第3章 函数及其图象 第13讲函数与方程、不等式的关系-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第13讲 函数与方程、不等式的关系（答案） 重点知识梳理 》》 解一元一次方程x十b=0(k≠0)台在一次函数y=kx十b 件y三x+b 中，当y=0时，求x的值（一次函数图象与x轴交点的横坐 一条一次函 标的值为① 数图象问题 0 解不等式kx十b>0或x十b<0(k≠0)曰在一次函数y= x十b中，当y>0或y<0时，求x的取值范围（当y>0 时，直线在x轴上方；当y<0时，直线在x轴下方) y=kix+61, 解方程组 (飞1≠k2)台两个一次函数图象的交 y=k2x十b2, 12y2=h2x+b2 点坐标为(m,n) 两条一次函 n 解不等式k1x十b1>k2x+b2(k1≠k2)或1x十b1<k2x十 数图象问题 Om b2(k1≠k2)台当y1>y2或y1<y2时，求x的取值范围 l:y=kx+b (以交点为界限，直线11位于直线L2上方时，y1>y2;直线 数与方 一次函 1位于直线l2下方时，y1<y2) 数，反比 例函数 解方程 =k2x十b(k1,k2≠0)曰两个函数图象的交点横坐 等 与方程、 X+ 不等式 标为x1=m,x2=n 的 关 的关系 一次函数与 反比例函数 解不等式>：+6或：<：g十b9当y≥或< 图象问题 y1 y2时，求x的取值范围 (以交点为界限，双曲线位于直线上方时，y1>y2;双曲线位 x+b 于直线下方时，y1<y2) 【随手一练1】在平面直角坐标系内，一次函数y=k1x十b1与y=k2x十b2(k1,b1,k2,b2 为常数)的图象如图所示，则关于x的不等式k1x十b1≥k2x十b2的解集为 y=kix+b 234x y=hxx+b2 数学·讲练册SD 57 方程ax2+bx十c=0(a≠0)的解台抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)与x轴的交点的 横坐标（以a>0为例） 当b2-4ac>0时，方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个不相等的实 数根：x1=m,x2=n台抛物线y=ax2十bz十c(a≠0)与x轴有 ③ 个交点，横坐标分别是③ 当b2一4ac=0时，方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两个相等的实数 根：x1=x2=之台抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴有一个交 函数 二次 点，横坐标为之 与方 函数 程、不与方 当b2-4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)④ 实数 等式 程的 根台抛物线y=a.x2十bx十c(a≠0)与x轴⑤ 交点 的关系关系 【随手一练2】(2023·青岛市北区一模)已知二次函数y=a.x2+bx十c中y与x的 部分对应值如下表： 012… 479 回答下列问题： (1)抛物线的对称轴是直线 (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是 (3)若方程a.x2+bx十c=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆● 命题点1】利用函数图象确定不等式的解集 集是( ) A.x<-2或0<x<1 方法指导→ B.x<-1或0<x<2 利用图象求值、取值范围或判断大小时，要 C.-2<x<0或x>1 能从纵、横两个方向分析图象的位置、数量关 D.-1<x<0或x>2 系，其中上、下对应函数值的大、小，左、右对应 【变式训练1】(2024·德州夏津模拟)如图所示， 自变量的小、大 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(一1,2) 和点B(一2,0)，一次函数y=mx的图象经过点 【例1】几何直观(2024·东营 ax+b A,则关于x的不等式组0<kx+b<mx的解集 一模)如图所示，一次函数y= 为() ax+b与反比例函数y= 2 A.x<-1 (k>0)的图象交于点A(1,2), B.x>-1 C.-2<x<-1 B(m,-1).则关于x的不等式ax十b>的解 D.-1<x<0 58 优学廉赢在中考 【变式训练2(2024·济宁邹城模拟)如图所示，①b>0; 二次函数y=ax2十c的图象与一次函数y= ②若0<x<1,则a(x-1)2+b(x-1)+c>1; mx十n的图象交于A(一2，p),B(1,q)两点，则 ③若a=-1,则关于x的一元二次方程ax2十 关于x的不等式ax2一mx+c>n的解集 bx十c=2无实数解； 是 ④点A(x1y1),B(x2,y2)在抛物线上，若x1十 21>x,总有<则0<m≤号 1 t2> 其中正确的是 (填序号) 命题点3】二次函数综合题 命题点2】二次函数与一元二次方程 方法指导→ 方法指导+ 图形的周长和面积最值问题是中考中经常 解此类题的关键是数形有机结合，灵活转 考查的，此类题含有两个变化的未知量，可以设 换.当y=m(m为常数)时，二次函数y=ax2十 其中一个为自变量，再利用图形中存在的等量关 bx十c(a≠0)就成为一元二次方程ax2+bx+ 系用这个自变量表示出另一个变化的未知量，从 c=m.方程若有解，其解就是抛物线y=ax2十 而利用图形周长或图形面积公式等列出二次函 bx十c与直线y=m交点的横坐标.同样地，不 数解析式，进而利用二次函数的性质求出最值 等式ax2十bx十c>m或ax2十bx十c<m的解 注意这里的等量关系可以是：周长或面积公式、 集为抛物线在直线y=m上方或下方部分点的 由相似得到的比例式、勾股定理、锐角三角函数等. 横坐标的取值范围. 【例3】探究拓展(2024·泰安中考)如图所示，抛 【例2】应用意识》(2024·菏泽郓城二模)若函数 物线Cy=ar2+号一4经过点D(1,-1,与 y=(m一3)x2一4x+2的图象与x轴只有一个 交点，则m的值是() x轴交于点A,B, A.3或5B.3 C.4 D.5 (1)求抛物线C1的表达式. 【变式训练3】(2024·辽宁中考)如图所示，在平 (2)将抛物线C1向右平移1个单位长度，再向上 面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx十3与 平移3个单位长度得到抛物线C2,求抛物线C2 x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0)，若点 的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上 C(2,3)在抛物线上，则AB的长为 (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P, 使△PBD是等腰直角三角形？若存在，请求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. C 【变式训练4】(2024·武汉中考)抛物线y= ax2十bx十c(a,b,c是常数，a<0)经过(-1,1)， (m,1)两点，且0<m<1.下列四个结论： 备用图 数学·讲练册SD 59 【自主解答】 (3)直线1绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转 t秒后(0≤t<45)得到直线1'，当'∥AB时，直 线l'交抛物线G于E,F两点，求t的值. 【变式训练5】(2024·广州中考节选)已知抛物线 G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点 A(x1,2)和点B(x2,2),直线l:y=m2x+n过 点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长 为C1,△CDB的周长为C2,且C1=C2十2. (1)求抛物线G的对称轴. (2)求m的值. 中考真题演练 8考点1)利用函数图象确定不等式的解集 A.当x>3时，y1<y2 1.(2023·潍坊中考，5,4分)如图所示，在平面直 B.当x<-1时，y1<y2 B3,1 角坐标系中，一次函数y1=x一2与反比例函 C.当0<x<3时，y1>y2 3 D.当一1<x<0时，A-1,-3 数y2=二的图象交于A,B两点，下列结论正 y1<y2 确的是( 60 优学秦赢在中考 2.(2024·威海中考，15,3分)如图所示，在平面8考点2)二次函数与一元二次方程 直角坐标系中，直线y1=ax十b(a≠0)与双曲 4.推理能力(2024·泰安中考，11,4分)如图所 线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2, 示是二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的部分 图象，该函数图象的对称轴是直线x=1,图象 一1).则满足y1≤y2的x的取值范围 与y轴交点的纵坐标是2.则下列结论： 是 ①2a+b=0;②方程ax2+bx+c=0一定有一 个根在一2和-1之间；③方程ax2十bx十c 三0一定有两个不相等的实数根；④6一a≤ 2.其中，正确结论的个数为( 3.几何直观◆(2024·泰安中考，21,9分)如图所 示，直线y1=x十b(k≠0)与反比例函数 y,=-8的图象相交于点A(-2,m,B(n, 一1)，与y轴交于点C. A.1个 B.2个 (1)求直线y1的解析式. C.3个 D.4个 (2)若y1>y2,请直接写出满足条件的x的取 5.(2024·济宁中考，14,3分)将抛物线y=x2一 值范围。 6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得 (3)过点C作x轴的平行线交反比例函数的图 到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围 象于点D,连接AD,求△ACD的面积. 是 6.(2022·青岛中考，18,6分)已知二次函数y= x2十mx+m2一3(m为常数，m>0)的图象经 过点P(2,4) (1)求m的值. (2)判断二次函数y=x2+mx+m2一3的图 象与x轴交点的个数，并说明理由. 数学·讲练册SD 8考点3)二次函数综合题 (3)如图②所示，点H的坐标为(0，一2)，动点 7.已知函数y=(x一a)2+(x-b)2(a,b为常 P在抛物线y2上，试探究是否存在点P,使 数)，设自变量x取x。时，y取得最小值. ∠PEH=2∠DHE?若存在，请直接写出所 (1)若a=-1,b=3,求x0的值. 有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明 (2)在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)在 理由. 双庙线y=-2上，且x,=分求点P到y轴 的距离. (3)当a2-2a-2b+3=0,且1≤x<3时，分 ② 析并确定整数a的个数. 8.探究拓展(2024·烟台中考)如图所示，抛物线 y1=ax2十bx十c与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,OC=OA,AB=4,对称轴为直 线11：x=一1.将抛物线y1绕点O旋转180° 后得到新抛物线y2,抛物线y2与y轴交于点 D,顶点为E,对称轴为直线12· (1)分别求抛物线y1和y2的表达式. (2)如图①所示，点F的坐标为（一6,0），动点 M在直线L1上，过点M作MN∥x轴与直线 l2交于点N,连接FM,DN,求FM+MN+ DN的最小值， 62 优学秦赢在中考则CD、DE OB AB 因为DE= 8AB,OB=4, 所以CD=2 令点C坐标为(m,-m2+2m+8), 则点D坐标为（分m-,一m+2m十8）， 所以CD=m (合m2-m）=-m2+2m 1 则、 3 2m+2m=2, 解得m=1或3. 当m=1时，-m2+2m十8=9； 当m=3时，-m2+2m十8=5. 所以点C的坐标为(1,9)或(3,5) 【变式训练3】 解：(1)把A(-1,0)的坐标代入y=x2-x十c,得0=1+1十c, 解得c=一2， ∴.抛物线的解析式为y=x2一x一2. (2:y=x2-x-2=(x-2）-4 1129 “地物线y=-工一2开日向上，顶点坐标为（分，-），对称 轴为直线x=2 1 10-2<12-2, ∴.若0<x≤2，则当x=2时，y取最大值22一2一2=0； 当x=弓时，y取最小值-是 ∴当0<r<2时，函数值的取值范围是-号<y<0. 【中考真题演练】 1.y=8 2.y=一x十1（答案不唯一） 3.解：(1)反比例函数y=的图象过A(-1,4),B(a,-1D两点， .m=-1X4=a·(-1),.m=-4,a=4, 六反比例函数的解析式为y=一兰，B(,一1D。 把A,B的全标分别代入y一红中6：得他。=”舒 得=-1， b=3, .一次函数的解析式为y=一x十3. (2).A(-1,4),B(4,-1),P(n,0),BQ∥AP,BQ=AP, .四边形APQB是平行四边形. 又：点A向左平移(-1一n)个单位长度，向下平移4个单位长 度得到点P, .点B(4,一1)向左平移（一1一n)个单位长度，向下平移4个单 位长度得到点Q(5十n,-5). :点Q在y=-4的图象上，-5=一5十元 4 解得n=-21 5 经检验m=-符合题意∴Q(台，一5) 如图所示，连接AQ,交x轴于点C,设直 线AQ的解析式为y='x+b',将 A(-1,),Q(告，-5)的坐标分别代 入，得 1-k′+b'=4, 6465角得伦-： .直线AQ的解析式为y=-5x一1. 令y=0,则x=-号c(日0)， 121=4,:SAurg =Saurc+SAor=2X4X PC=- 十5 (4+5)=18, 七四边形APQB的面积为36，故n=一符合题意 4.解：(1)，抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x一1)2+2a2- a-3. ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. (2)抛物线的顶点在x轴上， .2a2-a-3=0, 解得a=2或a=-1 ∴抛物线解析式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1. 3 (3),抛物线的对称轴为直线x=1, 则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为（一1，y2), ∴.当a>0,-1<m<3时，y1<y2;当a<0,m<-1或m>3 时，y1<y2. 5.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4, ·A(1,0),B(5,0). 将A(1,0)的坐标代入y=kx一1，得一1=0，解得k=1. ∴.直线AD的解析式为y=x一1. 将A(1,0),B(5,0)的坐标分别代人y=ax2十bx十5，得 侣站8十80解架份，甜省线的解标式为y-产 b=-6, 6.x+5. (2)存在..直线AD的解析式为y=x一1，抛物线对称轴为直线 x=3,与x轴交于点E, .当x=3时，y=x-1=2,.D(3,2) ①当∠DAM=90°时，设直线AM的解析式为y=一x十c,将点 A(1,0)的坐标代入， 得-1十c=0,解得c=1,.直线AM的解析式为y=一x+1, y=十1，.得z=(舍去)或z=42 联立y=x2-6x+5, y=0 y=3,点M的 坐标为(4，一3). ②当∠ADM=90°时， 设直线DM的解析式为y=一x+d,将D(3,2)的坐标代入，得 一3+d=2,解得d=5, ∴.直线DM的解析式为y=一x+5. 联立/y=-x+5, y=x2-6.x+5, 解得任=0或红=5， y=5 y=0, .点M的坐标为(0,5)或(5,0). 综上所述，点M的坐标为(4，一3)或(0,5)或(5,0). 第12讲函数图象的平移 【重点知识梳理】 ①y=k(x士m)+b②y=kx+b士n 【随手一练1】C ③形状 【随手一练2】B 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训练1】A 【例2】B【变式训练2】D 【中考真题演练】 1.A 2.-5<m<13.C4.B5.(1,2) 第13讲函数与方程、不等式的关系 【重点知识梳理】 ①x=m 【随手一练1】x≥2 ②两③m,n④没有⑤没有 【随手-练211z-号(2)-1<x<8(8<8 7 【典型例题剖析】 【例1C【变式训练1】C【变式训练2】-2<x<1 【例2】A【变式训练3】4 【变式训练4】②③④ 【例3】解：(1)将点D的坐标代入抛物线解析式，得一1=a+ 4 3 一4， 5 解得a=3’ 则靴物线C的表达式为y-号2+ 5 3x-4. (2)由题意得Cy-名-1)+专2-1)-4十3=号(x 》- 当x-1时w-(-》广-号×(1-》-8-1 故点D在抛物线C2上. (3)存在，理由： 当∠BDE为直角时， 如图①所示，过点D作DE⊥BD且DE=BE,连接BE,则△BDE 为等腰直角三角形，过点D,E分别作x轴、y轴的平行线，交于点 H,过点B作BG⊥DH,交直线DH于点G, 4 C ① 2 .'∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， .∠BDG=∠DEH. 又，∠DGB=∠EHD=90°， .△DGB≌△EHD(AAS), DH=BG=1,EH=GD=1+2=3, 则点E(2,2) 当x=2时=（-)广--号×(2-号）--2， 即点E在抛物线C?上， 点P即为点E(2,2). 当∠DBP为直角时，如图②所示， 同理可得：△BGE≌△DHB(AAS), 则DH=3=BG,BH=1=GE, 则点E(-1,3). 当x=-1时y（--号×(1-号》广-= 即点E在抛物线C2上， 点P即为点E(-1,3). 当∠BPD为直角时，如图③所示， 设点E(x,y), 4 同理可得：△EHB≌△DGE(AAS), C 则EH=x十2=GD=y十1且BH=y H GE=1-x, 解得x=0且y=1,即点E(0,1). 当x=0时y=号(x-是)°-号 5( 号×(0》1， 即点E不在抛物线C2上. 3 综上，点P的坐标为(2,2)或（一1,3）. 【变式训练5】解：(1)由抛物线的解析式知，其对称轴为直线x= b 2a=-2a '.抛物线G的对称轴为直线x=3. (2)直线l:y=m2x+n过点C(3,1),则该直线的解析式为y= m2(x-3)+1, 当y=2时，2=m2(x一3)+1， 则xD= ,C1=C2+2, AC+CD+AD=BC+CD+BD+2, 其中，AC=BC,上式变为AD=BD十2， 即2xD=x1十x2十2， 而抛物线的对称轴为直线x=3,由抛物线的对称性知，x1十x2= 2×3=6, 即2xD=x1十x2十2=8， 则xn=4=m+3, 解得m=士1. (3)当m=士1时，直线1的解析式为y=m2(x一3)+1=x一2， 该直线和x轴的夹角为45°， 则t=45÷3=15. 【中考真题演练】 1.B2.-1≤x<0或x≥2 3.解：(1)分别将点A(-2,m)、点B(n,一1)的坐标代入y2= 即-2m=一8，一n=一8， 解得m=4,n=8, .A点坐标为(-2,4)，B点坐标为(8，一1). 把A点坐标(-2,4)，B点坐标(8，一1)分别代入y1=kx十b, 1 即。-：解 k=一2 b=3. 1 一次函数解析式为八=一2x十3. (2)由图象可知， 当y1>y2时，x<-2或0<x<8 (3)易得C点坐标为(0,3)， 把y=3代人y,=-8中，得z=-8 3, D点坐标为(-93)，CD= 31 ×8×(4-3)=3 :.SAACD=2 4 4.B5.k≥3 6.解：(1)将P(2,4)的坐标代人y=x2+mx十m2一3，得4=4+ 2m+m2-3, 解得m1=1,m2=-3. 又.m>0, .m=1. (2)两个交点.理由如下： .m=1, y=x2+x-2. .△=b2-4ac=12十8=9>0， .二次函数图象与x轴有两个交点. 7.解：(1)若a=-1,b=3,则y=(x+1)2+(x-3)2=2x2- 4x+10. -4 :当x=一2×21时y取得最小值， x0=1. (2):点P(a,b)在双曲线y=一2上， y=红-a+(+2)=2-(a)k+a+4 x0一 2×2 21 ∴.a1=2,a2=-1. 当a=2时，点P到y轴的距离为2； 当a=一1时，点P到y轴的距离为1. 综上所述，点P到y轴的距离为2或1. (3).a2-2a-2b+3=0, 6=a2-2a+3 2 由题意，得xo= +b-a2+3.1≤<3， 2 4 1≤a+3<3, 4 整理，得1≤a2<9, ∴.-3<a≤-1或1≤a<3 ,a为整数. ∴.a=-2或-1或1或2，共4个. 8.解：(1)设点A,B的坐标分别为(t,0),(t十4,0)， 则z=-1=2红++， 解得t=一3， 即点A,B的坐标分别为（一3,0），(1,0) OC=OA,则点C(0,3), 则抛物线y1的表达式为y1=a(x十3)(x-1)=a(x2+2x-3), 则一3a=3,则a=一1， 则y1=-x2-2x+3. 根据图形的对称性，得y2=x2一2x一3. (2)作点D关于12的对称点 D'(2,一3)，将点F向右平移2个单 位长度(MN=2),连接D'F'交直线 L2于点N,过点N作NM⊥L1交于 点M,连接FM,如图所示. F'F∥MN,FF'=MN,则四边形 FF'NM是平行四边形，则FM FN, 则FM+MN+DN的最小值为F'N+ND'+MN=F'D'+十 2=√/(2+4)2+32+2=3√5+2. (3)存在，点P的坐标为(3,0)或（立，一12》 /9480\ 第14讲函数图象的分析与判断 【重点知识梳理】 ①y轴②x轴 【随手一练】A 【典型例题剖析】 【例1】C【变式训练1】D 【例2】A【变式训练2】A 【中考真题演练】 1.D2.D3.D4.A5.D 第15讲函数的实际应用 【重点知识梳理】 ①因变量②自变量③自变量的取值范围 ④函数值⑤函 数值 【随手一练1】30 ⑥反比例⑦待定系数法 【随手一练2】A ⑧待定系数⑨等量关系⑩最值 【随手一练3】D ①面积关系式②最值 【典型例题剖析】 【例1】解：(1)由图象可知，OA所在直线为正比例函数图象，.设 OA所在直线的解析式为y=kx. 把A(5,1000)的坐标代入，得1000=5k,k=200,.OA所在直线 的解析式为y=200x. (2)由题图可知甲机器人的速度为 1000÷5=200(米/分钟)， 乙机器人的速度为 1000÷10=100(米/分钟)， 1000 三10（分钟）. 100+2003 答：出发后甲机器人行走”分钟，与乙机器人相道 (3)设甲机器人行走t分钟时到P地，P地与M地距离为 200t米， 则乙机器人(t+1)分钟后到P地，P地与M地距离[1000一 100(t+1)]米， 由200t=1000一100(t+1),解得t=3, .200t=600. 答：P,M两地间的距离为600米. 【例2】解：(1)设康乃馨的单价是x元/枝，则玫瑰花的单价是 1.5x元/枝， 根据题意，得 3801800 =30, 1.5x 解得x=6, 经检验，x=6是所列方程的解，且符合题意； .1.5x=1.5×6=9(元). 答：玫瑰花的单价是9元/枝，康乃馨的单价是6元/枝 (2)设购进m枝玫瑰花，则购进(600一m)枝康乃馨， 根据题意，得m≥3(600-m), 解得m≥450. 设鲜花店老板再次购进玫瑰花和康乃馨的总花费为心元，则心= 9m+6(600-m), 即w=3m+3600 .3>0, ∴.w随m的增大而增大， ∴.当m=450时， w取得最小值，最小值为3×450+3600=4950（元）， 此时600-m=600一450=150（枝）. 答：当购进450枝玫瑰花，150枝康乃馨时花费最少，最少费用是 4950元. 【变式训练1】4500 【例3】解：(1)根据表中数据可知，f入=300是定值， ∴，反比例函数能反映波长λ与频率f的变化规律， 设波长入关于频率∫的函数解析式为X=冬：≠0)， 把(10,30)代入上式中，得 10 =30, 解得k=300, 入与∫的函数解析式为入=300 (2)f50, A≥0=6， .波长至少是6米 【变式训练2】解：(1y=1 x>2 (2)反比例函数解析式为y= 12 12 当y=0.3时x=0.3 =40(分钟). 答：从消毒开始，至少需要40分钟后，学生才能回到教室 【例4】450 【变式训练3】解：(1)根据题意，知较大矩形的宽为2x,长为 24-x-2x=(8-x)m, 3 ∴.(x十2x)(8-x)=36,解得x1=2,x2=6, 经检验，x=6时，3x=18>10不符合题意，舍去， .x=2. (2)设矩形养殖场的总面积是ym2 :墙的长度为10m0<x≤3 10 根据题意，得y=(x十2x)X(8-x)=一3x2十24x=-3(x 4)2+48. 一3<0，当z=名时，y取最大值，最大值为一3X