精品解析：福建省龙岩市二中东山校区2025-2026学年上学期九年级数学月考试题

龙岩二中东山校区2025－2026学年第一学期 第一次限时训练 九年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5，3 B. 5，2，3 C. ，2， D. 2，， 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 7. 若是一元二次方程的两个根，则（ ） A. 4 B. C. 7 D. 8. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ). A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y2< y1 D. y2< y3< y1 二、填空题（本大题有6题，共24分．） 11. 二次函数开口方向是______． 12. 抛物线与轴交点坐标是_______． 13. 若关于的方程是一元二次方程，______． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是__________． 15. 二次函数在3≤≤5范围内的最小值为________． 16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____． 三、解答题（本大题有9题，共86分．） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. （）根据图像回答：开口方向__________；对称轴为__________；顶点坐标为__________； （）根据图像回答：当取值范围为________________时，该函数值小于． 19. 已知二次函数（为常数）的图象经过点和． （1）求二次函数表达式． （2）求抛物线的顶点坐标． 20. 某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度为10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为. （1）当矩形动物场面积为时，求边的长； （2）能否围成面积为矩形动物场？说明理由． 21. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，当时，求的值． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 23. 如图，在中，，，，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，如果分别从同时出发，设的面积为，出发时间为． （1）写出和的函数关系式： （2）当为何值时，面积为？ 24. 已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数经过点，求的值； （2）将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线，若新抛物线与轴的两个交点的距离为，求的值． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩二中东山校区2025－2026学年第一学期 第一次限时训练 九年级数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题10小题，每小题4分，满分40分．） 1. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5，3 B. 5，2，3 C. ，2， D. 2，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一个未知数且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一元一次方程，该选项不合题意； 、是代数式，不是方程，该选项不合题意； 、是一元二次方程，该选项符合题意； 、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意； 故选：． 3. 将抛物线向下平移个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． 根据上加下减的规律即可得解． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位，所得新抛物线的表达式是． 故选：． 4. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方． 5. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是，对称轴是直线． 根据二次函数的顶点坐标是作答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：C． 6. 一元二次方程 的根的情况是（  ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程无实数根，熟练掌握此知识点是解决问题的关键． 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出一元二次方程的判别式，确定有两个相等的实数根即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：B． 7. 若是一元二次方程的两个根，则（ ） A. 4 B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系求出，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C． 8. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一个月的进馆人次及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得： 故选：B． 9. 在同一平面直角坐标系内，函数和的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象判断．熟练掌握二次函数和一次函数的性质，是解题的关键．根据，直线与轴交于负半轴，根据时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下，进行判断即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴直线与轴交于负半轴； 当时，直线随x的增大而增大，抛物线开口向上，当时，直线随x的增大而减小，抛物线开口向下， ∴只有B选项符合题意， 故选：B． 10. 若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(, y2)、E(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ). A. y1< y2< y3 B. y1 < y3< y2 C. y3< y2< y1 D. y2< y3< y1 【答案】D 【解析】 【分析】由点A（m，n）、C（3−m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y2< y3< y1； 【详解】解答：解：∵经过A（m，n）、C（3−m，n）， ∴二次函数的对称轴x＝， ∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近， ∵|a|＞0， ∴y2< y3< y1； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键． 二、填空题（本大题有6题，共24分．） 11. 二次函数开口方向是______． 【答案】向下 【解析】 【分析】利用的符号可得答案． 【详解】解：， ， 图象的开口方向向下， 故答案为：向下． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，准确理解图象与系数的对应关系是解决问题的关键． 12. 抛物线与轴交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标问题，熟练掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．令，求得y的值，即可得到答案． 【详解】解：令，则, ∴抛物线与轴交点坐标是． 故答案为：． 13. 若关于的方程是一元二次方程，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数并且未知数的最高次数是的整式方程是一元二次方程，据此解答即可求解，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义结合根的判别式计算得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣＝0有实数根， ∴ b2﹣4ac＝1﹣4k×（﹣）＝1+9k≥0，且k≠0， 解得： 且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的定义及根的判别式求系数，正确理解一元二次方程根的三种情况是解题的关键，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 15. 二次函数在3≤≤5范围内的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中的函数解析式，可以得到该函数在的取值范围内，取得的最小值，从而可以解答本题． 【详解】， 可见该二次函数图象的对称轴是，，开口向上，且在范围内随的增大而增大， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 16. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．其中正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【详解】①由图象可知：a<0，c>0， ∴b>0， ∴abc<0，故此选项正确； ②当x=−1时，y=a−b+c<0，故a−b+c>0，错误； ③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此选项正确； ④当x=3时函数值小于0,y=9a+3b+c<0,且， 即,代入得，得2c<3b，故此选项正确； ⑤当x=1时，y的值最大.此时，y=a+b+c， 而当x=m时,y=am2+bm+c， 所以a+b+c>am2+bm+c， 故a+b>am2+bm,即a+b>m(am+b)，故此选项错误. 故①③④正确. 故答案为：①③④. 三、解答题（本大题有9题，共86分．） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即，； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，． 18. （）根据图像回答：开口方向__________；对称轴为__________；顶点坐标为__________； （）根据图像回答：当取值范围为________________时，该函数值小于． 【答案】（）向上；直线；；（） 【解析】 【分析】（）根据函数图像解答即可求解； （）根据函数图像解答即可求解； 本题考查了二次函数的图像，二次函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：（）由函数图像可知，抛物线开口向上；对称轴为直线；顶点坐标为， 故答案为：向上；直线；； （）由函数图像可得，当时，函数值小于， 故答案为：． 19. 已知二次函数（为常数）的图象经过点和． （1）求二次函数表达式． （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解析式即可求解； （2）利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：把点和代入得 ， 解得 ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的顶点坐标为． 20. 某农场要建一个矩形动物场，场地的一边靠墙（墙长度为10米），另外三边用木栏围成，木栏总长20米，设动物场边的长为. （1）当矩形动物场面积为时，求边的长； （2）能否围成面积为矩形动物场？说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能围成面积为矩形动物场，理由如下： 根据题意得， 整理，得， ∵， ∴方程没有实数根， ∴不能围成面积为矩形动物场． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据矩形面积公式列出方程是解题关键． （1）根据题意得，解方程，舍去不合题意的方程的解即可求解； （2）根据题意得， 解方程，得到方程没有实数根，即可得到不能围成面积为矩形动物场． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得，， 当米时，（米），符合题意； 当米时，（米）， ∵墙长度为10米， ∴米不符合题意； ∴边的长为6米； 【小问2详解】 略 21. 已知关于x的方程：． （1）求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设，是方程的两个根，当时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）证明即可； （2）当时，方程为，根据根与系数的关系得，，，代入计算即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，方程为， 则，， ， ， ， ． 22. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件，设每件童装降价元． （1）每天可销售______件，每件盈利_______元；（用含的代数式表示） （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． 【答案】（1）， （2）元或元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意找到题目中蕴含的等量关系并列方程求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的数量”、“每件利润实际售价进价”列式即可； （2）根据“总利润每件利润销售数量”，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当每件童装降价元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 解得：，， 答：每件童装降价元或元时，平均每天盈利元． 23. 如图，在中，，，，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，动点从开始沿边向以单位/秒的速度移动，如果分别从同时出发，设的面积为，出发时间为． （1）写出和的函数关系式： （2）当为何值时，面积为？ 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，， 进而得到，再根据三角形的面积公式列出函数关系式，再求出的取值范围即可； （2）把代入（1）中所求函数关系式即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得， ∴当为3时，面积为36． 24. 已知二次函数（为常数）． （1）若二次函数经过点，求的值； （2）将抛物线向下平移个单位得到新的抛物线，若新抛物线与轴的两个交点的距离为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的平移，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入解析式解答即可求解； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，得到平移后的新函数，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与积的式子，再结合与轴的两个交点的距离为列式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点， ∴， 整理得，， 解得； 【小问2详解】 解：∵抛物线向下平移个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为， 当时，， ∴，， ∵新抛物线与轴的两个交点的距离为， ∴， 解得． 25. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）当时，取得最大值，最大值为； （3）存在，点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，平行四边形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由直线：可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，即可求解； （2），即可求解； （3）先求出，设点，则，由题意知：，即，解得（舍去），，，，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵直线：过点， ， 又， 将点、的坐标代入抛物线表达式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图： 设点， 轴，轴， 则，， ∵点在直线上方的抛物线上， ，， ， ∴当时，取得最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵是所求平行四边形的一边， ， 设点，则， 由题意知：，即， 化简得：或， 解得：（舍去），，，， 则符合条件的点有三个： ，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $