精品解析：天津市实验中学2025-2026学年高三上学期第一次质量调查数学试题

天津市实验中学2025-2026学年高三上学期第一次质量调查数学试题 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 一、单选题（本大题共9小题，共45分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量为非零向量，则 “” 是 “” （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A B. 2 C. D. 3 6. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数的单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 9. 六方氮化硼（h-BN）材料具有高导热性和优良的电绝缘性，适用于新能源电池等高功率电子领域，其单层晶体结构由正六边形紧密排列而成，如图1所示.取相邻的三个边长为1的正六边形ABCDEF，正六边形BJIHGC，正六边形CGKLMD，记，，分别为这三个正六边形的中心，如图2所示.给出下列四个结论： ①若N为线段KL的中点，则； ②向量在向量上的投影向量为； ③设P为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为； ④若，且，则的取值范围为． 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 11. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 12. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为______． 13. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为______. 14. 在中，，若为其外心，满足，且，则的最大值为______. 15. 已知函数有三个不同的零点，且，则的值为______. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及对称轴方程； （2）若为锐角且，求的值. 17. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）若. ①求值； ②求的值. 18. 如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件最大整数n． 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线斜率； （2）讨论函数的极值； （3）若存在，且当时，，当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市实验中学2025-2026学年高三上学期第一次质量调查数学试题 命题人：高三数学备课组 审核人：高三数学备课组 一、单选题（本大题共9小题，共45分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合和的补集，再求与B交集可得答案. 【详解】集合， ， 所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，考查了解指数不等式，属于基础题. 2. 已知向量为非零向量，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求出结果. 【详解】因为，得到， 所以当时，有， 当时，成立，但得不出， 所以“” 是 “” 的充分不必要条件， 故选：A. 3. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数值的正负可判断函数的图象. 【详解】因为，故当时，， 而当，，结合各选项中的图象可得C是正确的， 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般通过函数的奇偶性、单调性和函数值的符号等来判断，本题属于基础题. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用两角差的余弦公式处理条件，结合两角差的正弦公式，可得，再利用二倍角公式可得，再结合诱导公式，可求. 【详解】由， 所以， 所以. 故选：B 5. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设公差为，由可得且， 解得. 故选：D 6. 设函数，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断其奇偶性，由导数确定单调性，然后由奇偶性、单调性解不等式． 【详解】设，则， 故是奇函数． 又，(等号成立的条件是)， 所以是R上的增函数，则， 而， 因此有，从而，解得， 故选：A. 7. 已知关于不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，得或，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系即可求得参数的取值范围. 【详解】解：由，可得或， 由，即，得，， 当，即时，不等式的解为， 此时不等式组的解集为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 当，即时，不等式的解为， 又因为不等式组仅有一个整数解， 则，解得； 综上所述，的取值范围为. 故选：B. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数单调增区间为 C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 D. 函数在上有2个零点，则实数t的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可. 【详解】， 由图可知，，可得，， ，，故正确； ， 解得， 所以函数在单调递增，故正确； 函数的图象向左平移个单位长度得， ，故错误； ，， 当时，，此时有两个零点， 即，可得，故正确 故选：. 9. 六方氮化硼（h-BN）材料具有高导热性和优良的电绝缘性，适用于新能源电池等高功率电子领域，其单层晶体结构由正六边形紧密排列而成，如图1所示.取相邻的三个边长为1的正六边形ABCDEF，正六边形BJIHGC，正六边形CGKLMD，记，，分别为这三个正六边形的中心，如图2所示.给出下列四个结论： ①若N为线段KL的中点，则； ②向量在向量上的投影向量为； ③设P为图2中三个正六边形边上的任意一点，则的最大值为； ④若，且，则的取值范围为． 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，给出所要点的坐标，利用平面向量的坐标表示依次求解选项即可． 【详解】建立直角坐标系，如图所示: 对于①，则， 若N为线段KL的中点，则， 得， 则，故①正确； 对于②，， 得 则， 得向量在向量上的投影向量：， 故②错误； 对于③，设P为图2中三个正六边形边上的任意一点为， 而， 则 ， 因为，所以， 则， 求的最大值，即为求的最大值有关， 由题中的图2知，当点在处，都使最大， 不妨取，则， 则的最大值为：，故③错误； 对于④，， 则， 得， 由，得， 得， 得，等号成立时，， 则，得，故④正确． 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，共30分） 10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 【答案】 【解析】 【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数，进而即得. 【详解】因为， 所以， 则， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 11. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据只有第5项的二项式系数最大，可得，写出展开式的通项公式，令，求得k值，代入即可求出答案. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式共有9项，即， 所以展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：7 12. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合全概率公式和对立事件的概率公式计算即得. 【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为. 故答案为： 13. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若.则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 14. 在中，，若为其外心，满足，且，则的最大值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据数量积的定义结合正弦定理化简向量等式，可得，结合基本不等式求最大值. 【详解】如图： 若为的外心，则， 设点为线段的中点，设点为线段的中点， 则， 因为， ， 所以可化为： ， 所以， 由正弦定理可得，故 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为1. 故答案为：1 15. 已知函数有三个不同的零点，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得关于的方程有三个不同的根，且，令，进一步转化为，由韦达定理得，最后利用韦达定理即可求解. 【详解】由题意有：， 又，令， 所以关于的方程有三个不同的根，且， 令，所以，令得， 由， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，当时，， 令，则， 所以，必有两根，，不妨设， 若，则，故，此时，矛盾， 若，则，矛盾， 所以， 由韦达定理有：， 所以有一根，有两个根，且， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共75分） 16. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间及对称轴方程； （2）若为锐角且，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，令，解出得的增区间，令，解出得的对称轴方程； （2）由得，进而得，最后利用两角差的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有：， 令，解得， 所以的单调递增区间为， 令，解得， 所以的对称轴方程为：； 【小问2详解】 由有，解得， 又，所以， 所以， 所以 . 17. 在中，内角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）若. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用正弦定理求得，根据同角三角函数的基本关系式以及三角恒等变换的知识求得. 【小问1详解】 由及余弦定理得： ， 整理得，即， ∵，∴. 【小问2详解】 ①∵，及，， ∴，解得. ②∵，∴是锐角，且， ∴. ∴， ， ∴ . 18. 如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，根据三角形中位线可证明，进而通过线面平行的判定定理证明问题； （2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量夹角公式求得答案. 【小问1详解】 设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 在中，，分别为，的中点，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面； 【小问2详解】 因为垂直于梯形所在平面，，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，所以，． 设平面PBC的法向量为，则， 令，则. 因为垂直于梯形所在的平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 所以. 19. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，化简得到，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据等比数列的求和公式和常数列的求和公式，求得，根据，即可求解. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线斜率； （2）讨论函数的极值； （3）若存在，且当时，，当时，求证：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解； (2)利用导数判断函数的单调性，结合极值定义即可求解； (3) 令，利用导数分析函数单调性，继而可得，当时，在上单调递增，不符合题意，则，由，可得，由，可得，变形得，所以即证，即证，设，只需证，令，利用导数求出最值即可证明. 小问1详解】 当时， ， 所以， 所以， 所以曲线在处的切线斜率为. 【小问2详解】 ， 所以， 当时，， ， 所以，所以在上单调递增，无极值； 当时， 令，解得， 当时， ， 当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在处取得极小值为，无极大值， 综上： 当时， 无极值， 当时，有极小值为，无极大值. 【小问3详解】 证明：令，所以， 因为，， 所以，为增函数， 当时， ，即成立， 当时， 在上单调递增， 当，在上单调递增， 所以不可能存在，满足时，， 所以， 设，， 所以， 所以， 因为，即， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 要证：，即证，即证， 设，只需证， 即证，令， ， 所以在上单调递增， 所以，所以成立， 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $