小专题十六 借助对称解决线段和差最值问题-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

∴.AG=BD 在△AGB和△BDC中， ,AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB, ∴.△AGB≌△BDC(SAS), .CD=BG. .BG=2BE .'.CD=2BF 小专题十六借助对称解决线段和差最值问题 1.C 2.解：(1)证明：如图①所示，连接PD,在正方形ABCD中， ∠DAC=∠BAC. 在△APB和△APD中， AB=AD, ∠BAC=∠DAC, AP=AP, ∴.△APB≌△APD(SAS) ∴.∠ABP=∠ADP. .∠ABC=∠ADC=90°，∴.∠PBC=∠PDC. ∠BPQ=∠BCD=90°， ∴.∠PBC+∠PQC=180° 又.∠PQD+∠PQC=180°， ∴.∠PQD=∠PBC, .∠PDC=∠PQD,∴.PD=PQ,.PQ=PB. (2)如图②所示，连接ED交AC于点P,连接BP,同理可证 BP=PD,∴.PB+PE=PD+PE,则DE的长度即为PB+PE 的最小值」 .EC= BC -1,/BCD 90,DE -CD+ECT √22+1=5， .PB+PE的最小值为√5 A下 D ① 3.解：如图所示，，△ABC,△ADE都是等边三角形， .AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60° .∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS), ∴.∠ABD=∠ACE AF-CF-74,BF-0, .∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，BF⊥AC ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30). 作点A关于直线CE的对称点M,连接FM交CE于E',此时 AE′+FE'的值最小. ,CA=CM,∠ACM=60°， .△ACM是等边三角形， ..AM=AC. .BF⊥AC, ∴.FM=BF=b, ∴.△AEF周长的最小值=AF十FE'十AE'=AF十FM= 2a+6. 4.解：如图所示，过点B作BH∥EF交CD于点H,过点A作 AG∥EF,且使AG=EF,连接GE, .四边形AGEF是平行四边形，.AF=GE,∴.当G,E,C三点 共线时，AF十EC最小. EF⊥AC,∴.BH⊥AC.,∠HBC+∠BCA=90°，∠BCA+ ∠ACH=90°， .∠HBC=∠ACH, a∠HBc=a∠ACD.期C-2品 AB=4,AD=3, C-子HC=子BH= 3 C+开-+(-其. ∴.AF+EF+EC≥GC+BH. GA⊥AC,∴.△ACG为直角三角形. .'CD=AB=4,AD=3,..AC=5. .'EF=BH=AG, 15 ..AG= 4 6=aG+aC-,√)'+-5 4 ∴GC+EF= + 4 =10, ∴.AF+FE+EC的最小值为10. G E B 5.解：如图所示，连接OE,过点O作OH⊥AB于点H. A D E H B .四边形ABCD是矩形，.∠A=∠OHB=90°，.OH∥AD :OB=OD,AH=HB=2,0H=合AD=3.×AE=1, ∴.EH=AH-AE=1,.OE=√EH+OH=√+3= I0,.|PE一OP|≤EO=√I0,∴.|PE一OP|的最大值 为√/10】 6.解：(1)2 (2)如图所示，作点E关于BD的对称点E',连接FE'并延长交 BD于点P' 此时F,E,P共线，PF一PE有最大值为FE' AC=6,OA=2OC,OA+OC=AC,∴.OA=4,OC=2.又.点 E为0C的中点，0E=号0C=1,根据对称性得0B= OE=1. .'AB=AD,∠BAD=90°，AC⊥BD, ∴.△AOB为等腰直角三角形，∴.AB=√2AO=4√2. BF=3AF,AF+BF=AB,∴.AF=√2 作FH⊥AC于点H. △AOB为等腰直角三角形，.∠BAE=45°， AFH也为等腰直角三角形，∴AH=FH=号AE ∴.HE=A0-AH-OE'=4-1-1=2,.FE'= √FH+HE=√+22=√5. 故PF一PE的最大值为5. 第26讲图形的相似 【重点知识梳理】 ①a:b=c:d②比例线段③e④比例中项⑤5。-】 2 9小专题十六 借助对称解决线段和差最值问题（答案29） 类型①两条线段和最小问题 类型2n条线段和最小问题(n≥3) 1.(2024·济宁任城区模拟)如图所示，已知等边3.如图所示，边长为a的等边△ABC中，BF是 △ABC的边长为4，P,Q,R分别为边AB, AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接 BC,AC上的动点，则PR+QR的最小值 AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF, 是() 求△AEF周长的最小值.（用含a,b的式子 表示) A.22 B.2 C.23 D.3√2 2.已知：正方形ABCD,点P为对角线AC上 一点 (1)如图①所示，Q为CD边上一点，且∠BPQ= 90°，求证：PB=PQ. (2)如图②所示，若正方形ABCD的边长为2， E为BC的中点，求PB+PE的最小值. 4.如图所示，已知矩形ABCD中，AB=4,AD= 3,E,F分别为AB,DC上的两个动点，且EF⊥ AC,求AF+FE+EC的最小值. 150 优学秦赢在中考 类型3两条线段差最大问题 6.(1)如图①所示，点P为直线1上一个动点，点 A,B是直线1外同侧的两个定点，连接PA, 5.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6, PB,AB.若AB=2,则PA一PB的最大值 点O是对角线BD的中点，E是AB边上一 为 点，且AE=1,P是CD边上一点，求|PE一 (2)如图②所示，在四边形ABCD中，AB= PO的最大值. AD,∠BAD=90°，对角线AC⊥BD,垂足为 点O,OA=2OC,点E为OC的中点，点F在 AB上，且BF=3AF,点P为BD上一动点， 连接PE,PF.若AC=6,求PF一PE的最 大值 数学·讲练册SD 151