精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

雅礼中学2025年下学期第一次质量检测试卷 高一数学 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， 8. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知函数关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 的值域为 C. 若，则x的值是 D. 的解集为 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则实数的值为___________． 13. 设，则________． 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合．则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，. （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设命题p：实数满足，命题q：实数满足. （1）若，且命题p和q都是真命题，求实数x的取值范围； （2）若命题p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求的值； （2）若不等式的解集为，求的取值范围； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围： 19. 已知函数． （1）若，求当时的值域； （2）若，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2025年下学期第一次质量检测试卷 高一数学 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】由集合，得，而， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题否定规则直接写出即可. 【详解】由存在量词命题的否定为全称量词命题得， 命题“，”的否定为：，． 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式性质进行分析求解. 【详解】由题干可知，对于选项A，两边同时乘，当时，所以.选项A错误. 由题干可知，对于选项B，两边同时乘，当时，所以.选项B错误. 由题干，选项C，两边同时乘，则可知成立，选项C正确. 由题干可知，当，，，则，选项D错误. 故选：C. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，得，所以，解得，或，所以函数的定义域为． 故选：C． 5. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 6. 已知，则函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据换元法，求函数解析式即可. 【详解】令，则，且，代入原式得， 所以函数解析式为． 故选：C. 7. 已知，且，若有解，则实数的取值范围时（ ） A. ，， B. ，， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由已知先利用基本不等式求出的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求． 【详解】因为、，且， ， 当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值9， 若有解，则，解得或， 即实数的取值范围为，，． 故选：． 8. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对k分三种情况讨论，逐个分析求出对应x满足的范围，再结合整数解的集合为确定k的范围． 【详解】由，可得或，由，可得， ①若，即时，则由（*），可得，此时原不等式的解集为，显然不符合题意； ②若时，则由（*），x无解，显然不符合题意； ③若时，则由（*），可得，此时要使不等式组的整数解的集合为，须使，即， 综上可得，实数的取值范围． 故选：B． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知函数关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为R B. 的值域为 C. 若，则x的值是 D. 的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出分段函数的定义域可判断A；求出分段函数的值域可判断B；分、两种情况令求出可判断C；分、两种情况解不等式可判断D. 【详解】函数的定义域是，故A错误； 当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确； 当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确； 当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误． 故选：BC． 10. 已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项求解判断. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为或， 得是方程的根，且，则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式，化为，解得，B错误； 对于C，不等式，化为，即，解得或，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 11. 已知a，b为正实数，且，则（ ） A. ab的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即，故的最大值为8，A正确； 由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； ， 当且仅当，即时取等号，C正确； ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，D错误． 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则实数的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性来确定参数的取值即可. 【详解】因为， 则当时，那么，不符合集合元素的互异性，不满足题意， 当时，，集合为满足题意， 所以实数的值为4 故答案为：4 13. 设，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，先求出 ，再计算 . 【详解】 ，又 ； 故答案为：9. 14. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合．则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出的可能取值，然后对进行分类讨论来求出，进而即可求出． 【详解】由，则， 若， 则或， 当时，，满足； 当时，由有两个不同的解或， 又对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足； 当时，， 此时，满足； 当，即时，无解，不符合题意； 当，即或时，的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足； 当时，，满足， 当时，，不符合题意． 综上，，所以． 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，. （1）若，求及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将代入计算，结合集合的运算，即可得到结果； （2）根据题意，分与讨论，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，且， 则， 又或，则或. 【小问2详解】 当时，则，解得， 此时满足； 当时，则，即， 由可得或， 解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 16. 设命题p：实数满足，命题q：实数满足. （1）若，且命题p和q都是真命题，求实数x的取值范围； （2）若命题p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别解出命题p和q对应的集合，再求交集即可； （2）分别解出命题p和q对应的集合，由必要不充分条件得到两个集合间的包含关系，列出不等式求得实数a的取值范围. 【小问1详解】 当时，解得，即命题p：， 解得，即命题q：， 当命题p和q都是真命题时，， ∴ 【小问2详解】 由（1）知：命题q：， 解得，即命题p：， 由题意可知，即，∴ ∴ 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一万台需另投入80万元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式：（利润=销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润． 【答案】（1）；（2）当年产量为29万台时，该公司获得的年利润最大为1360万元. 【解析】 【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式； （2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论． 【详解】（1）因为， 所以； （2）时，， 时，， 时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，， 综上，（万台）时，年利润最大，最大利润为1360万元． 18. 已知函数． （1）若的解集为，求的值； （2）若不等式的解集为，求的取值范围； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围： 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据三个二次的关系直接可得； （2）转化为一元二次不等式在实数集上的恒成立问题，再分类讨论可得； （3）转化为函数在闭区间上的最值问题，用基本不等式可得. 【小问1详解】 因为的解集为，所以的解集为， 所以方程的两个根为和，由韦达定理， 所以，解得. 故. 【小问2详解】 不等式，即的解集为， 当时，，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，的取值范围为 【小问3详解】 不等式对一切恒成立， 即对一切恒成立，因为， 则不等式等价于对一切恒成立，由，且， 而， 当且仅当，即时等号成立，所以， 所以，即的取值范围是． 19. 已知函数． （1）若，求当时的值域； （2）若，求不等式的解集； （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质求值域； （2）分和讨论求解，再在的情况下，讨论根的大小求解即可； （3）设，利用基本不等式求出的范围，由有四个不等实根转化为有两个不等正根，利用判别式、对称轴和韦达定理得到的范围. 【小问1详解】 ，又， ，对称轴，开口向上， ，在处，取最小值且最小值为， 又，， ，即的值域为. 【小问2详解】 ，又， ，， 当时，不等式化为，解得，不等式解集为； 当时，方程的根为或， 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. 【小问3详解】 时，令，当且仅当，即时，等号成立. 则存在有四个不等实根，即有四个不等实根， 即有两个不等正根，则，， ， ，，， ，， 存在，使得， 成立， ，， 或， ，， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $