第3章 函数及其图象 第11讲函数的解析式-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第11讲 函数的解析式（答案P6) ◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 重点知识梳理 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 1.设函数解析式为① 2.把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数解析式中，得到关于待定系数 步骤 的方程（组） 3.解方程（组），求出待定系数的值，写出函数解析式 一次 1.已知两点坐标确定函数解析式 函数 常见类型2.已知两对函数对应值确定函数解析式 解析 3.通过平移规律确定函数解析式 式 【随手一练1】(2023·福州模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2,0),点A'(-2,4).若点A与点A'关于直线1成轴 对称，则直线1的函数解析式是() A.y=2 B.y=x C.y=x+2 D.y=-x+2 求反比1.设函数解析式为y=(k≠0) 待定 例函数 2.列方程 解析式 函 系数 3.解方程确定② 的值 数 法求 的步骤 4.确定函数解析式 解函数 三种形式： 式 的解 形式 所设函数解析式 适合的条件 析式 一般式 y=a.x2+bx+c(a≠0) 任意三个点 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) 顶点十其他一点/对称轴十其他两点 与x轴的两个交点十其他一点 交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 与x轴的一个交点十对称轴+ 二次 其他一点 函数 解析 [1.根据所给点的坐标设适当的函数解析式 式 2.代入点的坐标：将已知点的坐标代入相应函数解析式中，得到关于待定系数的 步骤 方程（组） 3.求解：解方程（组）求出待定系数的值，从而得出函数解析式 【随手一练2】一题多解如图所示，已知四边形ABCD是菱形， 点D的坐标是(0,3)，以点C为顶点的抛物线y=ax2+bz十c 恰好经过x轴上A,B两点，则经过A,B,C三点的抛物线的解 析式为 0 数学·讲练册SD 51 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《 典型例题剖析 》◆◆0◆小0◆4◆◆0◆◆◆0◆◆◆◆◆4◆◆◆00◆0000◆e 命题点1】用待定系数法求一次函数和反比 【变式训练1】运算能力》(2024·盐城中考)小明 在草稿纸上画了某个反比例函数在第二象限内 例函数的解析式 的图象，并把直尺放在上面，如图所示. 方法指导→ 请根据图中信息，求： 确定一次函数y=kx十b的解析式，就是求 (1)反比例函数解析式. 出待定量k和b,一般运用待定系数法，建立一 (2)点C的坐标. 元一次方程组求解；确定反比例函数y=的解 析式，只需一个条件即可确定k的值，这个条件 可以是图象上一点的坐标，也可以是x,y的一 对对应值. 【例1】(2023·湘潭中考)如图所示，点A的坐标是 (-3,0),点B的坐标是(0,4)，点C为OB的中 点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到 △A'BC'. (I)反比例函数y=二的图象经过点C',求该反 比例函数的解析式. (2)一次函数图象经过A,A'两点，求该一次函数 【变式训练2】(2024·江西中考)如图所示， 的解析式. △AOB是等腰直角三角形，∠ABO=90°，双曲 线y= （>0，>0)经过点B,过点A,0)作 x轴的垂线交双曲线于点C,连接BC (1)点B的坐标为 (2)求BC所在直线的解析式. 【自主解答】 52 优学秦赢在中考 命题点2】待定系数法求二次函数解析式 【变式训练3】(2024·德阳中考节选)如图所示， 抛物线y=x2一x十c与x轴交于点A(一1,0)和 方法指导→ 点B,与y轴交于点C 用待定系数法求二次函数解析式，需根据 (1)求抛物线的解析式. 已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个 (2)当0<x≤2时，求y=x2一x十c的函数值的 点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与 取值范围. x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛 物线顶点坐标或对称轴与最大（小）值，可设顶 点式 【例2】几何直观)(2024·东营一模)如图所示，在 平面直角坐标系xOy中，直线y=一2x十8与抛 物线y=一x2+bx+c交于A,B两点，点B在 x轴上，点A在y轴上. (1)求抛物线的函数表达式. (2)点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C 分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D, 3 E.当DE=8AB时，求点C的坐标. 【自主解答】 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆心 凸考点1)求一次函数和反比例函数解析式 丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙 述如下： 1.(2023·青岛中考，13,3分)反比例函数y=m 甲：函数的图象经过点(0,1)； 的图象经过点A(m,g),则反比例函数的解析 乙：y随x的增大而减小； 丙：函数的图象不经过第三象限， 式为 根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函 2.结论开放》(2021·潍坊中考，13,4分)甲、乙、 数解析式为 数学·讲练册SD 53 3.几何直观》(2023·聊城中考，23,8分)如图所5.推理能力》(2023·烟台中考节选，24,13分)如 示，一次函数y=kx十b的图象与反比例函数 图所示，抛物线y=ax2十bx+5与x轴交于 y=”的图象相交于A(-1,4),B(a,-1） A,B两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的 对称轴直线x=3与经过点A的直线y=kx一1 两点 交于点D,与x轴交于点E (1)求反比例函数和一次函数的解析式. (1)求直线AD及抛物线的解析式. (2)点p(n,0)在x轴负半轴上，连接AP,过 (2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM 点B作BQ∥AP,交y-m的图象于点Q,连接 是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求 出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由. PQ.当BQ=AP时，若四边形APQB的面积 为36，求n的值. B龙 丛考点2)求二次函数解析式 4.(2020·临沂中考，25,11分)已知抛物线y= ax2-2ax-3+2a2(a≠0)， (1)求这条抛物线的对称轴. (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式. (3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上，若 y1<y2,求m的取值范围. 54 优学秦赢在中考(2)由表格信息可得：两个函数图象的交点坐标分别为 (←名-2），1,0，知图所示， 81 -765-4不-2-Jp12345678x ∴当y=2x十6的图象在y=冬的图象上方时，x的取值范围 为音<：<0或>1 4.C5246.a2-62 9.②③④ 2a .c825 10.解：(1)①=②<③> (2).x1=1,2<x2<3,.3<x2十x1<4， .3<-b<4,.-4<b<-3. (3)抛物线y=x2+bx十c(b<0)的顶点坐标为(-名， ),对称轴为直线x=一合>0， 4c-b2 当x=0时，y=c； 当x=1时，y=1+b十c ①当？<-合<1，即-2<6<-1时，在2=0处取得最大 值，在顶点处取得最小值， 则c-4c-b29 416 解得6=名（含去）或6=名 3 ②当0<-？<2，即-1<6<0时，在x=1处取得最大值， 在顶点处取得最小值， 则1+b+c-4c-b29 4 7 1 解得6=一2（舍去）或6=一2： ③当-2>1，即6<-2时，在x=0处取得最大值，在x=1 处取得最小值，则有c一(1+b+)=6, 9 解得6=瓷（合去）。 综上所述，6的值为-号或-号 1 第11讲函数的解析式 【重点知识梳理】 ①y=kx十b(k≠0) 【随手一练1】C ②k 【随手一练2】y=一√5x2+4√5x一3√3 【典型例题剖析】 【例1】解：(1)·点A的坐标是（一3,0），点B的坐标是(0,4)，点C 为OB的中点， ∴.OA=3,OB=4,∴.BC=2. 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC', .C(2,4). :反比例函数y=的图象经过点C,“k=2X4=8,该反比 例函数的解析式为)= (2)如图所示，过点A'作A'H⊥y轴，垂 足为H. :∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°， .∠ABO+∠A'BH=90°，∠ABO+ ∠BAO=90°， .∠BAO=∠A'BH. 又，BA=BA',∴.△AOB≌△BHA (AAS), ..OA=BH,OB=A'H. .OA=3,OB=4,.BH=OA=3,A'H=OB=4,.OH=1, A'(4,1). 设一次函数的解析式为y=ax十b(a≠0)， 把A(-3,0),A'(4,1)的坐标分别代人，得仁30+b-0, 4a+b=1, 1 a7’ 解得 3 b=7 1 3 ∴该一次函数的解析式为y=7x十7 【变式训练1】解：(1)由题图，知点A的坐标为（一3,2）， “反比例函数图象过点A,设反比例函数解析式为y=飞 ∴.k=一6， ·反比例函数解析式为y=一6 x (2)由题意，得直线0A的解析式为y=一31， 2 由图象可知，直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC,故直 2 线BC的解析式为y=一3x+3, y= 联立方程组 3x+3, 解得 t=-3 2'或x=6,(舍去) 6 y (y=-1, y=4, x “点C的坐标为（是4） 【变式训练2】解：(1)(2,2) (2)将点B的坐标代入反比例函数解析式，得 k=2X2=4, .4 反比例函数解析式为y=工 AC⊥x轴，∴xc=xA=4. 将x=4代人反比例函数解析式，得 y=1, .点C的坐标为(4,1). 设BC所在直线的函数解析式为y=mx十n, 将点B和点C的坐标分别代入函数解析式，得 2m十n=2,解得 m=-2 4m+n=1, n=3, 1 所以BC所在直线的函数解析式为y=一2x十3. 【例2】解：(1)令x=0,得y=8, 所以点A的坐标为(0,8). 令y=0,得x=4, 所以点B的坐标为(4,0) 将A,B两点坐标分别代人二次函数解析式，得 c=8, 1-16+4b+c=0, 解得6=2， lc=8, 所以抛物线的函数解析式为y=一x2十2x十8. (2)因为CD∥x轴，CEy轴， 所以△AOB∽△ECD, 则CD、DE OB AB 因为DE= 8AB,OB=4, 所以CD=2 令点C坐标为(m,-m2+2m+8), 则点D坐标为（分m-,一m+2m十8）， 所以CD=m (合m2-m）=-m2+2m 1 则、 3 2m+2m=2, 解得m=1或3. 当m=1时，-m2+2m十8=9； 当m=3时，-m2+2m十8=5. 所以点C的坐标为(1,9)或(3,5) 【变式训练3】 解：(1)把A(-1,0)的坐标代入y=x2-x十c,得0=1+1十c, 解得c=一2， ∴.抛物线的解析式为y=x2一x一2. (2:y=x2-x-2=(x-2）-4 1129 “地物线y=-工一2开日向上，顶点坐标为（分，-），对称 轴为直线x=2 1 10-2<12-2, ∴.若0<x≤2，则当x=2时，y取最大值22一2一2=0； 当x=弓时，y取最小值-是 ∴当0<r<2时，函数值的取值范围是-号<y<0. 【中考真题演练】 1.y=8 2.y=一x十1（答案不唯一） 3.解：(1)反比例函数y=的图象过A(-1,4),B(a,-1D两点， .m=-1X4=a·(-1),.m=-4,a=4, 六反比例函数的解析式为y=一兰，B(,一1D。 把A,B的全标分别代入y一红中6：得他。=”舒 得=-1， b=3, .一次函数的解析式为y=一x十3. (2).A(-1,4),B(4,-1),P(n,0),BQ∥AP,BQ=AP, .四边形APQB是平行四边形. 又：点A向左平移(-1一n)个单位长度，向下平移4个单位长 度得到点P, .点B(4,一1)向左平移（一1一n)个单位长度，向下平移4个单 位长度得到点Q(5十n,-5). :点Q在y=-4的图象上，-5=一5十元 4 解得n=-21 5 经检验m=-符合题意∴Q(台，一5) 如图所示，连接AQ,交x轴于点C,设直 线AQ的解析式为y='x+b',将 A(-1,),Q(告，-5)的坐标分别代 入，得 1-k′+b'=4, 6465角得伦-： .直线AQ的解析式为y=-5x一1. 令y=0,则x=-号c(日0)， 121=4,:SAurg =Saurc+SAor=2X4X PC=- 十5 (4+5)=18, 七四边形APQB的面积为36，故n=一符合题意 4.解：(1)，抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x一1)2+2a2- a-3. ∴.抛物线的对称轴为直线x=1. (2)抛物线的顶点在x轴上， .2a2-a-3=0, 解得a=2或a=-1 ∴抛物线解析式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1. 3 (3),抛物线的对称轴为直线x=1, 则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为（一1，y2), ∴.当a>0,-1<m<3时，y1<y2;当a<0,m<-1或m>3 时，y1<y2. 5.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4, ·A(1,0),B(5,0). 将A(1,0)的坐标代入y=kx一1，得一1=0，解得k=1. ∴.直线AD的解析式为y=x一1. 将A(1,0),B(5,0)的坐标分别代人y=ax2十bx十5，得 侣站8十80解架份，甜省线的解标式为y-产 b=-6, 6.x+5. (2)存在..直线AD的解析式为y=x一1，抛物线对称轴为直线 x=3,与x轴交于点E, .当x=3时，y=x-1=2,.D(3,2) ①当∠DAM=90°时，设直线AM的解析式为y=一x十c,将点 A(1,0)的坐标代入， 得-1十c=0,解得c=1,.直线AM的解析式为y=一x+1, y=十1，.得z=(舍去)或z=42 联立y=x2-6x+5, y=0 y=3,点M的 坐标为(4，一3). ②当∠ADM=90°时， 设直线DM的解析式为y=一x+d,将D(3,2)的坐标代入，得 一3+d=2,解得d=5, ∴.直线DM的解析式为y=一x+5. 联立/y=-x+5, y=x2-6.x+5, 解得任=0或红=5， y=5 y=0, .点M的坐标为(0,5)或(5,0). 综上所述，点M的坐标为(4，一3)或(0,5)或(5,0). 第12讲函数图象的平移 【重点知识梳理】 ①y=k(x士m)+b②y=kx+b士n 【随手一练1】C ③形状 【随手一练2】B 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训练1】A 【例2】B【变式训练2】D 【中考真题演练】 1.A 2.-5<m<13.C4.B5.(1,2) 第13讲函数与方程、不等式的关系 【重点知识梳理】 ①x=m 【随手一练1】x≥2 ②两③m,n④没有⑤没有 【随手-练211z-号(2)-1<x<8(8<8 7