精品解析：江西省鹰潭市余江区第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

余江一中2025级高一第一次月考试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行求解即可. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“，”的否定为，． 故选：B. 2. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、空集的特征进行判断即可. 【详解】对于①，表示实数集，是实数，所以，故①正确； 对于②，表示自然数集，，故②错误； 对于③，表示有理数集，是无理数，所以，故③错误； 对于④，表示自然数集，，故④错误； 对于⑤，空集是任何集合的子集，所以正确，故⑤正确. 综上，①⑤正确，②③④错误，所以正确的个数为2. 故选：B 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据得或，故“”是“”的充分不必要条件. 【详解】由得或， 故“”是“”的充分不必要条件 故选：A 4. 若全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 5. 已知为全体实数集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出集合，然后利用集合间的交运算和补运算即可求解. 【详解】因为，当且仅当时，不等式取等号， 所以， 因为， 所以或， 故. 故选：C. 6. 已知，，，则P的真子集个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的值域化简集合B的表示，再根据集合交集的定义求出集合P，最后求出P的真子集个数即可. 【详解】因为，所以，因此P的真子集个数为： . 故选：B 【点睛】本题考查了求函数的值域，考查了集合交集的定义，考查了集合真子集个数问题，考查了数学运算能力. 7. 已知，则取最大值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 8. 已知正实数、、满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接由作差法结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，，故C正确； 对于D，因为，所以，即，故D错误. 故选：AC. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 已知全集，，则 B. 若不等式的解集是或，则的值分别是 C. 不等式恒成立的条件是 D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】由不等式和补集的运算可得A正确；由一元二次不等式的解可得B正确；利用二次函数的性质，令判别式小于零可得C正确；举反例令可得D错误. 【详解】对于A：已知全集，或， 则，故A正确； 对于B：由已知得，， ，，故B正确； 对于C：不等式恒成立，则，解得，故C正确； 对于D：若不等式对一切恒成立 当时，不等式即为恒成立，故满足，故D错误； 故选：ABC 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. b的取值范围是 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据题意可得，，运算求解即可；对于BCD：根据题意结合基本不等式分析判断，注意等号成立的条件. 【详解】对于选项A：因为正数a，b满足， 则，，解得，，故A正确， 对于选项B：因为， 整理可得，解得，或（舍去）， 当且仅当时，等号成立， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 所以2不是的最小值，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题： 12. 设是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 13. 若关于x的不等式的解集是，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由不等式的解集知方程的两个根，根据韦达定理求得的值，再解不等式即可求得解集. 【详解】∵不等式的解集是， ∴方程的两个根为 则. 由得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解一元二次不等式即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，解得或， 所以的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知命题. （1）若命题p为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据一次函数的性质求出的最小值，即可得解； （2）求出命题q为真命题时参数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 命题为真命题，即， 因为在上单调递增，所以当时取得最小值， 所以，即m的取值范围. 【小问2详解】 若命题为真命题，则， 解得或， 若命题p为假命题，则， 因为命题p为假命题且命题q为真命题，所以， 即m的取值范围为. 16. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为. （1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 【答案】（1）， （2）当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 【解析】 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值. 【小问1详解】 单个矩形栏目的长度为， ， 【小问2详解】 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为. 17. 已知集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【小问1详解】 由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 18. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. 【小问2详解】 由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 19. 已知满足. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. 【小问2详解】 由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余江一中2025级高一第一次月考试卷 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 若全集，集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 5. 已知为全体实数集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则P的真子集个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 8 D. 7 7. 已知，则取最大值时的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知正实数、、满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 已知全集，，则 B. 若不等式的解集是或，则的值分别是 C. 不等式恒成立的条件是 D. 若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. b的取值范围是 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值 三、填空题： 12. 设是实数，集合，若，则__________. 13. 若关于x的不等式的解集是，则的解集为__________. 14. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是 _____． 四、解答题 15. 已知命题. （1）若命题p为真命题，求m的取值范围； （2）若命题p为假命题和命题q为真命题.求m的取值范围. 16. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为. （1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值. 17. 已知集合，，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 18. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 19. 已知满足. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $