第7章 图形的变化 第25讲图形的对称、平移、旋转-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第七章【 图形的变化 第25讲 图形的对称、平移、旋转（答案P69) 考点达标训练 5.(2024·威海中考)将一 1.(2024·辽宁中考)纹样是我国古代艺术中的 张矩形纸片（四边形AB 瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是 CD)按如图所示的方式 中心对称图形的是( 对折，使点C落在AB上 的点C'处，折痕为MN, 点D落在点D'处，C'D交AD于点E.若 BM=3,BC=4,AC'=3,DN= B 6.推理能力》（2024·雅安中 考)如图所示，在△ABC和 包回 △ADE中，AB=AC, ∠BAC=∠DAE=40°，将 0 △ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当 2.(2024·雅安中考)在平面直角坐标系中，将点 AD∥BC时，∠BAE的度数是 P(1,一1)向右平移2个单位长度后，得到的点 7.空间观念(2023·黑龙江中考)如图所示，在平 P,关于x轴的对称点坐标是( 面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐 A.(1,1) B.(3,1) 标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3). C.(3,-1) D.(1,-1) (1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向下平 3.推理能力(2024·天津中 移2个单位长度，得到△A1B1C1,请画 考)如图所示，△ABC中， 出△A1B1C1. ∠B=30°，将△ABC绕点 (2)请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2. C顺时针旋转60°得到 (3)将△A2B2C2绕着原点O逆时针旋转90°， △DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长 得到△A3B3C3,求线段A2C2在旋转过程中 BA交DE于点F,下列结论一定正确的 扫过的面积（结果保留π）. 是() A.∠ACB=∠ACDB.AC∥DE C.AB=EF D.BF⊥CE 4.(2022·台州中考)如图所示，△ABC的边BC 长为4cm.将△ABC平移2cm得到 △A'B'C',且BB'⊥BC,则阴影部分的面积为 cm2. 76 优学案赢在中考 素养拓展提升 60°得到FQ,连接BQ,点R是直线AD上一 8.数学文化(2024·南充中考)如图所示是我国 动点，连接BR,QR.在点P的运动过程中， 汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称 当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿 它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角 直线QR翻折得到△TQR,连接FT.在点R 形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中， FT 的运动过程中，直接写出 p的最大值. AB=l0.下列三个结论：①若tan∠ADF= 子，则EF-2:②若R△ABG的面积是正方形 EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分 ☒ 点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到 备用图 △ADG',则BG'的最大值为55十5.其中正 确的结论是( ) 】 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 9.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中， ∠ABC是锐角，将CD沿直线L翻折至AB所 在直线，对应点分别为C,D',若AC':AB: BC=1:3:7,则cos∠ABC= 10.探究拓展》（2024·重庆中考)在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,过点B作 BD∥AC. (1)如图①所示，若点D在点B的左侧，连接 CD,过点A作AE⊥CD交BC于点E.若点 E是BC的中点，求证：AC=2BD (2)如图②所示，若点D在点B的右侧，连接 AD,点F是AD的中点，连接BF并延长交 AC于点G,连接CF.过点F作FM⊥BG交 AB于点M,CN平分∠ACB交BG于点N, 求证：AM=CN+号6n. (3)若点D在点B的右侧，连接AD,点F是 AD的中点，且AF=AC.点P是直线AC上 一动点，连接FP,将FP绕点F逆时针旋转 数学·精练册SD由图可得S例影=SOABFD一S南形AED一S期形BBG一S△BFG， 在Rt△AHD中，AD=1,∠DAB=60°， DH=AD·sin∠DAB=1X5-3 、2-2 ∴SOA=AB·DH=2X9-E. 由题可知扇形ADE和扇形BGE全等， 60×π×12 ,∴.S形ABD=S期形BGE 360 6 等边三角形BFG的面积 2GF·DH= 24’ :SR形=S2Amn-SAD-Ssm-SA=月-音-君 53V5x 4 43 10.解：(1)ADBE1 (2)证明：过O作OH⊥ B MN于H,连接OD,OE, OF,如图所示. .∠ANM=90°=∠ACB, ∠A=∠A,AM=AB, H ∴.△AMN≌△ABC(AAS), ..AN=AC. .'AD=AF .AN-AD=AC-AF, 即DN=CF, ∠BCA=90°，⊙O是△ABC的内切圆， .∠BCA=∠OEC=∠OFC=90°， .四边形OECF是矩形，∴.CF=OE, ..DN=OE. ,'∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN, ∴.四边形OHND是矩形， ..OH=DN, ∴.OH=OE,即OH是⊙O的半径. .OH⊥MN, ∴.MN是⊙O的切线 第24讲与圆有关的计算 1.C2.C3.B4.D 5.18°6.1087.90 8.解：(1)证明：连接OC,如图所示， ,OA=OB,CA=CB,∴.OC⊥AB 又，OC是⊙O的半径， ∴.直线AB是⊙O的切线 (2)OC⊥AB,.∠OCB=90 .⊙0的半径为4，.OC=4. ,∠B=30°，.∠COD=90°-∠B=60°， OC=tan60°=3，.BC=V30C=45, m-Snca-anc50 360 =8V3-8 ∴阴影部分的面积是83-8π 3 0 9.C10.C 12.解：(1)证明：连接OC,如图所示. CD为⊙O的切线，点C在⊙O上， ∴.∠OCD=90°，.∠DCA+∠OCA=90° ,AB为直径，∴.∠ACB=90°，∴.∠ABC+∠OAC=90°. ,OC=OA,∴.∠OAC=∠OCA,∴.∠ABC=∠DCA. AC=CE,.∠ABC=∠CAE,.∠CAE=∠DCA, ∴CD∥AE. (2)连接OE,BE,如图所示， .EF垂直平分OB,.OE=BE. ,OE=OB,.△OEB为等边三角形 ∴.∠B0E=60°，.∠AOE=180°-60°=120° OA=OE,..∠OAE=∠OEA=30° .*DC∥AE,∴.∠D=∠OAE=30°. .∠OCD=90°，∴.OD=2OC=OA+AD. .OA=OC,..OC=AD=3,..AO=OE=OC=3, 20E33 ·EF= 2 六△OAE的面积=合A0·FE-9 4 ·扇形0AE的面积=120xX3 360 =3π， ∴.阴影部分的面积=扇形OAE的面积一△OAE的面积= 93 3π- 4· 第七章图形的变化 第25讲图形的对称、平移、旋转 1.B2.B3.D4.85. 3 6.30°或150° 7.解：(1)如图所示，△A1B,C1即为所求 (2)如图所示，△A2B2C2即为所求 分 ------1-4=- A (3)由勾股定理得OA2=√22+1=√5，OC2=√32+32= 3√2， “线段A,C在旋转过程中扫过的面积为90πXC32) 360 90πX(W5)213π 360 41 8D9号或号 10.解：(1)证明：.∠ACB=90°，BD∥AC, .∠CBD=180°-∠ACB=90°. AE⊥CD, .∠ACD+∠CAE=90° ,∠ACD+∠BCD=90°， .∠CAE=∠BCD. 又.AC=CB,∠CBD=∠ACE=90°， 69 ∴.△ACE≌△CBD(ASA), .BD=CE. 点E是BC的中点， .BC=2CE=2BD, ∴.AC=2BD (2)证明：如图①所示，过点G作GH⊥AB于点H,连接HF BD∥AC, ∴.∠FBD=∠FGA,∠D=∠FAG :点F是AD的中点， ..AF=DE. ∴.△AGF≌△DBF(AAS), ..AG=BD,BF=GF. .AC=BC,∠ACB=90° ∴.∠CAB=∠ABC=45° GH⊥AH, ∴△AHG是等腰直角三角形， 兰1c-普n AH= ,∠BHG=∠BCG=90°，BF=GF, FH=FC=BF=号BG, ∴.∠FBH=∠FHB,∠FBC=∠FCB, ∴∠GFH=∠FBH+∠FHB=2∠FBH,∠GFC=∠FBC+ ∠FCB=2∠FBC, ∴.∠HFC=∠GFH+∠GFC=2∠FBH+2∠FBC 2∠ABC=90° .FM⊥BG, ∴.∠BFM=90°， ∴.∠HFM=∠CFN 设∠CBG=x,则∠ABG=45°-x,∠CGB=90°-x, ∴.∠HMF=∠BFM+∠FBM=135°-x. CN平分∠ACB, ∠GCN=∠ACB=45, ∴.∠CNF=∠CGN+∠GCN=135°-x, ∴.∠HMF=∠CNF, ∴.△HFM≌△CFN(AAS), ∴.HM=CN, .AM=AH+HM ∴AM-号8D+CN, ① 2 (3)如图②所示，过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H 连接FH, .BD∥AC,∠ACB=90°， .∠BCH=∠CBD=90. ,DH⊥AC, ∴四边形BCHD是矩形， ..BC=DH=AC. 点F是AD的中点，且AF=AC, ..AD=2AF=2DH=2FH=2DF, .△FDH是等边三角形， ∴.∠DFH=∠FDH=60 ∴.∠BDA=∠DAH=30° ∴.∠FHA=∠FAH=30° 由旋转的性质可得FQ=FP,∠PFQ=60°=∠DFH, .∠DFQ=∠HFP, ∴.△DFQ≌△HFP(SAS), .∠FDQ=∠FHP=30°， .点Q在直线DQ上运动， 设直线DQ交FH于K,则DK⊥FH,FK=号FH, ∠FDK=2∠FDH=30°， .∠BDQ=60° 由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值， .∠DBQ=30°. 设AC=DH=6a,则AH=√3DH=65a, ..BD=CH=AH-AC=63a-6a, :.DQ-zBD-3:5a-3a. .BQ=√5DQ=9a-3√5a. 在Rt△DFK中，FK=2FH=2DH=3a, DK=√DF-FKz=3√5a, ..QK=DK-DQ=3a. 在Rt△FQK中，由勾股定理得FQ=√JFK2+QK2=3√2a, ,△DFQ≌△HFP, .PH=DQ=3√5a-3a, ∴.CP=CH-PH=3√3a-3a. ∴.由折叠的性质可得TQ=BQ=9a-3√3a. FT≤FQ+TQ, 品<0+ FT ·当点Q在线段FT上时，CP此时有最大值，最大值 为FQ+TQ CP &E的最大值为F0+TQE32a十9a-33ae CP 3√3a-3a √6+√2+2W3 2 小专题十六借助对称解决线段和差最值问题 1.B2.B3.54.55.(6,0) 6.解：在菱形ABCD中，AC=6,BD=8,∴.AO=CO=3,BO= DO=4, ∴.AB=BC=CD=DA=5. 点P为BD上的一动点，E为OA的中点， 作点E关于BD的对称点E',连接PE',FE',如图①所示， ∴.PE=PE'.在△PFE'中，PF-PE=PF-PE'<FE', 则当点P,F,E三点共线时，PF一PE取最大值，.PF一PE= PF-PE'=FE'. A B 取BC的中点H,连接HO,如图②所示. :BF=3CF,点E是OA的中点，∴点F是HC的中点，点E 是0C的中点，FE=号H0. H0-号BCFE-号H0-号BC- 5 4 7.解：(1)等边三角形 (2)△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形， 理由如下：连接CE,BD,如图所示， .'AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=60°， ∴.把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△ACE, .BD=CE,∠ABD=∠ACE. 由题意可得PM/CE,PM=CE,PN/BD,PN=号BD, .PM=PN,∠BPM=∠BCE,∠CPN=∠CBD, 70