小专题十七 一线三等角模型-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

小专题十七 一线三等角模型（答案72 考点达标训练」 1.如图所示，AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点 D.AB=2,DE=4,BD=6.点C为BD上一 点，连接AC,CE.当BC=()时，可使 AC⊥CE. 5.如图所示，四边形ABCD是正方形，AB=6,E 是BC的中点，连接DE,DE的垂直平分线分别 交AB,DE,CD于M,O,N,连接EN,过点E 作EF⊥EN交AB于点F,则AF= A.3 B.2或4 c.s D.2或3 2.如图所示，点A,B,C在同一直线上，∠A= 6.(2024·济南槐荫区质检)在△ABC中，AB= ∠DBE=∠C,则下列结论：①∠D=∠CBE; AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上， ②AABDOACE6,®品C其中正确的 BD ∠EDF=∠B, BC (I)如图①所示，求证：DE·CD=DF·BE 结论的个数是( (2)如图②所示，若D为BC的中点，连接EF, 求证：ED平分∠BEF. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.几何直观(2024·聊城东昌府区模拟)如图所 示，点A(0,3),B(1,0),将线段AB平移得到 线段DC.若∠ABC=90°，BC=2AB,则点C 的坐标为( A.(7,2) B.(7,5) C.(5,6) D.(6,5) 4.推理能力如图所示，将等边△ABC折叠，折痕 为MN,使点A落在BC边上得到点D.若 BD-号5C,则AN- AN 82 优学系赢在中考 素养拓展提升 8.(2023·无锡梁溪区二模)如图所示，以矩形 OABC的顶点O为坐标原点，OA所在直线为 7.探究拓展在矩形ABCD中，C =k,点E是 x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标 AD上一点，M是BC上一点，将四边形 系.已知OA=3,OC=4,将矩形OABC绕点O CDEM沿ME折叠，使点D的对应点F恰好 逆时针方向旋转a(0<a<180)得到矩形 落在AB边上，连接DF. ODEF. (1)【特殊呈现】如图①所示，当k=1时.求证： (1)当点E恰好落在y轴上时，如图所示，求点 EM-DF. E的坐标 (2)【类比探究】如图②所示，当k≠1时，(1)中 (2)当点D恰好落在矩形OABC的对角线上 的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立， 时，求点E的坐标 请给出新的结论并证明（用含k的式子表示）. (3拓展应用]如图③所示，当k=时，沿矩 形ABCD对角线剪开后得到△ABC,点M是 备用图① 备用图② BC上一点，连接AM,过点B作BE⊥AM于 点E,BE的延长线交AC于点F,若△ABC的 周长为24，CF-5求CM的长。 数学·精练册SD 83∴.tan∠EDH=tan∠BEH=√5， √/30 器5，即品 5, .DH= 2 BD-DH+BH65/ 2T2 =3√6； .⊙0的直径为3√6. 小专题十七 一线三等角模型 1B2.D3A4.号 5.2 6.证明：(1)，在△ABC中，AB=AC, .∠B=∠C :∠B+∠BDE+∠DEB=18O°，∠BDE+∠EDF+∠FDC= 180°，∠EDF=∠B, .∠FDC=∠DEB,.△BDE∽△CFD ÷器器即DE,CD=DF·E (2)由(I)可得△BDED△CFD,:BE_-DE BE DE :D为BC的中点，BD=CD心BDDF .∠B=∠EDF,∴.△BDE∽△DFE,.∠BED=∠DEF, .ED平分∠BEF. 7.解：(1)证明：如图①所示，作CG∥EM,交AD于点G,交DF于 点Q, 点D和点F关于EM对称，∴.EM⊥DF,.CG⊥DF, .∠CQD=90°， ,∴.∠DCG+∠FDC=90° ,k=1,.四边形ABCD是正方形， ∴.∠BAD=∠ADC=90°，AD=CD,AD∥BC .∠ADF十∠FDC=90°，四边形CGEM是平行四边形， ∴·∠ADF=∠DCG,CG=EM, .△DAF≌△CDG(ASA), .'DF=CG,.'.EM=DF DF 1 (2)1)中的结论不成立，EM友，理由如下： 如图②所示，作CGEM,交AD于点G,交DF于点Q, 四边形ABCD是矩形， .CD=AB,AD=BC,∠A=∠ADC=90° 由(1)可知∠ADF=∠DCG,CG=EM, DF AD BC 1 △DAFn△CDG,CG=CD-AB6,即M6. (3)如图③所示，作FQ⊥BC于点Q. 、AB=,可设AB=3k,BC=4,则AC=5, .3k十4k+5k=24,.k=2, .AB=6,BC=8,AC=10, 血c-把-是 BC 4 5cos C- 5 16 ··FQ=cE·sinc=2g×5=5,CQ二CF·cosC=3 464 6456 5-15BQ-BC-CQ-8-15-15 16 iac8aF-器-品-号 15 .BE⊥AM,∴.∠BEM=90°，.∠CBF+∠AMB=90° .'∠ABC=90°，.∠BAM+∠AMB=90°，∴.∠CBF=∠BAM, &tan∠BAM=tan∠CBF=今，BM=AB·tan∠BAM=6X 636 7=7’ CM=BC-BM=8-36-20 77 D MC MC B ② 3 8.解：(1).四边形ABCO是矩形，.OA=BC=3,OC=AB=4, ∠OCB=90°. .·将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α(0<a<180)得到矩 形ODEF, ∴.OF=OC=4,EF=BC=3,∠F=∠OCB=90°， ∴.OE=√OF2+EF2=√42+32=5， .点E的坐标为(0,5). (2)分两种情况：①如图①所示，当点D恰好落在矩形OABC的 对角线AC上时，设DE交OC于点G,连接BO交AC于点H, 连接OE. .四边形OABC是矩形，，∴.AC=OB,AH=OH,∠BCO= ∠BAO=∠COA=90°， .∠OAH=∠AOH,∴.∠ABO=∠ACO ,将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转a(0<a<180)得到矩 形ODEF, .DE=AB=OC,OE=BO,OD=OA,∠ABO=∠DEO, ∠EDO=∠BAO=90°，∠BOA=∠EOD,∴.∠ACO=∠DEO. .OA=OD,HA=HO, ∴.∠BOA=∠DAO,∠DAO=∠ODA, .∠BOA=∠ODA=∠EOD,∴.EO∥AC, ∴.∠CDE=∠OED=∠OCD. ,DE=CO,CD=DC,.△ECD≌△ODC(SAS), ..EC=OD=OA=BC=3,∠CED=∠DOC. :∠CGE=∠DGO,∴.∠ECO=∠ODE=90°， ∴.∠ECO+∠BCO=180°，.点E,C,B三点共线， .EC=BC,OC⊥BC,∴.点B,点E关于OC对称 B(3,4),.点E的坐标为（一3,4）. ② ②如图②所示，当点D恰好落在矩形OABC的对角线BO上 时，过点F作FP⊥x轴于点P,过点E作EQ⊥PF于点Q,连 接OE, 则∠FPO=∠EQF=90° ,将矩形OABC绕点O逆时针方向旋转α(0<a<180)得到矩 形ODEF, ∴.OF=OC=4,EF=BC=OA=3,∠OFE=∠DOF=∠AOC= 90°，∠EOF=∠BOC. .∠COP=90°，.∠FOP=∠BOC=∠EOF ,∠FPO=∠EFO=90°，∴.△FPOn△EFO 器88器即号-解号 3 4 5 .EQFQEF 同理AEQF∽△EFO,EEOF-OF,即2-F9 3 4 5,解得 B0=，0-号， PQ-PF+PQ-.OP-EQ-16 7 55 点E的坐 标为-号器) 综上所述，点E的坐标为(-3，)或(-子，) 小专题十八手拉手模型 1.B2.D3.30 5 4.解：(1)证明：：∠DAB=∠EAC,∴.∠DAB十∠BAE=