精品解析：云南三校（昭通一中等）2025-2026学年高三上学期高考备考实用性联考卷（三）数学试题

2026届云南三校高考备考实用性联考卷（三） 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出补集，再应用交集定义求解. 【详解】由题可知：，所以， 所以， 故选：C 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的计算法则计算，再由复数的几何意义求解 【详解】由，得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B． 3. 数列是等比数列，且，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式基本量运算求解计算. 【详解】设等比数列的公比为，则 解得 因此，， 故选:A． 4. 下列四个选项中最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的比较进行判断即可. 【详解】， ，， 故选：B． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， ， 故选：C． 6. 若向量，，，，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量共线和垂直得坐标公式求出的值，再根据投影向量的公式和向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由可得，则， 又，可得，解得，则， 于是，， 则， 则向量在方向上的投影向量为. 故选：A． 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】 如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数的单调性及知，再构造函数函数应用导函数得出单调性进而取得最大值. 【详解】函数和函数都是增函数， 由于可知，两个函数和的零点相同，则， 于是， 令函数， 当时，；当时， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 最大值为，即的最大值为， 故选:C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 图象的对称轴方程为 D. 在上有4个极值点 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据正弦函数的变化规则求出的解析式，然后根据余弦函数的性质逐一判断计算即可. 【详解】的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到图象， 再将所有的点向左平移个单位长度得的图象． 对于A，的最小正周期，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，令，，得，，则图象的对称轴方程为，，C正确； 对于D，令，可得，，令，解得， 即，故在上有3个极值点，D错误. 故选：BC． 10. 抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线定义得线段的中点到轴的距离是，即可判断A；设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理利用斜率关系判断B；利用距离公式计算判断C；结合向量的坐标运算求得，利用焦半径公式求解弦长即可判断D. 【详解】设，，如图， 对于A：由抛物线定义知，线段中点的横坐标， 即线段的中点到轴的距离是，所以以线段为直径的圆与轴相切，故A正确； 对于B：由题意知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 所以，， 由得， 所以， 因为，， 所以，所以，故B正确； 对于C： 所以，故C错误； 对于D：当，可得，即，又， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD． 11. 四棱锥的顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，设分别是的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥外接球的半径为 C. 三点到平面的距离相等 D. 平面截球所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由面面平行的性质判断A；由长方体的性质得出四棱锥外接球的半径；由分别是的中点得出三点到平面的距离相等；根据等体积法得出球心到平面的距离，再由截面圆的半径求出截面面积. 【详解】对于A，取线段PC的中点O，则在梯形中，与不平行，若平面平面，由于平面平面，平面平面，则，这与与不平行相矛盾，故错误； 对于B，由题意可将该四棱锥补形为一个长方体，易知球心为长方体的对角线的中点，即为的中点，故球的直径，所以，故B正确； 对于C，点为的中点，则点两点到平面的距离相等，同理点为的中点，则点两点到平面的距离相等，故C正确； 对于D，设球心到平面的距离为，截面圆的半径为，由题意可知，球心到平面的距离等于点到平面的距离，在三棱锥中，由等体积法可得，即，解得，所以，所以截面圆的面积为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中的常数项为160，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式结合常数项计算求参数. 【详解】由题意知， 则，即， 故即． 故答案为：1. 13. 已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数和函数互为反函数得出切点在直线上，再设切点应用切线斜率计算求参. 【详解】函数和函数互为反函数，其图象关于直线对称，从而切点在直线上． 设切点坐标为，切点也在两条曲线上，并且两个函数在切点处的导函数值都是1，且和， 则列出方程， 由①得，则， 于是，代入②得，解得，从而． 故答案为：． 14. 已知数列满足，则________；其通项公式为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，依次对赋值求出；将分成奇数与偶数两类情况，利用递推公式，推出数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求得(为奇数)，进而求出(为偶数)，即得数列的通项公式. 【详解】由题意知：，，，； 因， 则有， 又，故数列是以4为首项，2为公比的等比数列， 则，即，故有(为奇数)； 又，故有(为偶数)， 故. 故答案为：13；. 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的面积为，为边的中点，角的角平分线交于点，，． （1）求角的大小； （2）求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和向量的数量积定义式，联立求得，回代入原式求出，推出等边三角形，即得角； （2）利用（1）的结论，根据，代入公式计算即得. 【小问1详解】 如图，由为边的中点，则， 即(*)． 又，两式相除得， 由，则，故． 又，由(*)可得，则，故为等边三角形，则． 【小问2详解】 由（1）得 在中，， 即， ∴ 16. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. 【小问1详解】 由题意：，所以． 又因为，，所以，， 即椭圆的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组得， ∴ ， ∴， ∴ ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1） 如图，连接，设，则，因， 在中，由余弦定理，可得， 又，则． 由平面，且平面，可得． 又，且，平面， 故平面，平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）设，先由余弦定理求出，再由勾股定理证明，结合平面，可得，最后根据线线垂直可证线面垂直，利用线面垂直的性质即得证； （2）由条件建系，写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因平面，由（1）得，即两两互相垂直． 故可以点为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，,,， 则，， 设平面的法向量为， 则故可取； 又因 设平面的法向量为， 则故可取. 于是，， 因 ,则， 故平面与平面夹角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，证明：． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减； 当时，即上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； （3）由（2）知：在上单调递减． 又， 故时，，即 取，则： 即：； 故， 故 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义即可求解； （2）求导，令，通过和两类情况讨论导数正负即可； （3）由（2）得到，进而得到即可求证； 【小问1详解】 ， ， ，又，即切点为 故切线方程为， 即 【小问2详解】 ． 令 ①当即时，， 即在上单调递减； ②当即， 即有两实数根和． （I）当时，， 则时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减； （II）当， 则和时，， 当时，， 即 在上单调递减，在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，即上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 略 19. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立． （1）假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； （2）假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望； （3）假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益． 【答案】（1） （2）分布列： X 11 P 0.01 0.27 0.72 期望为元 （3）， 【解析】 【分析】（1）设出相应的事件，条件概率公式和独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）由题意，列出的所有可能的值，并依次求出对应的概率，列出分布列，计算出均值即可； （3）经分析推得n个小时后正常的概率递推式由此式构造等比数列，求出其通项公式，再根据修复与收益标准依次计算各小时的期望收益，最后利用等比数列的求和公式计算累计期望收益即可. 【小问1详解】 设“小时后机器正常”为事件，设“加急检修，1小时修复”为事件，设“常规检修，1小时修复”为事件． 由题意，， 从而2小时后机器正常的概率为 【小问2详解】 依题意， 的所有可能的值为 的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元， 从而 的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元， 从而 的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元， 则 于是X的分布列为 X 11 P 0.01 0.27 0.72 数学期望为元． 【小问3详解】 初始状态正常，即；1个小时后正常的概率为；2个小时后正常的概率为； 同理，n个小时后正常的概率为 即，故 从而数列是首项，公比为的等比数列，于是， 因此． 初始状态正常，第1个小时期望收益为元；第2个小时期望收益为； 同理，第k个小时期望收益为． 因此n个小时累计期望收益为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届云南三校高考备考实用性联考卷（三） 数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 数列是等比数列，且，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 4. 下列四个选项中最大的数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若向量，，，，，，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上的所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 图象的对称轴方程为 D. 在上有4个极值点 10. 抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 以线段为直径的圆与轴相切 B. C. D. 当时， 11. 四棱锥的顶点都在球心为的球面上，且平面，底面为矩形，设分别是的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 四棱锥外接球的半径为 C. 三点到平面的距离相等 D. 平面截球所得的截面面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 展开式中的常数项为160，则实数________． 13. 已知直线是曲线和曲线（且）的一条公切线，那么的值为________． 14. 已知数列满足，则________；其通项公式为________． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的面积为，为边的中点，角的角平分线交于点，，． （1）求角的大小； （2）求的长度． 16. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，证明：． 19. 某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立． （1）假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率； （2）假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望； （3）假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $