精品解析：福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

三明一中2025-2026学年上学期10月月考高二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 若，，则（ ） A. 22 B. C. D. 15 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若向量，，共面，则实数值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线：与：平行，则m的值是（ ） A B. 2或 C. 6 D. 或6 6. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，．若直线与线段无公共点，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为2的直线方程为 C. 直线的斜率为0 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 10. 已知直线过点且交圆于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 若的方程是，则圆上有3个点到直线的距离为2 D. 圆在两点处切线的交点轨迹方程为 11. 如图，在棱长为6的正方体中，M是棱的中点，点P是线段上的动点，点Q在正方形内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（ ） A. 若存在点Q，使得 B. 存在点P，使得 C. 面积的最小值是 D. 若，则三棱锥体积的最大值是 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 13. 已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为______. 14. 若实数、满足，则的取值范围是______. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）求BC边上的中线AD的所在直线方程； （2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，M为的中点，N为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知圆. （1）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （2）若点为轴上一点，过点作圆切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 19. 已知圆和定点，动点､在圆上. （1）过点作圆的切线，求切线方程； （2）若满足，设直线与直线相交于点. ①求证：直线过定点； ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明一中2025-2026学年上学期10月月考高二 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小. 【详解】因为直线方程为，所以斜率， 设倾斜角为，所以，所以， 故选：C. 2. 若，，则（ ） A. 22 B. C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的坐标运算公式，以及数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，，可得，且， 则. 故选：C. 3. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化方程为，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由直线，可得， 则直线和的距离为. 故选：B. 4. 已知，，，若向量，，共面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，得到存在实数使得，结合题意，列出方程组，即可求解. 详解】由向量，，， 因为向量，，共面，则存在实数使得， 即， 所以，解得. 故选：A. 5. 已知直线：与：平行，则m的值是（ ） A B. 2或 C. 6 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解. 【详解】由直线，得,解得或， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：与直线：平行， 所以m的值是或6. 故选：D 6. 在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到，，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解. 【详解】如图所示，在正三棱锥中，， 可得， 因为点分别是棱的中点， 可得，， 所以 ． 故选：D． 7. 已知点，．若直线与线段无公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段无公共点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 如图所示， 由图象可知，， 即时，直线与线段无公共点， 所以实数的取值范围为， 故选：A. 8. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把问题转化为点到直线的距离求解. 【详解】设，. 因为，，所以. 又，即. 所以为等边三角形.如图： 取中点为，则，点在以为圆心，为半径的圆上. 分别过做直线的垂线，垂足分别为. 则. 又， 所以， 即. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B. 经过点且斜率为2的直线方程为 C. 直线的斜率为0 D. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断AC，利用点斜式直线方程求解判断B，求出直线与坐标轴的交点坐标，进而计算三角形面积求解判断D. 【详解】对于A，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B，过点且斜率为2的直线的方程为，即，故B正确； 对于C，直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，对于直线，令，则，令，则， 所以直线在轴上的截距为2，在轴上的截距为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D正确. 故选：AC. 10. 已知直线过点且交圆于两点，则下列结论正确的是（ ） A. 若圆关于直线对称，则 B. 的最小值为 C. 若的方程是，则圆上有3个点到直线的距离为2 D. 圆在两点处的切线的交点轨迹方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过圆心，求得，可判定A正确；由圆的性质得，当垂直于时，求得，可判定B正确；求得圆心到直线的距离为，结合，可判定C错误；设，结合和，联立方程组，求得，结合在圆上，得到，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 对于A，若圆关于直线对称，则直线过圆心，此时，所以A正确； 对于B，由点满足，可得点在圆内， 由圆的性质得，当垂直于时，此时最短，且， 所以，所以B正确； 对于C，若直线的方程是，则圆心到直线的距离为， 因为，所以圆上有个点到直线的距离为，所以C错误； 对于D，设，可得， 所以，可得， 由，可得， 可得， 联立方程组，两式相减得到， 因为在圆上，满足，即， 所以，即成立，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为6的正方体中，M是棱的中点，点P是线段上的动点，点Q在正方形内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（ ） A. 若存在点Q，使得 B. 存在点P，使得 C. 面积的最小值是 D. 若，则三棱锥体积的最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用线面垂直推理判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断BC；求出点的轨迹求解判断D. 【详解】对于A，假定存在点，使得，连接，由平面，平面， 得，而平面， 于是平面，又平面，因此， 而点在正方形内（含边界）运动，显然不存在这样的点，故A错误； 对于BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 令，则， ，假定存在点，使得， 则，整理得，而， 解得，因此存在点，使得，故B正确； 显然点在直线上的投影为点， 则点到直线的距离， 当且仅当时取等号，因此面积的最小值是，故C错误； 在中，，则，即， 在平面内以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图， 有，于是，整理得， 因此以点为圆心，4为半径的圆在正方形及内部的圆弧即为点的轨迹， 当点为线段与圆的交点时，点到底面的距离最大，最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，故D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线过定点的求法可求得点坐标，根据关于对称的两条直线平行，且到点距离相等可构造方程求得结果. 【详解】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 13. 已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，分和直线过线段的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为点和点到直线的距离相等，且过点， 当直线时，可得， 可得直线的方程为，即； 当直线过线段的中点，由，即， 则，所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 14. 若实数、满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】令，此时，， 且题设等式化为. 于是，满足方程. 如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、为半径的圆在的部分，即点与弧并集. 故. 从而，. 15. 已知空间中三点，设 （1）已知，求的值； （2）若，且，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又，所以，得到. 【小问2详解】 因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）求BC边上的中线AD的所在直线方程； （2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求BC边的中点D的坐标，再得AD的斜率即可求解； （2）先求△ABC的外接圆O，再求圆心到直线.直线l的距离，再由勾股定理可求解. 【小问1详解】 ∵， ∴BC边的中点D的坐标为， ∴中线AD的斜率为， ∴中线AD的直线方程为：，即 【小问2详解】 设△ABC的外接圆O的方程为， ∵A、B、C三点在圆上， ∴ 解得： ∴外接圆O的方程为，即， 其中圆心O，半径, 又圆心O到直线l的距离为, ∴被截得的弦长的一半为, ∴被截得的弦长为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，M为的中点，N为的中点，解答以下问题： （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面的距离； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，结合，即可证得直线平面； （2）由（1）知：平面，得到直线与平面的距离即为点N到平面的距离，结合向量的距离公式，即可求解； （3）设直线与平面所成角为，利用向量的夹角公式，求得的值，进而得到直线与平面所成角的余弦值. 小问1详解】 证明：如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立坐标系， 则，，，，，，， 可得，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 因为，且平面，所以直线平面. 【小问2详解】 解：由（1）知：平面，且平面的法向量为， 所以直线与平面的距离即为点N到平面的距离， 设点到平面的距离为， 又由，可得， 所以直线与平面的距离为. 【小问3详解】 解：设直线与平面所成角为，且， 因为，则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 18. 已知圆. （1）若直线与圆相交，求实数的取值范围； （2）若点为轴上一点，过点作圆的切线，切点分别为和. ①求四边形面积的最小值； ②当点横坐标为4时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用距离公式即可得到答案. （2）①利用面积公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案. 【小问1详解】 命题等价于到直线的距离小于， 即，解得的取值范围是. 【小问2详解】 ①易知， 所以， 等号对成立，故最小值是； ②因为，所以四点共圆，圆心为的中点， 因为，所以圆的半径为， 方程为，即， 直线为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线的方程为. 19. 已知圆和定点，动点､在圆上. （1）过点作圆的切线，求切线方程； （2）若满足，设直线与直线相交于点. ①求证：直线过定点； ②求证：. 【答案】（1）或， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解， （2）设直线方程，与圆方程联立后由韦达定理化简后证明， 以得直线方程与坐标，再由斜率公式计算后化简证明 【小问1详解】 当直线斜率不存在时，与相离， 当直线斜率存在时，设切线方程为即， ，解得或， 切线方程为或， 【小问2详解】 若直线斜率不存在，由对称性得， 令，由解得，则， 直线方程为， 若直线斜率存在，设方程为， 联立直线与圆方程得， 时得， 而， 化简得，当时，直线过，不合题意， 故，直线过，而直线也过， 综上，直线过定点； ，，故直线方程为， 得，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $