小专题十三 辅助圆模型-（精练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

∴.∠COE=∠OBK, ..OC//BD. 证法二：如图②所示，过点O作OK⊥BD于点K, 则BK=DK, BD=2OE,∴.OE=BK」 a∠c0B-8ws∠0BK-8. OB OC=0B, ∴.cos∠COE=cos∠OBK, .∠COE=∠OBK,.OC∥BD. ① 12.解：(1).CD为直径，∴.∠CAD=90° ∠AFE=∠ADC=60°， ∴.∠ACD=90°-60°=30°，∴.∠ABD=∠ACD=30° (2)证明：①如图所示，延长AB至点M, 四边形ABCD是圆内接四边形， .∠CBM=∠ADC. 又，∠AFE=∠ADC,.∠AFE=∠CBM,∴.EF∥BC ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG,如图所示. .DG//BC,..BD=CG,..BD=CG. ,四边形ACGD是圆内接四边形，.∠GDE=∠ACG .EF∥DG,∴.∠DEF=∠GDE,∴.∠DEF=∠ACG. ,∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,.∠AFE=∠AGC .AE=AC,∴.△AEF≌△ACG(AAS), .EF=CG,∴.EF=BD -M 小专题十三辅助圆模型 1.B2.4+3 3.解：，△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,M是AD的 中点，AD=2,∴.MA'=MA=1, 点A'的轨迹是以M点为圆心，MA的长为半径的圆弧 连接CM,与圆的交点即为所求的A',此时A'C的值最小，过点 M作MH⊥CD交CD的延长线于点H,如图所示. 才、 D ,菱形ABCD的边长为2，M为AD的中点，∴.MD=1. ∠A=60°，.∠HDM=60°，∠HMD=30°， :HD 2,HM= 乞.在Rt△HMC中，CM= √停++ ）=7,此时A'C=√7-1. 4.解：如图所示，取AC的中点O',连接BO',BC,EO,则CO'= 2AC=2. 66 0 B CE⊥AD,∴.∠AEC=90°，.在点D移动的过程中，点E在 以AC为直径的圆上运动. AB是直径，.∠ACB=90° 在Rt△ABC中，，AC=4,AB=5, .BC=V√5-42=3. 在Rt△BCO中，BO=√/32+22=√/I3. :OE十BE≥OB,∴当O',E,B共线时，BE的值最小，最小 值为0'B-0'E=√13-2. 5.解：CD=AE,∴.BD=CE.在△ABD和△BCE中，AB=BC, ∠ABD=∠BCE,BD=CE,∴.△ABD≌△BCE(SAS), .∠BAD=∠CBE. ,∠APE=∠ABE+∠BAD, ∠APE=∠BPD,∠ABE+∠CBE=60°， ∴.∠BPD=∠APE=∠ABC=60°， ∴.∠APB=120°， ∴点P的运动轨迹是圆周角∠APB=120°的圆上的AB,且 ∠AOB=120°，连接CO,PO,如图所示， .OA=OB,CA=CB,OC=OC, .'.△AOC≌△BOC(SSS), .∠OAC=∠OBC,∠ACO=∠BCO=30°. ∠AOB+∠ACB=180°，∴∠OAC+∠OBC=180°， ∴.∠OAC=∠OBC=90° .AB=AC=25,.OB=r=2,.CO=2OB=4, ∴.OP=2,∴PC的最小值为OC-r=4-2=2. 0 6.解：(1)①22 ②90° 连接OC交⊙O于点P,此时PC的长最小，点O是AB的中 点，.OA=OB=3.在Rt△BCO中，∠OBC=90°，OB=3, BC=4,..OC=OB2+BC2=5, .PC=OC-OP=5-3=2..PC的最 小值为2. (2)4 (3).四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADE=∠DCF=90° 在△ADE和△DCF中， (AD=DC. ∠ADE=∠DCF, DE=CF, .△ADE≌△DCF(SAS), .AE=DF,∠DAE=∠FDC. ,∠ADE=90°， ∴.∠ADP+∠CDF=90°， .∠ADP+∠DAE=90°， .∠APD=180°-90°=90° 连接AC,BD交于点O,如图所示 ,点P在运动中保持∠APD=90°， ∴点P的运动路径是以AD为直径的圆的DPO, 点P的运动路径长为02=元小专题十三 辅助圆模型（答案P66) 考点达标训练 4.推理能力如图所示，AB是半圆O的直径，点 1.（2024·潍坊诸城模拟)如图所示，四边形ABCD C在半圆O上，AB=5,AC=4.D是BC上的 中，DC∥AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则 一个动点，连接AD,过点C作CE⊥AD于 BD的长为() 点E,连接BE.求在点D移动的过程中，BE 的最小值。 A.√14 B.√/15 C.3√2 D.2√3 2.(2023·黑龙江中考)如图所示，在Rt△ACB 中，∠BAC=30°，CB=2,点E是斜边AB的 中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得 Rt△AFD,点C,点B旋转后的对应点分别是 点D,点F,连接CF,EF,CE,在旋转的过程 中，△CEF面积的最大值是 5.运算能力，如图所示，等边三角形ABC的边长 为2√3，D,E分别是BC,CA上两个动点，且 CD=AE,连接AD,BE,交点为P点，连接 3.模型观念如图所示，在边长为2的菱形ABCD CP,求CP的最小值. 中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB 边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻 折得到△A'MN,连接A'C,求A'C长度的最 小值. 数学·精练册SD 67 素养拓展提升 点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请 直接写出点P的运动路径长， 6.(2024·威海模拟)阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到 一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知 识解决，可以使问题变得非常容易.我们把这 个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是 两种类型. ①类型一，“定点十定长”：如图①所示，在 △ABC中，AB=AC,∠BAC=44°，D是 △ABC外一点，且AD=AC,求∠BDC的 度数. 解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径 作辅助圆⊙A,则点C,D必在⊙A上，∠BAC 是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可 容易得到∠BDC= ②类型二，“定角十定弦”：如图②所示，在 Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是 △ABC内部的一个动点，且满足∠PAB= ∠PBC,求线段CP长度的最小值. 解：∠ABC=90°， .∠ABP+∠PBC=90°. ∠PAB=∠PBC, .∠BAP+∠ABP=90°， .∠APB= ,(定角) .点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上 请完成后面的过程， (2)【问题解决】 如图③所示，在矩形ABCD中，已知AB=6, BC=8,点P是BC边上一动点（点P不与B, C重合)，连接AP,作点B关于直线AP的对 称点M,则线段MC的最小值为 (3)【问题拓展】 如图④所示，在正方形ABCD中，AD=4,动 点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足 DE=CF.连接AE和DF,交于点P.点E从 68 优学案赢在中考