2.2.2 有理数的乘法运算律 基础讲义 2025-2026学年 青岛版（2024 ）数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数的乘法运算律，在有理数乘法法则基础上，系统探究乘法交换律、结合律、分配律及多个非零有理数相乘的符号规律，构建从法则到运算律再到推广应用的学习支架。 通过问题导入、活动探究（比较算式发现规律、任写算式验证）、例题示范（简便计算如分配律应用）及练习巩固，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理验证的能力，规范数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后辅助学生复习强化，弥补知识盲点。

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第2章 有理数的运算之2.2.2 有理数的乘法运算律 2.2 有理数的乘法与除法 第2课时 有理数的乘法运算律 在有理数范围内，乘法交换律、乘法结合律以及乘法对加法的分配率还成立吗？ 导入新课： 1. 有理数乘法法则是什么? 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘,仍得0。 2.填空: (1) ①(-2)×(-6)= ； (-6)×(-2)= 。12 12 - - ②×(-)= ； (−)×= 。 ③(-5)×3= ； 3×(-5)= 。-15 -15 （2）×5××2= ； ××= 。1 10 （3）36×(−−)= 。4 思考与交流 活动一:探究有理数的乘法交换律 问题1: 比较上面2(1)每组中两个因数和计算结果,你发现了什么? 发现两个算式中,两个因数相同,位置互换,结果不变。 再任写两个有理数相乘,并交换因数的位置,看一看得到的结果是否相同？由此你能得到什么结论? 得到的结果都相同。由此能得出乘法交换律在有理数范围内仍成立。 乘法交换律: 两个有理数相乘,交换因数的位置,积不变，即a×b=b×a。 活动二: 探究有理数的乘法结合律 问题1: 计算[(-3)×(-2)]×(-4)，(-3)×[(-2)×(-4)]。 [(-3)×(-2)]×(-4)=-24, (-3)×[(-2)×(-4)]=-24。 问题2: 从问题1中你发现了什么? 先算(-3)×(-2)和先算(-2)×(-4),得出的答案都为-24，即两算式的积相等. 再任意写三个有理数,按上面的形式相乘,看结论是否还成立。由此你能得到什么结论？ 对任何三个有理数,结论都成立。由此能得出乘法结合律在有理数范围内仍成立。 乘法结合律: 三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。 活动三: 探究有理数的乘法分配律 问题: 乘法对加法的分配律,在有理数范围内还成立吗? 可能成立。 任取三个有理数a,b,c,然后分别计算a×(b+c)与a×b+a×c,验证你的猜想,由此你能得出什么结论？ 对任意三个有理数a,b,c,都能得到a×(b+c)=a×b+a×c,从而验证前面的猜想是正确的。 由此能得出乘法对加法的分配律在有理数范围内仍成立。 乘法对加法的分配律: 一个有理数与两个有理数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加,即a×(b+c)=a×b+a×c. 知识点一 有理数乘法的运算律 将前面所得两种情况汇总,可得出完整的有理数乘法的运算律: 1. 有理数乘法的运算律 运算律 文字叙述 式子表示 示例 乘法 交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 a×b=b×a 5×（-6） =（-6）×5 乘法 结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 （a×b）×c=a×(b×c) 〔7×（-6）〕×5 =7×〔（-6）×5〕 乘法对加法的分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 a×(b+c)=a×b+a×c 5×（-6+7） =5×（-6）+5×7 拓展：乘法交换律的推广 （1） 交换律和结合律：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积都不变。 （2） 乘法对加法的分配律：一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个加数相乘，再把积相加，即a×（b+c+···+m）=ab+ac+··+am。 （3） 乘法对加法的分配律逆用：对于某些乘法算式，逆用乘法对加法的分配律可使其计算简便，即a×b+a×c=a×(b+c)。 例1 计算：（1）（-）×5××2； 解： （-）×5××2 = （-）××5×2 （乘法交换律） =〔（-）×〕×（5×2 ） （乘法结合律） =（-1）×10 =-10。 （2）36×（ - + ）。 解：36×（ - + ） =36× - 36× + 36× =9-28+15 =-4。 例2 用简便方法计算： （1） （-5）×8×（-1）×（-1.25）； （2） （-24）×（- + + ）; （3） （- 19）×240； （4） （-30）×（- ）+（-10）× -（-15）×0.4。 解：（1）（-5）×8×（-1）×（-1.25） =（-5）×（-）×8×（-1.25） =〔（-5）×（-）〕×〔8×（-1.25）〕 =9×(-10) =-90。 （2） （-24）×（- + + ） =（-24）×（- ）+（-24）× + （-24）× = 16-18-2 =-4。 （3） （- 19）×240 =（-20+）×240 =（-20）×240+×240 =-4800+75 =-4725。 （4） （-30）×（- ）+（-10）× -（-15）× 0.4 =30× - 10 × + 15× =（30-10+15）× （逆用乘法对加法的分配律） = 35× = 14。 规律总结： （1）在有理数的乘法运算中，带分数一般需要转化为假分数的形式，但有时可以根据带分数的特征，把带分数拆分成一个整数与一个真分数的和或者差，然后运用乘法运算律进行巧妙计算； （2）对于几个有理数相乘，先确定积的符号，再把能够凑整、便于约分的因数用乘法交换律与乘法结合律结合在一起，优先相乘； 当括号外的数是括号内分数的分母倍数时，可利用乘法对加法的分配律简化运算。 知识点二 有理数乘法法则的推广 写出下列算式的结果，与例1相比较，你能发现什么规律？ （-）×（-5）×（+ ）×（+2）= ;10 （-）×（-5）×（- ）×（+2）= ;-10 （-）×（-5）×（- ）×（-2）= ;10 归纳: 几个非零有理数相乘，积的符号取决于负因数的个数。当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 例2 计算：(- )×(−)×(−)。 解：(- )×(−)×(−) =- ×× =-1。 例3 计算： （1）（-1）×（+4.5）×（-1）×（- ）； （2）（- ）××1×（- ）； （3）（+5.9）×（-2024）×0×2025。 解：（1）（方法二） （-1）×（+4.5）×（-1）×（- ） =（- ）×（+）×（- ）×（- ） = - ××× =- 6。 （方法一） （-1）×（+4.5）×（-1）×（- ） =（- ）×（+）×（- ）×（- ） =〔（- ）×（+）〕×〔（- ）×（- ）〕 =（- ）× =- 6。 （2）（方法二） （- ）××1×（- ） =（- ）×××（- ） = ××× = （两个负因数，故积为正，并把绝对值相乘） （方法一） （- ）××1×（- ） =（- ）×××（- ） =〔（- ）×〕×〔×（- ）〕 =（- ）×（- ） = （3）（+5.9）×（-2024）×0×2025=0。 （有一个因数为0，故积为0） 练习（p42） 1. 计算： （1） （- 25）×3 ×（-4）； （2） （- ）×（-）× ； （3） （- ）× ×（-）× （-21）； （4） （-200）×3.14×0×（-9）。 解： （1） （- 25）×3 ×（-4）=〔（- 25）×（-4）〕×3=100×3=300。 （2） （- ）×（-）× =〔（- ）× 〕×（-） =（-1）×（-） =12。 （3） （- ）× ×（-）× （-21） =-（× ××21） =- 。 （4） （-200）×3.14×0×（-9）=0。 2. 在括号里写出计算所依据的运算律。 （-0.4）×（-0.8）×（-1.25）×2.5 =-0.4×0.8×1.25×2.5 =-0.4×2.5×0.8×1.25 （ 乘法交换律 ） =-（0.4×2.5）×（0.8×1.25） （ 乘法结合律 ） =-1×1 =-1。 3. 计算： （1）（ - - ）×75； （2）（- ）×1.45+（- ）×（-1.45）。 解：（1）（ - - ）×75 =×75- ×75 - ×75 =35-25-9 =1。 （2） （- ）×1.45+（- ）×（-1.45） =（- ）×1.45+×1.45 =（- ）×1.45 =-2×1.45 =-2.9。 重点内容总结 a×b=b×a 乘法交换律 有理数 的乘法运算律 几个非零数相乘 有理数 乘法法则的推广 有因数为0 负因数的个数为奇数时，积为负 积为0 负因数的个数为偶数时，积为正 多个 有理数 相乘 a×(b+c)=a×b+b×c （a×b）×c=a×（b×c） 乘法结合律 乘法对加法的分配律 1 学科网（北京）股份有限公司 $