小专题十三 辅助圆模型&小专题十四 胡不归与阿氏圆-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

小专题十三 辅助圆模型（答案P24) 模型①动点到定点定长模型 最大值为 1.(2024·泰安岱岳区模拟) 如图所示，已知AB= AC=AD,∠CBD= 2∠BDC,∠BAC=44°，则∠CAD的度数 5.几何直观》如图所示，△ABC为等边三角形， 为() AB=2,若P为△ABC内一动点，且满足 A.68° B.88 ∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小 C.90° D.112 值为 2.几何直观如图所示，已知⊙C的半径为3，圆 外一定点O满足OC=5,点P为⊙C上一动 点，经过点O的直线1上有两点A,B,且 OA=OB,∠APB=90°，l不经过点C,则线段 AB的最小值为 模型4四点共圆模型 6.如图所示，AB⊥BC,AB=5,点E,F分别是 线段AB,射线BC上的动点，以EF为斜边向 AO B 上作等腰直角三角形DEF,∠EDF=90°，连 接AD,则AD的最小值为 模型2直角、圆周角模型 3.(2024·德州德城区模拟)如图所示，四边形 ABCD为矩形，AB=3,BC=4,点P是线段 BC上一动点，点M为线段AP上一点， B ∠ADM=∠BAP,则BM的最小值为() 7.推理能力》如图所示，在△ABC中，∠ABC= 60°，BD平分∠ABC,且∠ADC=120°.求证： AD=DC. 2 B. 5 C丽昌 D.√13-2 模型3定边对定角模型 4.如图所示，∠XOY=45°，一把直角三角板 △ABC的两个顶点A,B分别在OX,OY上移 动，其中AB=10,那么点O到AB的距离的 128 优学秦赢在中考 小专题十四 胡不归与阿氏圆（答案P24) 模型①胡不归模型 3.推理能力》如图所示，四边形ABCD是边长为 √2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角 1.(2024·泰安泰山区二模)如图所示，在 线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=2√2，AC= 逆时针旋转60°得到BN,连接EN,AM,CM. 9,以C为圆心，3为半径作⊙C,P为⊙C上一 (1)求证：△AMB≌△ENB. 动点，连接AP,BP,则了AP十BP的最小值 (2)①当M点在何处时，AM+CM的值最小？ 为( ) ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最 小？请求出这个最小值. A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC,BD 交于点O,AB=OB=3,点M在线段AC上， 且AM=2,点P为线段OB上的一个动点. (1)求∠OBC的度数 (2)求MP+2PB的最小值 数学·讲练册SD 129 模型2阿氏圆模型 4.探究拓展【新知探究】新定义：在平面内，给定 两定点A,B,所有满足=（为定值）的巴 ① ② 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿 阿氏圆的关键解题步骤： 氏圆” 第一步：如图①所示，在OD上取点M,使得 【问题解决】如图所示，在△ABC中，CB=4, OM:OP=OP:OD=k; AB=2AC,求△ABC面积的最大值 第二步：证明kPD=PM; 第三步：连接CM,此时CM即为所求的最 小值 下面是该题的解答过程（部分）： 解：如图①所示，在OD上取点M,使得OM: OP=OP:OD=k. 又.∠POD=∠MOP,∴.△POM∽△DOP. 任务： (1)将以上解答过程补充完整， (2)如图②所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，AC=4,BC=3,D为△ABC内一动点，满 足CD=2,利用(1)中的结论，请直接写出 AD+号BD的最小值. 5.(2024·山西期末)阅读以下材料，并按要求完 成相应的任务， 已如平面上两点A,B,则所有符合 -k (k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿 氏圆 阿氏圆基本解法：构造三角形相似， 【问题】如图①所示，在平面直角坐标系中，在 x轴，y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),点P OP 是平面内一动点，且OP=r,设OD=k,求 PC十PD的最小值， 130 优学秦赢在中考{A9=AC;R△AS0≌R△ATO(HD).∴S0=T0 ∴.SO-SD=TO-TB,即OD=OB ,AD∥OM,∴.∠AOB=∠OAD. '∠AOD=∠AOB,∴.∠AOD=∠OAD, ..AD=OD,..AD=OB, ∴.四边形OBAD是平行四边形 .AD=AB,∴.平行四边形OBAD是菱形 E (2)证明：如图②所示，作AS⊥DE于点S,作AT⊥BC于点T 连接FE. ,AS⊥DE,AT⊥BC :SD-SE-2 DE,TB-TC-2 BC. .'SD=TB,..DE=BC. .OD=OB, ∴.OD+DE=OB+BC,即OE=OC 在△OEF与△OCF中， OE=OC, ∠EOF=∠COF, OF=OF, .△OEF≌△OCF(SAS), ∴.∠OEF=∠OCF. .CF⊥OM,.∠OEF=∠OCF=90 .AS⊥DE,DG⊥ON,.∠ODG=∠OSA=∠OEF=90°， GsA/Ee- =1, ∴.AG=AF 3A4A5.C652.57.号em 小专题十三辅助圆模型 1.B2.43.D 5√2 4.5V2+55.g36,29 3 7.证明：∠ABC+∠ADC=60°+120°=180°， 点A,点B,点C,点D四点共圆， ∴.∠ABD=∠ACD,∠DBC=∠DAC .BD平分∠ABC, .∠ABD=∠DBC, ∴.∠ACD=∠DAC, ..AD=DC. 小专题十四胡不归与阿氏圆 1.C 2.解：(1)，'四边形ABCD是矩形，∴.OA=OB=OC=OD ∠ABC=90°. ,AB=OB,∴.AB=OB=OA,∴.△OAB是等边三角形， ,.∠ABO=60°， ∴.∠OBC=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30° (2)过点P作PE⊥BC于点E,过点M作MF⊥BC于点F, 图所示. D M R FF 在Rt△BPE中，由(1)知∠PBE=30°， PE=号PB,MP+PB=MP+PE≥Mr. 在矩形ABCD中，AC=2OA=2OB=6. .AM=2,∴.CM=AC-AM=6-2=4. 在Rt△CMF中，∠MCF=∠OBC=30°， ∴MF=2CM=2,MP+2PB的最小值为2. 3.解：(1)证明：BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,∴.BM= BN,∠MBN=60°. △ABE是等边三角形，∴.BA=BE,∠ABE=60°， ,∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°， .∠ABM=∠EBN (AB=EB, 在△AMB和△ENB中，{∠ABM=∠EBN, BM=BN, ∴.△AMB≌△ENB(SAS). (2)①连接AC,AC与BD相交于点O,如图①所示. 四边形ABCD是边长为√2的正方形， ∴AC=√2X√2=2，点O为BD的中点. .AM+CM≥AC(当M点在AC上时取等号)，∴.当M点在 BD的中点时，AM十CM的值最小，最小值为2. ②连接MN,则△BMN为等边三角形，.BM=MN .△AMB≌△ENB,∴.EN=AM, ∴.当点E,N,M,C共线时，AM+BM+CM的值最小.如图② 所示，作EH⊥BC交CB的延长线于点H.:∠ABE=60°， ∠ABC=90°，.∠EBH=30°. 在R△EBH中，EH=BE= 2 BH-原EH- 在R△EHC中，CH=BH+BC=5+2 2 ∴.CE2=CH+EH2-( +)°+(）=4+2cE √5+1（负值舍去）， ∴当M点在CE上时，AM+BM+CM的值最小，这个最小值 为√3+1. D B B ② 4.解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC, AP与BC的延长线交于点P,如图所示. .∠CAP=∠ABC,∠BPA=∠APC,AB=2AC ∴.△APC∽△BPA, 品器 =2’ BP=2AP,CP-2AP. B .BP-CP=BC=4, 2AP-TAP-4. 解得AP=号， BP=16 ，CP=音，即点P为定点。 “点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图所示，过 点P作BC的垂线，交⊙P于点A1,此时点A1到BC的距离最 大，即△ABC的面积最大，SAAx=分BC·A,P=7X4× 816 3-3 5.解：(1)在OD上取点M,使得OM:OP=OP:OD=k. 24 又.∠POD=∠MOP, ∴.△POM∽△DOP. ∴.MP:PD=OP:OD=k. ∴.MP=kPD. ,,PC+kPD=PC+MP,当PC+kPD取最小值时，PC+MP 有最小值，即C,P,M三点共线时有最小值， 利用勾股定理得CM=√OC2+OM派=√m+(r)严= Vm2Hkr2 (2②)AD+号BD的最小值为4 3 小专题十五 主从联动模型 1.D 2.解：如图所示，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET, 连接GT,连接DE交CG于点J. ,四边形ABCD是矩形，.AB= D CD=3,∠B=∠BCD=90°. ,∠BET=∠FEG=45°， .∠BEF=∠TEG. 在△EBF和△ETG中， EB=ET, ∠BEF=∠TEG, EF=EG, .△EBF≌△ETG(SAS),∴∠B=∠ETG=90°， .点G在射线TG上运动，.当CG⊥TG时，CG的值最小 .BC=4,BE =1,CD=3,.CE CD=3,./CED= ∠BET=45°，.∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，.四边 形ETGJ是矩形，∴.DE∥GT,GJ=TE=BE=1,.CJ⊥DE, ..JE=JD, CJ-DE-3CG=GJ+CJ-1+32 2,CG的最小 值为1计8说 3.A4.(-14,0) 5.解：如图所示，作△COE,使得 ∠CEO=90°，∠EC0=60°.则 CO=2CE. ,AB=4,BC=2,.OB=2,C0= 4CE=20=2, .OE=2√3，∠OCP=∠ECD ·∠CDP=90,∠DCP=60,∴CP=2CD,:CP CP CE CD =2, .△COP∽ACED,ED-CD .OP CP 1 2,即ED=2OP=1(定 长).点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上. OD≤OE+DE=23+1,∴.OD长的最大值为2√3+1. 6.解：如图所示，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形 OBE,连接CE,BD. ,将CB绕点C逆时针旋转90°得 到CD, C ∴.BC=CD,∠DCB=90°， ∴.∠DBC=45°，BD=√2BC △OBE是等腰直角三角形， .OE=BE,∠OBE=45°， OB=2BE=1,∴BE=OE= 2 ,∠DBC=∠OBE,∴.∠OBD=∠CBE. 又：8沿9-2，aD00△cBE,÷808器=， ∴.OD=√2CE,∴.当CE有最大值时，OD有最大值，即点C在 点C处， 点C,O,E三点共线时，CE有最大值为1+ 2 ,∴OD长的最大 值为√2+1. 0 7.解：(1)P1,P2 (2)由(1)可得，.∠MPN=90°，∴.△MPN为直角三角形， .MN2=PM+PN2=4PN2,即MN=2PN,则△PMN为含 30°角的直角三角形，如图①所示.则点P是以MN为斜边且含 30度角的直角三角形的直角顶点. D 30° 0 2 在⊙O上取点M,N,则对于任意位置的M和N,符合的关联点 有2个，如图②所示. 以点P为例，当点M在半径为r的⊙O上运动时，点N为圆上 一定点，且MN=2PN,∠PNM=60°. ·点M的运动轨迹为圆，故点P的轨迹也为圆，令点P的轨迹 为⊙R,如图③所示. 当M,O,N三点共线，P,R,N三点共 线时，∠PNM=60,÷OR=5 2 MA 则点0到点P的最大距离为+上， 最小距离为已，。 ③ 当点N也在⊙O上运动时，⊙R也随之运动， 2,和3二1 则⊙R扫过的区域为十上， 2,为半径围成的圆环， 即⊙0的所有关联点在以0为圆心，5+1，和5,1，为半径 2 2 的两个圆构成的圆环中， 当线段AB与半径为3+， 2 的圆交于点A时，r最小，如图 ④所示。 则3+1 =2√3，解得r=6-2√3. 2 ④ ⑤ 当线段AB与半径为3，， 2 r的圆相切时，r最大，过点O作 OH⊥AB,如图⑤所示 则SaaB=号×0AXOB=号×OH×AB,即号×25X2= 2×0HX4, 解得OH-V3,则3- 2 r=√3，解得r=3+√3，.6一2√3≤r≤ 3+√5 第23讲与圆有关的位置关系 【重点知识梳理】 ①d>r ②d=r③d<r④相切⑤相交⑥相切⑦切线 ⑧相离⑨d<r①d=r①d>r②外端®等于④切点 ⑤相等 【随手一练1】B ⑥相切⑦内心⑧外切©相切@角平分线