成以为边的平行四边形， 此时满足，解得（舍去）， 此时，点的坐标为； 当时，在上，所以设， 当为对角线时，、、、四点能构成以为边的平行四边形， 此时满足，解得（舍去）， 此时，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图1所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有1个公共点， 所以当时，，即，解得． 如图2所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点， 抛物线与轴交点纵坐标为1， ， 解得． 当时，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点． 如图3所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有3个公共点， 抛物线经过点， ． 如图4所示，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点， 抛物线经过点， ，解得， 时，线段与二次函数的相关函数的图像恰有2个公共点． 综上所述，的取值范围是或． 25. 如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线表达式为 （2）面积最大值为1 （3）存在点P，坐标为 【解析】 【分析】（1）将已知点、代入抛物线，建立二元一次方程组，通过代入消元法求解a、b的值，从而确定抛物线的函数表达式． （2）先求出C点坐标和直线的表达式，设动点Q的坐标，作“铅垂高”，将的面积表示为关于m的二次函数，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）通过直线平行实现角的转化，构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质，求点P所在直线，联立直线与抛物线方程求解 ． 【小问1详解】 将，代入，得方程组： ， 解得， 故抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 令，则，所以． 直线的表达式：设，代入，，得： 解得，故直线的表达式为． 设，过Q作轴交于，则： 对于二次函数，，当时，面积最大值为： ． 【小问3详解】 存在点P，使得，理由如下： 由、得直线解析式为． 直线，故，． 由，得． 取，连接． ，，， ． ，为等腰直角三角形，， ∴点P在直线上． 由、得直线解析式为． 联立， 解得，（舍去）即． 综上所述，存在点P坐标为． 【点睛】考查知识点：二次函数/一次函数解析式（待定系数法）、三角形面积最值、两直线平行、全等三角形、等腰直角三角形、方程联立．解题思想：函数与方程思想（几何转代数）、分类讨论思想（第3问角相等的两种情况）、转化思想（角的等量代换）．解题关键：第(1)问准确代入解方程；第(2)问作辅助线转化面积；第(3)问角转化．易错点：解方程组计算错；第(2)问面积转化失误；第(3)问未舍重合解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期初三十月份调研试卷 数学科目 考生注意：本试题卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一．选择题 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 3. 2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 5. 以下调查适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解全国学生周末使用网络情况 B. 了解一沓钞票中有没有假钞 C. 了解全国九年级学生节约用水的情况 D. 了解山西省中学生心理健康现状 6. 不等式组的整数解是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 把抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点D在上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上．若∠D＝25°，则∠A为（　　） A. 25° B. 40° C. 50° D. 65° 10. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论： ①当时，；②若且，则； ③若，则；④若，，连接，点在抛物线的对称轴上，且，则．其中正确的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二．填空题 11. 比大小：__________． 12. 因式分解：_____． 13. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 14. 如图，菱形的周长为24，对角线，交于点O，E为的中点，则的长等于_________． 15. 如图，在正方形中，点E在边上，于点G，交于点F．若，，则的长是 ______． 16. 如图，是的弦， 点 P在弦 上，，则的半径长为________． 三．解答题 17. 计算：． 18. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值. 19. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_____，旋转角是_____度． 20. 为了推动阳光体育运动的开展，引导学生走向操场，走进大自然走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批轮滑鞋供学生使用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了下表 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为____________，图中的值为____________，请补全形统计图． （2）求本次调查样本中数据的众数和中位数； （3）若学校计划购买200双轮滑鞋，建议购买35号轮滑鞋多少双? 21. 如图，在中，，，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，过点D作，交延长线于点E． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接AD，过点C作，交延长线于点M，垂足为点F，连接交于点N，猜想和的数量关系，并加以证明． 22. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 23. 某电商为积极响应“爱眼日”活动宣传，计划销售一款护眼贴．已知该款护眼贴的进价为50元/盒，电商平台规定每盒护眼贴的销售单价不得低于进价，且利润不得高于进价的，销售一段时间后，该电商发现这款护眼贴的月销售量（盒）与销售单价（元）是一次函数的关系，其对应关系如下表： /元 60 65 70 75 80 /盒 1400 1300 1200 1100 1000 （1）求与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）设该电商在销售护眼贴时每月所获的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出利润的最大值： （3）若每盒护眼贴的利润不高于20元，则该电商每月能否获得24000元的利润？若能，请求出此时销售单价；若不能，请说明理由． 24. 对于二次函数，规定函数是它关于直线的相关函数． （1）已知二次函数：，如图1，求其关于直线的相关函数的图像与坐标轴的交点坐标． （2）已知二次函数的顶点为点，与轴交于点，点在二次函数关于直线的相关函数的图像上，点在轴上．若、、、四点能构成以为边的平行四边形，求点的坐标． （3）如图2，已知点，的坐标分别为，，连接，若线段（包括端点）与二次函数关于直线的相关函数的图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． 25. 如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值； （3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $