精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

福鼎四中2025-2026学年第一学期高二月考数学试题 考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数列一个通项公式为（ ） A. B. C D. 2. 从2，3，4，5，6，7，9，11，12这9个数中任意选取1个，则这个数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，则数列的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 4. 甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 6. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 7. 已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（ ） A. 35 B. 33 C. 16 D. 29 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ） A B. C. D. 10. 某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互对立 C. C与D相互对立 D. B与D相互独立 11. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 对任意，都有 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在一个不透明纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ______个. 13. 已知是等比数列，，且，则等于______. 14. 已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________． 四、解答题 15. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n． （1）求数列 {an}的通项公式an； （2）求Sn的最小值及对应的n值． 16. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 17. 已知数列中，首项，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式以及前项和 18. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题概率． 19. 已知等比数列前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2025-2026学年第一学期高二月考数学试题 考试时间：120分钟 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】排除法，代入求值即可判断. 【详解】对于A：时，，舍去； 对于B：时，，舍去； 对于D：时，，舍去； 经检验数列的一个通项公式为， 故选：C. 2. 从2，3，4，5，6，7，9，11，12这9个数中任意选取1个，则这个数是质数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】这9个数中2，3，5，7，11是质数， 故由古典概型的概率公式得所求概率为. 故选：C 3. 已知等差数列中，，则数列的公差为（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列性质求解可得. 【详解】等差数列中，因为， 所以，解得. 故选：B 4. 甲乙两人独立破译密码，甲能破译出密码的概率为，乙能破译出密码的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得. 【详解】设事件表示“密码被成功破译”，则事件表示“密码没有被成功破译”， 由题意可知，， 所以． 故选：D． 5. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，无解，所以， 所以， 两式相除得， 则， 所以. 故选：B 6. 已知甲袋中有标号分别为1，2，3，4的四个小球，乙袋中有标号分别为2，3，4，5的四个小球，这些球除标号外完全相同，第一次从甲袋中取出一个小球，第二次从乙袋中取出一个小球，事件表示“第一次取出的小球标号为3”，事件表示“第二次取出的小球标号为偶数”，事件表示“两次取出的小球标号之和为7”，事件表示“两次取出的小球标号之和为偶数”，则（ ） A. 与相互独立 B. 与是互斥事件 C. 与是对立事件 D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件及相互独立事件的定义判断即可. 【详解】由题意可得基本事件总数为， 设， ， ， ， 由题意可得与可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； 易知与不同时发生，即与为互斥事件， 但不是对立事件，比如当发生时与均不发生，故C错误. 又， 则，， 从而与不相互独立，与相互独立，故A错误，D正确. 故选：D 7. 已知为等比数列，若，且与的等差中项为，则（ ） A. 35 B. 33 C. 16 D. 29 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合题意和等比数列的性质可知，可得出，再根据等差中项的定义，可求出，进而可求出，最后由，即可求出的结果. 【详解】解：设等比数列的公比为， 由等比数列的性质，知，所以， 由与的等差中项为，知，所以， 所以，则 故选：C. 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得当时，，相减可求当时，的表达式，再求，再求数列的前项和，结合关系恒成立求的范围，由此可得结论. 【详解】因为， 所以当时，， 所以， 所以， 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，，时，也适合， 由恒成立，可得， 所以的最小值为， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如果数列为递增数列，则的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据作差法即可判断BCD，举反例即可判断A. 【详解】对于A，当，故不是递增数列，故A不符合， 对于B，，故是递增数列，故B符合， 对于C,，故为递增数列，,C符合， 对于D,，故为递增数列，D符合, 故选：BCD 10. 某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球.事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于6”，事件“取出的小球编号大于6”，则下列结论正确的是（ ） A. A与B互斥 B. A与B相互对立 C. C与D相互对立 D. B与D相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别求出样本空间和事件、、、，再利用互斥事件、对立事件及相互独立事件定义逐一判断. 【详解】抽奖者从中任取一个球的样本空间为， 事件，事件，事件，事件， 且，则与互斥，且与互为对立事件，AB正确； 且真包含于，事件C与D不相互对立，C错误； ，，事件B与D相互独立，D正确. 故选：ABD 11. 设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 对任意，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意首先得，，，结合等差数列求和公式即可判断AB，进一步可判断D，结合等差数列求和公式以及定义可判断C. 【详解】由题意等差数列的前n项和为，且，， 所以，，， ，故A错B对； 由题意（分别为首项公差），所以， 所以数列是分别以为首项公差的等差数列，故C正确； 因为，，，所以，所以对任意，都有，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在一个不透明的纸盒中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 ______个. 【答案】16 【解析】 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有16个. 故答案为：16 13. 已知是等比数列，，且，则等于______. 【答案】6 【解析】 【分析】 根据等比数列通项公式的性质，化简等式即可得解. 【详解】是等比数列，所以， 所以 ， 所以， 而，所以， 故答案为：6. 【点睛】本题考查了等比数列通项公式性质的简单应用，属于基础题. 14. 已知等差数列和的前项和分别为与，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】 设，，分别求出，然后做商即可. 【详解】解：由， 设，， 则， ， . 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的前项和的应用，注意等差数列的前项和为关于的二次函数， 四、解答题 15. 已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝n2－30n． （1）求数列 {an}的通项公式an； （2）求Sn的最小值及对应的n值． 【答案】（1）an＝2n－31；（2）当n＝15时，Sn最小，且最小值为S15＝－225 ． 【解析】 【分析】（1）利用即可求出通项公式； （2）利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）， ∴当n＝1时，． 当时，． ∵n＝1也适合， ． （2）， ∴当n＝15时，Sn最小，且最小值为． 16. 为了激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以“筑梦奥运，一起向未来”为主题的体育实践活动，参加活动的学生需要从3个趣味项目（跳绳、踢毽子、篮球投篮）和2个弹跳项目（跳高、跳远）中随机抽取2个项目进行比赛. （1）求抽取的2个项目都是趣味项目的概率； （2）若从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个，求这2个项目包括跳绳但不包括跳高的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用列举法写出样本空间，结合古典概型的计算公式对（1）（2）进行求解即可. 【小问1详解】 设3个趣味项目分别为（跳绳），（踢毽子），（篮球投篮），2个弹跳项目分别为（跳高），（跳远）. 从5个项目中随机抽取2个，其样本空间，共10个样本点， 设事件为“抽取到的这2个项目都是趣味项目”， 则，共3个样本点， 故所求概率为. 【小问2详解】 从趣味项目和弹跳项目中各抽取1个， 其样本空间，共6个样本点， 其中，抽取到的这2个项目包括（跳绳）但不包括（跳高）的基本事件为，共1个样本点， 故所求概率为. 17. 已知数列中，首项，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式以及前项和 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由变形为，利用等比数列的定义即可证出； （2）由数列的通项公式 ，利用分组求和法及等比数列与等差数列的前和公式即可得出. 【小问1详解】 ，而，所以， 是以6为首项，以2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知：，，． 18. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为． （1）求和的值； （2）试求两人共答对3道题的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3道题，只可能为甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题，列式解得即可. 【小问1详解】 由题意可得 即解得或 由于，所以． 【小问2详解】 设甲同学答对了道题乙同学答对了道题． 由题意得，，． 设甲、乙二人共答对3道题，则． 由于和相互独立，与互斥， 所以 所以甲、乙两人共答对3道题的概率为. 19. 已知等比数列前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）求数列前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可得，求得数列的公比，再代入通项公式，即可得答案； （2）利用错位相减法求和，即可得答案； 【详解】（1）因为① 所以，②…·， ①－②得，即， 则为等比数列，且公比， 因为，所以. （2）由（1）可得，，③ ，④ ③－④得， 故. 【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求和，考查运算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $