专题三 图形的变换-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

专题三 图形的变换（答案P36) ◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆●◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●( 高分精准突破 类型1①折叠操作题 【自主解答】 【例1】探究拓展》(2024·枣庄一模)【探究与证 明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通 过折纸开展数学探究，探索数学奥秘 【动手操作】如图①示，将矩形纸片ABCD对 折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF; 折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点 A,得到折痕AM,点B,E的对应点分别为B', E',展平纸片，连接AB,BB',BE' (1)观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角 【变式训练1】(2023·通辽中考)综合与实践课 的大小关系. 上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展 (2)证明(1)中的猜想 数学活动，有一位同学操作过程如下： 【类比操作】如图②所示，N为矩形纸片ABCD 操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC 的边AD上的一点，连接BN,在AB上取一点 重合，得到折痕EF,把纸片展平 P,折叠纸片，使B,P两点重合，展平纸片，得到 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A 折痕EF;折叠纸片，使点B,P分别落在EF, 落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM, BN上，得到折痕L,点B,P的对应点分别为B', BM,延长PM交CD于点Q,连接BQ, P',展平纸片，连接BB',P'B (1)如图①所示，当点M在EF上时，∠EMB= (3)求证：BB'是∠NBC的一条三等分线. 度 (2)改变点P在AD上的位置（点P不与点A,D 重合)，如图②所示，判断∠MBQ与∠CBQ的数 量关系，并说明理由 【思路分析】(1)猜想∠1=∠2=∠3. (2)设AM,EF交于点O,可推出点O是等边三 角形ABB'的外心，从而得出∠1=∠2=30°，进 一步得出结论。 (3)设EF与折痕L交于点O,同(2)可得OB= OB'=OP=OP',BP'=PB'=BB',从而 ∠P'BO=∠B'BO,∠OBB'=∠BB'O,根据 EFBC得出∠OB'B=∠B'BC,进一步得出结论. 194 优学秦赢在中考 类型2旋转操作题 【变式训练2】(2023·德阳中考)将一副直角三角 板DOE与AOC叠放在一起，如图①所示， 【例2】推理能力(2024·烟台中考)在等腰直角 ∠O=90°，∠A=30°，∠E=45°，OD>OC.在两 △ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为直线 三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O沿顺 BC上任意一点，连接AD.将线段AD绕点D按 时针方向旋转α(0°<a<90)到D1OE1位置，使 顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE. OD1∥AC,如图②所示. 【尝试发现】 (1)求a的值. (1)如图①所示，当点D在线段BC上时，线段 (2)如图③所示，继续将三角板DOE绕点O沿顺 BE与CD的数量关系为 时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点 【类比探究】 D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G,OE1 (2)当点D在线段BC的延长线上时，先在图② 交AC于点H,若点G是E2D2的中点，试判断 中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系 四边形OHE,G的形状，并说明理由 并证明. 【联系拓广】 (3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出 sin∠ECD的值. ① ② 【思路分析】(1)过点E作EM⊥CB于点M,利用 一线三垂直全等模型证明△ACD≌△DME,再 证明BM=EM即可. (2)同(1)中方法证明△ACD≌△DME,再证明 BM=EM即可. (3)过点E作EM⊥CB,求出EM,CE即可. 【自主解答】 数学·讲练册SD 195 类型3剪拼操作题 【变式训练3】运算能力(2024·珠海质检)(1)探 究：如图①所示，把两个边长为1的小正方形分 【例3】应用意识(2023·广东中考) 别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在 【综合与实践】 一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正 主题：制作无盖正方体形纸盒 方形的面积为 ;边长为 ；这个大 素材：一张正方形纸板 正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角 步骤1：如图①所示，将正方形纸板的边长三等 线长，因此，可得小正方形的对角线长为 分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上 (2)爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同 的小正方形 样大小的长方形拼出正方形.如图②所示，将两 步骤2：如图②所示，把剪好的纸板折成无盖正方 个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开， 体形纸盒， 将所得的4个直角三角形拼出了一个中间有一 【猜想与证明】(1)直接写出纸板上∠ABC与纸 个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形 盒上∠A1BC1的大小关系， EFGH的边长为 ;大正方形ABCD的面积为 (2)证明(1)中你发现的结论. ;长方形的对角线长为 (3)小明同学想用一块面积为900cm2的正方形 纸片，沿着边的方向截出一块面积为630cm2的 长方形纸片，使它的长与宽之比为5：3，小思同 ① ② 学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说： 【思路分析】(1)根据等腰直角三角形的性质即可 “用面积大的纸片，背定能裁出面积小的纸片！” 求解 他们谁说得对？请说明理由. (2)根据勾股定理、勾股定理的逆定理和正方形 的性质即可求解. 【自主解答】 196 优学秦赢在中考 ◆00404000◆00400404e0090000000e0400(《 热点题型演练 》◆◆04小0◆4◆◆0◆◆◆0◆◆◆◆◆4◆◆◆00◆0000◆0 1.(2023·宁夏中考)如图所示，在△ABC中， CF= ∠BAC=90°，AB=AC,BC=2.点D在BC 上，且BD:CD=1:3.连接AD,线段AD绕 点A顺时针旋转90°得到线段AE,连接BE, DE,则△BDE的面积是() 4.(2024·威海乳山期中)将一张长方形纸片如 图①所示剪开，得到两张全等三角形纸片，再 将这两张三角形纸片摆放成如图②所示的形 式，使点B,F,C,D在同一条直线上 (1)求证：AB⊥ED A 3 (2)若PB=BC,请说明PE=BF. B. 8 c 3 D 2.(2024·北京中考)如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形 ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形 A'B'CD',两个菱形的公共点为E,F,G,H. 对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点O到该八边形各顶点的距离都相等； ④点O到该八边形各边所在直线的距离都 相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.(2024·盐城中考)如图所示，在△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=2√2，点D是AC的 中点，连接BD,将△BCD绕点B旋转，得到 △BEF.连接CF,当CF∥AB时， 数学·讲练册SD 197 5.运算能力(2024·无锡宜兴期末)如图所示，在6.探究拓展(2024·新乡辉县模拟)如图①所示， 菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,点E,F分 在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.把△ADB 别是边AB,AD上的动点，连接EF,点E与 沿线段BC向右平移，点B,D的对应点分别 点A,B不重合，且AF=AE,作EG⊥EF,交 是E,F,EF与CD相交于点N(如图②所 边BC于点G,连接DG,将四边形EGDF沿 示) 直线AD翻折得到四边形E'G'DF连接 (1)观察：图②中BE与DF的数量关系是 EE',GG'. DN与DF的位置关系是 (1)当E是AB的中点时，求四边形EE'GG (2)迁移：如图③所示，在平移过程中，连接 的面积. DE,沿着DE将△ECD进行翻折，得对 (2)设AE=x(0<x<6),四边形EE'GG的 应△EGD 面积为S,用含x的代数式表示S ①若四边形GECD为正方形，则DN的长度 G 为 ②设∠CDE=a,求G,C两点之间的距离. (3)拓展：如图④所示，当点E与点C重合时， 得到△DCF,再把△DCF绕点C旋转90°，得 到△D'CF',连接BF',请直接写出BF'的 长度 198 优学秦赢在中考若生产件数x=30,则选择两个方案都可以； 若生产件数x的取值范围为x>30,选择方案一 【变式训练2】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服 装，安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， .加工“正”服装的有(70一x一y)人 ,·“正”服装总件数和“风”服装相等， .(70-x-y)×1=2y, 1 整理得y=一3x+3 任务2：根据题意得“雅”服装每天获利为x[100一2(x一10)]元， .w=2yX24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)], 整理得=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x2十120x), ∴.w=-2x2+72x十3360(x≥10) 任务3：由任务2得0=-2x2+72x+3360=-2(x-18)2十 4008, .当x=18时，获得最大利润， 7052 y=-3X18+ 33 .x≠18. 抛物线开口向下， .取x=17或x=19, 53 当x=17时，y= 3,不符合题意： 1 当c=19时，y=3 =17,符合题意 .70-x-y=34. 综上，安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装， 34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润. 【例3】解：如图所示.（答案不唯一） 【变式训练3】解：(1)如图①所示，四边形ABCD即为所求， (2)如图②所示，四边形ABCD即为所求. (3)如图③所示，四边形ABCD即为所求. ①D ② ③ 【热点题型演练】 1.解：(1)设A款茶和B款茶的销售单价各是x元和y元， 根据题意，得亿”6 解得亿0 答：A款茶和B款茶的销售单价各是8元和10元. (2)设A款茶购买a杯，B款茶购买b杯， 45-5b 则8a+10b=90,即a= 4。 袋数解为公6二10名-8： 故有2种购买方案， 2.解：(1)根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1=78;当t>200 时，y1=78+0.25(t-200)=0.25t+28 当0≤t≤500时，y2=108;当t>500时，y2=108+0.19(t 500)=0.19t+13. 78(0≤t≤200)， 综上，y1= 10.25t+28(t>200), /108(0≤t≤500)， y2={0.19t+13(t>500). (2)选择方式B计费，理由如下： 当每月主叫时间为350min时， y1=0.25×350+28=115.5,y2=108. .115.5>108,.选择方式B计费. (3)令y1=108,得0.25t+28=108,解得t=320, ∴.当0≤t<320时，y1<108<y2, .当0≤t<320时，方式A更省钱；当t=320,方式A和B的付 费金额相同；当t>320,方式B更省钱 3.解：(1)如图所示（答案不唯一）. (2)如图所示（答案不唯一）. 4.解：(1)y= x= 5x+20 1 1 (2)w=zx-y=-5x2+20x-5x 、 5x2+20z =-号-0 2（x-25)2+250. -<0, .当x=25时，w有最大值250， ∴.年产量为25万件时毛利润最大，最大毛利润为250万元. (3)令y=80,得号x2-80, 解得x=±20（负值舍去）， 由图象可知，当0<y≤80时，0<x≤20， 由=二号（红一25)2+250的性质可知) 当0<x≤20时，w随x的增大而增大， 故当x=20时，0有最大值240. 答：今年最多可获得毛利润240万元. 专题三图形的变换 【高分精准突破】 【例1】解：(1)∠1=∠2=∠3. (2)证明：如图①所示， 设AM,EF交于点O, 由题意得EF是AB的垂直平分线，AM是BB'的垂直平分线， AB=AB′， .AB'=BB′，OA=OB=OB', ∴.AB'=BB'=AB,点O为△ABB'的外心， .∠ABB'=60°， ∴.∠1=∠2=309 ,四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， .∠3=90°-60°=30°， .∠1=∠2=∠3. ① ② (3)证明：如图②所示，设EF与折痕1交于点O,连接PO,P'O, BO,PB', 同(2)得OB=OB'=OP=OP',BP'=PB=BB', .∠PBO=∠B'BO,∠OBB'=∠BBO. .EF∥BC,∴.∠OB'B=∠B'BC, ∠P'BO=∠B'BO=∠B'BC, ∴.BB'是∠NBC的一条三等分线 【变式训练1】解：(1)30 (2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下：由题意得AB=BM,∠A ∠BMP=90°，∴.BC=AB=BM,∠BMQ=∠C=90° .BQ=BQ,∴.Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL), ∴.∠MBQ=∠CBQ. 【例2】解：(1)BE=√2CD (2)补全图形如图所示，BE=√2CD,理由如下： 过点E作EM⊥BC于点M, 由旋转得AD=DE,∠ADE=90°， ∴.∠ADC+∠EDM=90°. .∠ACB=90°， '.∠ACD=∠DME,∠ADC+ ∠CAD=90°， .∠CAD=∠EDM, .∴.△ACD≌△DME, ∴.CD=EM,AC=DM .AC=BC, .'DM=BC ∴.DM-CM=BC-CM, ∴.CD=BM, ∴.EM=BM. .EM⊥CB, ∴.BE=√2EM=√2CD (3)sin∠EcD=23或25 13 5 【变式训练2】 解：(1).OD1∥AC,.∠A=∠AOD1=30° ,将三角板DOE绕点O沿顺时针方向旋转a(0°<α<90)到三角 形D1OE1位置， ∴.∠AOD1=a=30° (2)四边形OHE2G是正方形.理由如下： ∠E2OD2=90°，OD2=OE2,点G是E2D2的中点， ∴.E2G=OG,E2G⊥OG. ,'OD1∥AC,∴.∠GOH=∠AHO=90°，∠OGE2=∠CE2G=90° .四边形OHE2G是矩形. 又.E2G=OG,.四边形OHE2G是正方形 【例3】解：(1)∠ABC=∠A1B1C1. (2)证明：A,B1为正方形的对角线， .∠A1B1C1=45° 设每个小正方形的边长为1，则AB=√2+32=√/0，AC= BC=√12+22=√5】 .AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=45°，.∠ABC=∠A1B1C1 【变式训练3】解：(1)2√2√2 (2)113/13 (3)小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为5xcm,宽为3xcm, 则5x·3x=630, .x=√42（负值舍去）， √900=30(cm), 而长方形纸片的长为5√/42cm,5√42>30， ∴不能用一块面积为900cm的正方形纸片，沿着边的方向截出 一块面积为630cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为5：3. 【热点题型演练】 1.B2.B3.2+√6或√6-2 4.解：(1)证明：依题意可得，∠A十∠B=90°，∠A=∠D, .∠D+∠B=90°， .∠BPD=90°， .AB⊥DE. (2),“将一张长方形纸片沿着对角线剪开，得到两张全等的三角 形纸片， ∴.△ABC≌△DEF, .∠A=∠D,AB=DE 在△BPD与△BCA中， ∠D=∠A, {∠B=∠B, PB=BC, .△BPD≌△BCA, .'.BD=AB=DE,DF=DP, .BD-DF=DE-DP, 即PE=BF 5.解：(1)如图所示，连接BD,延长AD交GG'于点K,作BI⊥AD 于点I,则∠AIB=90°， 四边形ABCD是菱形，AB=6, .AD=AB=6,AD∥BC 又，∠A=60°， .△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°， ∴AI=DI=7AD=3, .BI=AB2-AI3=√62-32=3√5. 由翻折得点E与点E关于直线AD对称，点G与点G关于直 线AD对称， .AD垂直平分EE',AD垂直平分GG', ∴.EE'∥GG' .∠BGK=∠AKG=90°， .四边形BGKI是矩形， ∴.G'K=GK=BI=3√3， .GG'=2GK=6√3. 设EE'交AD于点L,延长LE,CB交于点H,则∠H= ∠ALE=90°. ,∠EBH=∠A=60°， ∴.∠BEH=30° .AF=AE,∠A=60°， .△AEF是等边三角形， .∠AEF=60°. .EG⊥EF, ∴.∠FEG=90° ∴.∠BEG=180°-∠AEF-∠FEG=30°， ∴.∠BGE=180°-∠BEG-∠ABC=30°=∠BEG, .'BG=BE. E是AB的中点， BG-BE-AE-2AB=3, BH=BE- 3 GH=BG+BH=3+号-号 2’ .∠ALE=90°，∠AEL=∠BEH=30°， AL=AE=, LE=LE=VAE--√-(2-35， .EE'=2LE=35. .EE'∥GG',GH⊥EE', ∴S园边蒂EEGG= ×85+6)x号-1e, 4 ·四边形EE'GC的面积是81V 4 (2).AE=x, AL=2AE=合，BG=BE=6- LE'=LB-停，BH=BE- 2(6-x), .EE'-2LE-/z.GH-BG+BH-6-+(6- 2(6-x), -7×26-065+52=-35+75, ∴S关于x的函数关系武为s=一322+273(0<红3 C' 6.解：(1)BE=DFDN⊥DF e0 ②连接GC交DE于M. △ECD翻折得到△EGD, ∴.△ECD和△EGD关于直线DE对称， .DE垂直平分GC 在Rt△MDC中，∠CDE=a,CD=3, .'MC=3sin a, ∴.GC=2MC=6sina. (3)/17或√65. 当△DCF绕点C逆时针旋转90°时， 如图①所示，此时BD=4-3=1,DF'=4. 根据勾股定理，得BF'=√BD2+DFz=√I7 F BD' ① ② 当△DCF绕点C顺时针旋转90°时， 如图②所示，此时BD'=4十3=7，DF'=4. 根据勾股定理，得BF'=√BD+DFr=√65. 综上所述，BF'的长为√17或√65. 专题四数学与传统文化 【高分精准突破】 【例】解：设合伙人数为x人 由题意得400x-3400=300x-100, 解得x=33, ,.400x-3400=9800(钱)， 答：合伙人数为33人，金价为9800钱 【变式训练】解：(1)如图所示，点A,B,C即为所求. (2)6√3 【热点题型演练】 1.D2A3.A4.C5.号62.57.300m k2+1 8. (k-1)2 9.解：(1)如图所示，过点A'作A'B⊥OA于点B. 地面 设秋千绳索的长度为x尺， 由题可知OA=OA'=x尺，AB=5-1=4(尺)， A'B=10尺， ∴.OB=OA-AB=(x-4)尺 在Rt△OA'B中，由勾股定理，得A'B2+OB2=OA2, .102+(x-4)2=x2,解得x=14.5. 答：秋千绳索的长度为14.5尺 (2)能 由题可知，∠OPA'=∠OQA"=90°，OA'=OA"=OA, OP 在Rt△OA'P中，cosa=OA' .OP=OA'·cosa=OA·cosa, 同理，OQ=OA”·cosB=OA·cosB. OQ-OP=h,∴.OA·cosB-OA·cosa=h, .OA·(cosB-cosa)=h, h ..OA= cos B-cos a 专题五动点最值问题 【高分精准突破】 【例】屏：1：M(分4)在反比例函数y=会的图象上. 1 六质=2X4=2, ,反比例函数的解析式为y= .2 x 又N(m,1)在反比例函数y= 2的图象上， .n=2. .N(2,1) 设一次函数的解析式为y=ax十b, 将M(合，4)，N2,1代入得 a+6=4“解得份=5， 1 a=-2, 2a+b=1. ∴.一次函数的解析式为y=一2x十5. (2)如图①所示，设直线L交x轴于点A,交y轴于点B, 又直线1的解析式为y=-2x+5, A(停o),B(0,5. 5 .0A=2,0B=5. ∴.SAOMN=S△AOB-S△AON-S△BOM 38