第3章 函数及其图象 第15讲函数的实际应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第15讲 函数的实际应用（答案P9) 重点知识梳理 1.确定实际问题中的一次函数解析式，要先将实际问题转化为数学问题，即数学建 模.要做到这种转化，首先要分清哪个量是自变量，哪个量是因变量；其次建立① 与② 之间的关系，要注意③ 2.在实际问题中，可以根据自变量的取值求④ ,或者由⑤ 求自变量的 次函 值.因为自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在 数的实 某个范围的最值 际应用 【随手一练1】应用意识如图所示，某电信公司提供了A,B两 y/元 A方案 B方案 种方案的移动通信费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系. 70 50 如果通信费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差 30 分钟. 120170200250x/分 根据实际情况建立⑥ 函数模型；利用⑦ 或其他学科的公式等确定函 数解析式；根据反比例函数的性质解决实际问题 【随手一练2】(2023·丽水模拟)某气球内充满了一定质量的气 反比例函 tp/kPa 数的实际 体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3) 函 数 应用 的反比例函数，如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球 60 (1.6,60) 的 将爆炸，为了安全起见，气球体积V应满足( 1.6 Av号 nVe号 V/m3 用 B.V< c.V<g 实物抛物线：建立平面直角坐标系；利用⑧ 法确定抛物线的函数解析式；利用二 次函数的性质解决实际问题，常以桥梁、隧道、体育运动等为背景进行考查 ◆温馨提示：当题目中没有给出平面直角坐标系时，平面直角坐标系选取的不同，所得解 析式也不同. 二次函数在销售问题中的应用：读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找⑨ 三次函 确定函数解析式；确定二次函数的⑩ 数的实 ◆温馨提示：在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的 际应用 影响 【随手一练3】(2023·秦皇岛一模)某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出 200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可 多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的 售价为( ) A.50元 B.90元 C.80元 D.70元 66 优学系赢在中考 二次函数在面积问题中的应用：根据几何知识探求图形的① ;根据面积关系式 确定函数解析式；确定二次函数的② ,解决问题 数 二次函 ◆名师点拨：运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值或最小值问题是最常 数的实 见的题目类型，解决这类问题的方法是：1.列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据 用 际应用 自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.2.在自变量取值范围内，运用公式法或配方 法求出二次函数的最大值或最小值 ◆●◆●◆◆◆●0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆0 典型例题剖析 》●◆◆◆◆◆◆◆●●◆●◆◆●●◆◆●◆0●◆◆0◆◆◆●◆◆◆●◆ 命题点1】一次函数的实际应用 【例2】新情境(2024·济南莱芜区模拟)生活需 要仪式感，随着人们生活质量的提高和品位的提 方法指导+ 升，鲜花深受广大消费者喜爱.某鲜花店为了满 利用一次函数图象解决实际问题时，要注 足消费者的需要，准备购进一批玫瑰花和康乃 意仔细分析图象中各点的含义，尤其是图象与 馨.已知购买玫瑰花花费1800元，购买康乃馨花 图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思 费1380元，每枝玫瑰花的价格是每枝康乃馨价 想从图象中获取有用的信息. 格的1.5倍，购买玫瑰花的数量比康乃馨的数量 少30枝. 【例1】几何直观》(2023·绍兴中考)一条笔直的 (1)玫瑰花和康乃馨的单价分别是多少元？ 路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距 (2)两种鲜花到店后很快售罄，鲜花店老板准备 1000米.甲、乙两机器人分别从M,N两地同时 再次购进玫瑰花和康乃馨共600枝，且玫瑰花的 出发，去目的地N,M,匀速而行.如图所示，图中 数量不低于康乃馨的3倍，则玫瑰花和康乃馨各 OA,BC分别表示甲、乙机器人离M地的距离 购买多少枝时花费最少？最少费用是多少元？ y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象， 【自主解答】 (1)求OA所在直线的解析式. (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人 相遇？ (3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人 也到P地，求P,M两地间的距离 y/米↑ 1000 10x/分钟 【自主解答】 数学·讲练册SD 67 【变式训练1】(2024·上海中考)某种商品的销售的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药 量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关 物燃烧后，y与x成反比例，如图所示.请根据图 系，当投入10万元时销售额为1000万元，当投 中提供的信息，解答下列问题： 人90万元时销售额为5000万元.则投入80万 (1)药物燃烧后y与x的函数关系式为 元时，销售额为 万元 自变量的取值范围是 命题点2】反比例函数的实际应用 (2)当空气中每立方米的含药量低于0.3毫克时 学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几 方法指导◆ 分钟后，学生才能回到教室？ 解此类题的关键是能利用待定系数法或等 +y毫克 量关系列函数解析式，并进一步利用函数的图 象与性质解决问题 x/分钟 【例3】跨学科·物理》(2024·枣庄市中区二模)电 磁波的波长入（单位：m)会随着电磁波的频率 f(单位：MHz)的变化而变化.如表是它们的部 分对应值： 频率∫/MHz 10 15 20 25 波长2/m 30 20 15 12 (1)在一次函数、二次函数及反比例函数中，哪个 函数能反映波长入与频率f的变化规律？并求 出入与f的函数解析式. (2)当电磁波的频率不超过50MHz时，波长至 少是多少米？ 【自主解答】 命题点3】二次函数的实际应用 类型一用二次函数解决图形面积问题 方法指导→ 此类型最常见的是图形面积最值问题.此 类题含有两个变化的未知量，可以设其中一个 为自变量，再利用图形中存在的等量关系，用这 个自变量表示出另一个变化的未知量，从而利 用图形面积公式等列出二次函数解析式，进而 利用二次函数的性质求出最值，注意这里的等 【变式训练2】(2024·德州德城区模拟)为了预防 量关系可以是周长公式、由相似得到的比例式、 春季流行性感冒，学校对教室采用药熏消毒法进 勾股定理、锐角三角函数等， 行消毒.已知药物燃烧时，室内每立方米空气中 68 优+学秦赢在中考 【例4】(2024·泰安中考)如图所示，小明的父亲 类型二用二次函数解决销售利润问题 想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成 方法指导◆ 一个矩形的菜园.已知房屋外墙长40米，则可围 解决此类问题，一般要利用题中的等量关 成的菜园的最大面积是 平方米。 系列出二次函数解析式，再利用函数的图象、性 Li222444222墙 质及问题的具体情况解决问题.求最值时，并不 定是二次函数图象顶点的纵坐标为最值，要 【变式训练3】(2022·无锡中考)某农场计划建造 注意自变量实际取值范围的限制条件： 一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形 养殖场一面靠墙（墙的长度为10m),另外三面用 【例5】(2024·滨州中考)春节期间，全国各影院 栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元， 1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩 该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售 形的宽为xm,如图所示 价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤ (1)若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值. x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： (2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？ 电影票售价x/(元/张) 40 50 最大面积为多少？ 售出电影票数量y/张 164 124 -10m (1)请求出y与x之间的函数解析式 (2)设该影院每天的利润（利润=票房收人一运 营成本)为w(单位：元)，求与x之间的函数 解析式。 (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获 利最大？最大利润是多少？ 【自主解答】 数学·讲练册SD 69 【变式训练4】某公司销售一批产品，经市场调研 y万元 11 10 发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售 额y1（万元)与销售量x(吨)的函数解析式为 87 6 y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数 (2.4) 2’4 图象是如图所示的抛物线的一部分，其中 x/吨 (份，)是其顶点 (1)求出成本y2关于销售量x的函数解析式. (2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ (3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最 大利润是多少？ (注：利润=销售额一成本) ◆●◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆●◆◆◆◆◆●◆◆、(《 中考真题演练》◆◆4小◆4心 丛考点1)一次函数的应用 究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函 1.(2024·威海中考，10,3分)同一条公路连接 数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个h A,B,C三地，B地在A,C两地之间.甲、乙两 的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当 车分别从A地、B地同时出发前往C地.甲车 h为8cm时，对应的t为 min. 速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间， t/min 1 2 3 继续行驶.如图所示表示甲、乙两车之间的距 h/cm … 2.42.83.44 离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论 正确的是( y/km 40 20 3.(2024·滨州中考，15,3分)如图所示，四边形 01 F/h AOBC四个顶点的坐标分别是A(一1,3)， A甲车行驶h与乙车相遇 3 O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在该平面内找一 B.A,C两地相距220km 点P,使它到四个顶点的距离之和PA十PO十 C.甲车的速度是70km/h PB+PC最小，则点P的坐标为 D.乙车中途休息36分钟 2.(2021·济南中考，17,4分)漏刻是我国古代的 一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经 出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的 2寸45 创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了 一个简单的漏刻计时工具模型（如图所示），研 70 优+学秦赢在中考 8考点2)反比例函数的应用 8考点3)二次函数的应用 4.(2022·枣庄中考，22,10分)为加强生态文明 5.(2024·济宁中考，20,8分)某商场以每件 建设，某市环保局对一企业排污情况进行检 80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销 测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标， 售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件) 即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L. 之间是一次函数关系，其部分图象如图所示. 环保局要求该企业立即整改，在15天内（含 (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式. 15天)排污达标.在整改过程中，所排污水中硫 (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元， 化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规 且商场还要完成不少于220件的销售任务，当 律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化 销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大 规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L. 利润是多少？ 从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时 4y/件 间x满足下面表格中的关系： 300 200 时间x/天 3 9 a 0 100120x/元/件) 硫化物 的浓度 4.52.72.25 1.5 y/(mg/L) (1)求在整改过程中，当0≤x<3时，硫化物的 浓度y与时间x的函数解析式。 (2)求在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓 度y与时间x的函数解析式。 (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在 15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为 什么？ y/(mg/L) 12 4.5 3 x/天 数学·讲练册SD 71 6.(2023·菏泽中考，21,10分)某学校为美化学 的纯收入，拟用下列三个函数模拟甲农户从 校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个 2016年开始的年度纯收入变化趋势：y=”(m> 一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道篱笆 把花园分为A,B两块（如图所示），花园里种满 0),y=kx+b(k>0),y=a.x2-0.5.x十c(a>0). 牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米. (1)能否选用函数y=”(m>0)进行模拟，请 (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出 说明理由. 其最大面积。 (2)你认为选用哪个函数模拟最合理？请说明 (2)在花园面积最大的条件下，A,B两块地分 理由， 别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株.已知 (3)甲农户准备在2021年底购买一台价值 牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学 16万元的农机设备，根据(2)中你选择的函数 校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购 解析式，预测甲农户2021年度的纯收入能否 买多少株牡丹 满足购买农机设备的资金需求， y万元 10 11 5,110 9 - 6 3- 2- 0123456789x/年度 7.(2021·潍坊中考，20,10分)某山村经过脱贫 攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长.经统计， 近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度/年 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年度纯收 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3 入/万元 若记2016年度为第1年，在平面直角坐标系 中用点(1,1.5)，(2,2.5)，(3,4.5)，(4,7.5)， (5,11.3)表示近五年甲农户纯收入的年度变 化情况，如图所示.为了估算甲农户2021年度 72 优学秦赢在中考∴.a1=2,a2=-1. 当a=2时，点P到y轴的距离为2； 当a=一1时，点P到y轴的距离为1. 综上所述，点P到y轴的距离为2或1. (3).a2-2a-2b+3=0, 6=a2-2a+3 2 由题意，得xo= +b-a2+3.1≤<3， 2 4 1≤a+3<3, 4 整理，得1≤a2<9, ∴.-3<a≤-1或1≤a<3 ,a为整数. ∴.a=-2或-1或1或2，共4个. 8.解：(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t十4,0)， 则z=-1=2红++， 解得t=一3， 即点A,B的坐标分别为（一3,0），(1,0) OC=OA,则点C(0,3), 则抛物线y1的表达式为y1=a(x十3)(x-1)=a(x2+2x-3), 则一3a=3,则a=一1， 则y1=-x2-2x+3. 根据图形的对称性，得y2=x2一2x一3. (2)作点D关于12的对称点 D'(2,一3)，将点F向右平移2个单 位长度(MN=2),连接D'F'交直线 L2于点N,过点N作NM⊥L1交于 点M,连接FM,如图所示. F'F∥MN,FF'=MN,则四边形 FF'NM是平行四边形，则FM FN, 则FM+MN+DN的最小值为F'N+ND'+MN=F'D'+十 2=√/(2+4)2+32+2=3√5+2. (3)存在，点P的坐标为(3,0)或（立，一12》 /9480\ 第14讲函数图象的分析与判断 【重点知识梳理】 ①y轴②x轴 【随手一练】A 【典型例题剖析】 【例1】C【变式训练1】D 【例2】A【变式训练2】A 【中考真题演练】 1.D2.D3.D4.A5.D 第15讲函数的实际应用 【重点知识梳理】 ①因变量②自变量③自变量的取值范围 ④函数值⑤函 数值 【随手一练1】30 ⑥反比例⑦待定系数法 【随手一练2】A ⑧待定系数⑨等量关系⑩最值 【随手一练3】D ①面积关系式②最值 【典型例题剖析】 【例1】解：(1)由图象可知，OA所在直线为正比例函数图象，.设 OA所在直线的解析式为y=kx. 把A(5,1000)的坐标代入，得1000=5k,k=200,.OA所在直线 的解析式为y=200x. (2)由题图可知甲机器人的速度为 1000÷5=200(米/分钟)， 乙机器人的速度为 1000÷10=100(米/分钟)， 1000 三10（分钟）. 100+2003 答：出发后甲机器人行走”分钟，与乙机器人相道 (3)设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为 200t米， 则乙机器人(t+1)分钟后到P地，P地与M地距离[1000一 100(t+1)]米， 由200t=1000一100(t+1),解得t=3, .200t=600. 答：P,M两地间的距离为600米. 【例2】解：(1)设康乃馨的单价是x元/枝，则玫瑰花的单价是 1.5x元/枝， 根据题意，得 3801800 =30, 1.5x 解得x=6, 经检验，x=6是所列方程的解，且符合题意； .1.5x=1.5×6=9(元). 答：玫瑰花的单价是9元/枝，康乃馨的单价是6元/枝 (2)设购进m枝玫瑰花，则购进(600一m)枝康乃馨， 根据题意，得m≥3(600-m), 解得m≥450. 设鲜花店老板再次购进玫瑰花和康乃馨的总花费为心元，则心= 9m+6(600-m), 即w=3m+3600 .3>0, ∴.w随m的增大而增大， ∴.当m=450时， w取得最小值，最小值为3×450+3600=4950（元）， 此时600-m=600一450=150（枝）. 答：当购进450枝玫瑰花，150枝康乃馨时花费最少，最少费用是 4950元. 【变式训练1】4500 【例3】解：(1)根据表中数据可知，f入=300是定值， ∴，反比例函数能反映波长λ与频率f的变化规律， 设波长入关于频率∫的函数解析式为X=冬：≠0)， 把(10,30)代入上式中，得 10 =30, 解得k=300, 入与∫的函数解析式为入=300 (2)f50, A≥0=6， .波长至少是6米 【变式训练2】解：(1y=1 x>2 (2)反比例函数解析式为y= 12 12 当y=0.3时x=0.3 =40(分钟). 答：从消毒开始，至少需要40分钟后，学生才能回到教室 【例4】450 【变式训练3】解：(1)根据题意，知较大矩形的宽为2x,长为 24-x-2x=(8-x)m, 3 ∴.(x十2x)(8-x)=36,解得x1=2,x2=6, 经检验，x=6时，3x=18>10不符合题意，舍去， .x=2. (2)设矩形养殖场的总面积是ym2 :墙的长度为10m0<x≤3 10 根据题意，得y=(x十2x)X(8-x)=一3x2十24x=-3(x 4)2+48. 一3<0，当z=名时，y取最大值，最大值为一3X (侣-4°+48=19(m). 答：当x=8时，矩形养殖场的总面积最大，最大面积为40m 10 3m2. 【例5】解：(1)设y与x之间的函数解析式是y=x+b, 由表格可得8十分二18： 解得台-2： 即y与x之间的函数解析式是y=一4x十324(30≤x≤80，且x 是整数) (2)由题意，得 w=x(-4x+324)-2000=-4x2+324x-2000, 即0与x之间的函数解析式是=一4x2+324x一2000(30≤ x≤80，且x是整数). (3)由(2)知w=-4x2+324x-200=-4(x-82)”+4561. 30≤x≤80，且x是整数， .当x=40或41时，0取得最大值，此时w=4560. 答：该影院将电影票售价x定为40元/张或41元/张时，每天获利 最大，最大利润是4560元. 【变式训练】懈：(1)：（合，暑）为粒物线的顶点， 可设抛物线解折式为=(：-》厂'+子 又抛物线过(2,4)， 1一4 a×+ .a=1. -(-》+好 (2)由题意，当销售量x=2时，成本最低为子万元。 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售y1(万元)与销售量 x(吨)的函数解析式为y1=5x, “当x=号时，销售额为y1=5x=5×2=2.5(万元). 7 此时利润为2.5-4=0,75（万元）. 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元. (3)由题意，利润=y1一y2 =5x- (x-)+ 112 77 =-x2十6x-2 =-(x-3)2+7. .-1<0, .当x=3时，利润取最大值，最大值为7. 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元 【中考真题演练】 1A2153(9,8） 4.解：(1)设线段AC所在直线的函数解析式为y=kx十b, ÷6+6245822, ,b=12, ∴.线段AC所在直线的函数解析式为y=-2.5x十12(0≤x< 3). (2).3×4.5=5×2.7=…=13.5, -13.5(x≥3. “y是x的反比例函数，y=x (3)该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高 允许的1.0mg/1.理由如下： 13.5=0.9. 当x=15时，y=15 13.5>0,∴.当x>0时，y随x的增大而减小， '.该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内不超过最高 允许的1.0mg/L. 5.解：(1)由题意，设一次函数的解析式为y=kx十b. 直线过点(100,300)，(120,200)， 100k+b=300, 120k+b=200, o0. ∴.所求函数解析式为y=一5x+800: (2)由题意，得x≥100， 1-5x+800≥220， ,.100x116. ·商场获得的利润=(x一80)（一5x+800) =-5x2+1200x-64000 =-5(x-120)2+8000. 又，-5<0,100x≤116， ∴.当x=116时，利润最大，最大值为7920. 答：当销售单价为116元/件时，商场获得利润最大，最大利润是 7920元. 6.解：(1)设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形面积为S平方 米，则平行于墙的边长为(120一3x)米. 根据题意，得S=x(120一3x)=一3x2十120x=-3(x一20)2十 1200. -3<0,.当x=20时，S取最大值1200， ..120-3x=120-3×20=60, ∴.垂直于墙的边长为20米，平行于墙的边长为60米，花园面积 最大为1200平方米. (2)设购买牡丹m株，则购买芍药1200×2一m=（2400一 m)株. 学校计划购买费用不超过5万元， ∴.25m+15(2400-m)≤50000， 解得m≤1400， ∴.最多可以购买1400株牡丹. 7.解：(1)不能.理由如下：1×1.5=1.5,2×2.5=5， .∴.1.5≠5， &不能选用函数y=工(m>0)进行模拟， (2)选用y=ax2一0.5x十c(a>0)最合理.理由如下： 由(1)可知不能选用函数y=”(m>0), 由(1,1.5)，(2,2.5)，(3,4.5)，(4,7.5)，(5,11.3)可知，x每增 大1个单位长度，y的变化不均匀， ·不能选用函数y=kx十b(k>0), 故只能选用函数y=ax2-0.5x十c(a>0)模拟. (3)把(1,1.5)，(2,2.5)分别代入y=ax2-0.5x+c(a>0),得 -0,5+c1.5解得a=0.5, l4a-1+c=2.5, lc=1.5, .y=0.5x2-0.5x+1.5. 当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5. .16.5>16, ∴.甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求. 小专题二反比例函数中的面积问题 1.B2.-43.B4.-45.1296.C 小专题三反比例函数中的几何问题 1.解：分情况讨论：(1)当AO=AB时，AB=5;(2)当AB=BO 时，AB=5;(3)当0A=0B时，设A(a,2)(a>0),B(5,0). 0A=5√a2+(g a l =5,解得a1=3,a2=4,.A(3,4)或 (4,3),∴.AB=√J(5-3)2+4=2√5或AB=√/(5-4)2+32 √/10. 综上所述，AB的长为5或2√5或√10. 2.解：(1)点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=x十b上， +80. 解得信二-公： ∴.直线的解析式为y=一2x一2.