第3章 函数及其图象 第10讲函数的图象与性质-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

-2-101234 7.解：解不等式①，得x<3. 解不等式②，得x≥1 .原不等式组的解集为1≤x<3, .整数解为1,2. 8.解：(1)设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 根据题老，得130240X102-=730. 解得/x=58, y=44 答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人. (2)设游客人数为m人，根据题意，得50m>45×51, 解得m>45.9. 又，m为正整数，.m的最小值为46. 答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种 节省. 9.解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个键子需要y元 依题意，得2.x十5y=32, 4x+3y=36, 解得x=6, y=4. 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个键子需要4元 (2)设购买m根跳绳，则购买(54一m)个键子， 依题意，得6m+4(54-m)≤260， lm>20, 解得20<m≤22. 又.m为正整数 ∴.m可以为21,22 .共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个键子； 方案2：购买22根跳绳，32个毽子. 第二章易错集训 1.解：原方程可整理得y-(4y+20)=3+y十3 2 方程两边同时乘2，得2y-2(4y+20)=6十(y十3)， 去括号，得2y-8y-40=6十y+3, 移项，得2y-8y-y=6+3+40, 合并同类项，得一7y=49, 系数化为1，得y=-7. 2.解：去分母，得12-2(x十3)=x-3, 去括号，得12-2x-6=x-3, 移项，合并同类项，得3x=9, 解得x=3, 经检验，x=3是增根，分式方程无解 3.解：由①得x<3, 由②得x≥1， .原不等式组的解集为1≤x<3, .原不等式组的整数解为1,2. 4.A5.A 6.1 7.解：(1)p1 (2)x1十x2=p,x1x2=1, 1+ 1x2十x=卫 x1x2=1=p. ,关于x的一元二次方程x2一x十1=0(p为常数)有两 相等的实数根x1和x2, .x-px1+1=0, x1-p+1=0,即1+ 1 C1 ℃1 (3)由根与系数的关系得x1十x2=p,x1x2=1. .x+x2=2p+1, (x1十x2)2-2x1x2=2p+1, .p2-2=2p+1, 解得p1=3,p2=-1, 当力=3时，4=p2-4=9-4=5>0, 当p=-1时，△=p2一4=一3<0， .p=3. 8.解：(1)设矩形花坛的宽是x米，则长是(x+15)米， 依题意得50×32-4x·(x+15)-3×(10÷2)2=1125, 整理，得x2+15x一100=0， 解得x1=5,x2=一20（不合题意，舍去）. 答：矩形花坛的宽是5米 (2)设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×(5+ 15)-y]=(400-y)平方米， 依题意得100y+120(400-y)≤42000， 解得y≥300. 答：至少要安排甲队施工300平方米. 9.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克 的价格是y元， 根据题意，得300x+300y=15000, x-y=2, 门票 解得/=26， y=24. 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价 格是24元， (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是平方米，则乙每小时粉刷 外墙的面积是5m平方米， 根据题意，得500_500-5， 4 m 解得m=25, 经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 第三章函数及其图象（课程标准理念，单元整合设计） 第9讲平面直角坐标系与函数的初步认识 【重点知识梳理】 ①x轴②y轴③y>0④x<0⑤y<0⑥x>0⑦y=0 ⑧x=0⑨坐标原点⑩纵坐标①横坐标②横坐标 ⑧纵坐标相等⑤互为相反数⑥√x2+y ⑦|x1-x2|⑧|y1-y2|0√+y@(x,-y) ④(-x,y)②(-x,-y)⑧(x士a,y)@(x,y士b) ⑤唯一团不变⑦x≥一a且x卡0 【随手一练】B 【典型例题剖析】 【例1】B【变式训练1】(2,0) 【例2】B【变式训练2】x>1且x≠2 【例3】D【变式训练3】B 【中考真题演练】 1.4,1)2.20223.(2,1)4.B5.A6.≠17.7y8 2 第10讲函数的图象与性质 【重点知识梳理】 00@y= ③ax2+bx+c④y=ax2+bx+c(a≠0) ⑤(h,k)⑥y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)⑦-、三、四 ⑧二、三、四⑨减小①k①二、四②减小⑧增大 【随手一练1】B 思品®（←名“。） ⑥减小⑦增大⑧增大 个不 ©减小④小①大②上⑧下④左西右四正⑦负 ⑧两个不同 【随手一练2】C 【典型例题剖析】 【例1】A【变式训练1】A【变式训练2】(-3,1) 【例2】C【变式训练3】C【变式训练4】2√5-2 【例3】A【变式训练5】D 【变式训练6】①②④ 【例4】A【变式训练7】D 【中考真题演练】 1.C2.B 7 3.解：(1)a=-2,b=5.7-2-2 5 (2)由表格信息可得：两个函数图象的交点坐标分别为 (←名-2），1,0，知图所示， 81 -765-4不-2-Jp12345678x ∴当y=2x十6的图象在y=冬的图象上方时，x的取值范围 为音<：<0或>1 4.C5246.a2-62 9.②③④ 2a .c825 10.解：(1)①=②<③> (2).x1=1,2<x2<3,.3<x2十x1<4， .3<-b<4,.-4<b<-3. (3)抛物线y=x2+bx十c(b<0)的顶点坐标为(-名， ),对称轴为直线x=一合>0， 4c-b2 当x=0时，y=c； 当x=1时，y=1+b十c ①当？<-合<1，即-2<6<-1时，在2=0处取得最大 值，在顶点处取得最小值， 则c-4c-b29 416 解得6=名（含去）或6=名 3 ②当0<-？<2，即-1<6<0时，在x=1处取得最大值， 在顶点处取得最小值， 则1+b+c-4c-b29 4 7 1 解得6=一2（舍去）或6=一2： ③当-2>1，即6<-2时，在x=0处取得最大值，在x=1 处取得最小值，则有c一(1+b+)=6, 9 解得6=瓷（合去）。 综上所述，6的值为-号或-号 1 第11讲函数的解析式 【重点知识梳理】 ①y=kx十b(k≠0) 【随手一练1】C ②k 【随手一练2】y=一√5x2+4√5x一3√3 【典型例题剖析】 【例1】解：(1)·点A的坐标是（一3,0），点B的坐标是(0,4)，点C 为OB的中点， ∴.OA=3,OB=4,∴.BC=2. 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC', .C(2,4). :反比例函数y=的图象经过点C,“k=2X4=8,该反比 例函数的解析式为)= (2)如图所示，过点A'作A'H⊥y轴，垂 足为H. :∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°， .∠ABO+∠A'BH=90°，∠ABO+ ∠BAO=90°， .∠BAO=∠A'BH. 又，BA=BA',∴.△AOB≌△BHA (AAS), ..OA=BH,OB=A'H. .OA=3,OB=4,.BH=OA=3,A'H=OB=4,.OH=1, A'(4,1). 设一次函数的解析式为y=ax十b(a≠0)， 把A(-3,0),A'(4,1)的坐标分别代人，得仁30+b-0, 4a+b=1, 1 a7’ 解得 3 b=7 1 3 ∴该一次函数的解析式为y=7x十7 【变式训练1】解：(1)由题图，知点A的坐标为（一3,2）， “反比例函数图象过点A,设反比例函数解析式为y=飞 ∴.k=一6， ·反比例函数解析式为y=一6 x (2)由题意，得直线0A的解析式为y=一31， 2 由图象可知，直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC,故直 2 线BC的解析式为y=一3x+3, y= 联立方程组 3x+3, 解得 t=-3 2'或x=6,(舍去) 6 y (y=-1, y=4, x “点C的坐标为（是4） 【变式训练2】解：(1)(2,2) (2)将点B的坐标代入反比例函数解析式，得 k=2X2=4, .4 反比例函数解析式为y=工 AC⊥x轴，∴xc=xA=4. 将x=4代人反比例函数解析式，得 y=1, .点C的坐标为(4,1). 设BC所在直线的函数解析式为y=mx十n, 将点B和点C的坐标分别代入函数解析式，得 2m十n=2,解得 m=-2 4m+n=1, n=3, 1 所以BC所在直线的函数解析式为y=一2x十3. 【例2】解：(1)令x=0,得y=8, 所以点A的坐标为(0,8). 令y=0,得x=4, 所以点B的坐标为(4,0) 将A,B两点坐标分别代人二次函数解析式，得 c=8, 1-16+4b+c=0, 解得6=2， lc=8, 所以抛物线的函数解析式为y=一x2十2x十8. (2)因为CD∥x轴，CEy轴， 所以△AOB∽△ECD,第10讲 函数的图象与性质（答案P5) ◆◆0◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 重点知识梳理 次函数和正比例函数的概念：一般地，如果y=kx十b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做 x的一次函数.特别地，当b=① 时，一次函数y kx十b就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时y叫做x的 正比例函数 反比例函数的概念：一般地，形如② (k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数.反比 例函数解析式也可以写成xy=或y=x1(k≠0)的形式 概念 概念：一般地，形如y=③ (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数 1.一般形式：④ 2.顶点式：y=a(x一h)2+(a≠0)，其中二次函数图象的顶点坐标是 二次函数 三种形式 ⑤ 3.交点式：⑥ ,其中x1,x2为二次函数图象与 x轴交点的横坐标 次函数的图象与性质： 字母 k>0 k<0 函数的图象与性质 取值 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 图象 经过的 第一、二、 第⑦ 第一、二、 第⑧ 第 、三象限 第二、四象限 象限 三象限 象限 四象限 象限 图象与性质 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而⑨ 次函数的图象是一条直线，但直线不一定是一次函数的图象，如y=b,x=a,分 注意 别是与x轴、y轴平行的直线，称为常函数，它不是一次函数 ◆温馨提示：1.一次百数y=x十6(k≠0)的图象是经过点(0,6)和(-名，0小的-条 直线.2.正比例函数y=x(k≠0)的图象是经过点(0,0)和(1，k)的一条直线.3.一 次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两 个点即可 优学秦赢在中考 反比例函数的图象与性质： 解析式 (k≠0) y-z k的符号 k>0 k<0 图象 图象上点的坐标特征 横、纵坐标之积恒等于⑩ x,y的取值范围 x≠0，y≠0 所在象限 第一、三象限(x,y同号) 第① 象限(x,y异号) 在每一个象限内，y随x的 在每一个象限内，y随x 增减性 增大而② 的增大而⑧ 数的 对称性 关于直线y=x或y=一x成轴对称；关于原点成中心对称 图象与 性质 ◆温馨提示：比较反比例函数值的大小时，应分x>0与x<0两种情况讨论，而不能 性质 直接地说成“当<0时，y随x的增大而增大”. 【随手一练1】(2023·济南模拟)函数y=一kx十k与函数y=(≠0)在同一平面直角 坐标系中的大致图象可能是( 小 反比例函数系数的几何意义： P(x.y) Px,y 图象 Bk- S矩形PMON=|P横·|P纵|= 1 S△APP1=2k|(点P,P1关 面积 S△AOP=S△APB= Ix|·ly|=|k 于原点对称) 数学·讲练册SD 45 ◆温馨提示：过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标 轴围成的矩形面积等于|k|,结合函数图象所在的象限可以确定的值，反过来，根据 的值可以确定此矩形的面积. 二次函数的图象与性质： 二次函数y=ax2十bx十c(a,b,c为常数，且a≠0，各项系数包括它前面的符号) x=④ 对称轴 注：还可以利用工=十（其中工1，x,为纵坐标相等的两个点对应的横 2 坐标) 顶点坐标 ⑤ 判断函 a>0时，在对称轴左侧，y随x的 a<0时，在对称轴左侧，y随x的增 数性质 增减性 增大而⑥ ;在对称轴右侧， 大而⑧ ；在对称轴右侧， y随x的增大而⑦ y随x的增大而© 数的 图象与 a>0时，y有最@ 值，此 当a<0时，y有最@ 值，此 象与性 性质 最值 a'y=ac-b: 时x=一 ._4ac-b2 4a 时x= 2a'y= Aa a>0 a(决定开 开口向② 口方向) a<0 开口向⑧ b=0 对称轴为y轴 a,b(决定 对称轴 a,b同号 对称轴在y轴四 侧 的位置) a,b异号 对称轴在y轴因 侧 判断函 数图象 c(决定与 c=0 抛物线过原点 y轴交点 c>0 抛物线与y轴交于函 半轴 的位置) c<0 抛物线与y轴交于⑦ 半轴 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点（顶，点） (决定与 b2-4ac>0 与x轴有⑧ 的交点 x轴交点 的个数) b2-4ac<0 与x轴没有交点 46 优+学秦赢在中考 ◆名师点拨：1.将抛物线解析式写成y=a(x一h)2十k的形式，则顶点坐标为(h,), 对称轴为直线x=h,也可应用对称轴公式x=一 ,顶点坐标( b b 4ac-b 2a’4a 来求对 称轴及顶点坐标.课程标准新增内容，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 2.比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴 两侧时，根据两个数到对称轴的距离及函数的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧 图 图象与 时，根据函数的增减性判断。 性质 【随手一练2】(2023·青岛二模)如图所示，已知抛物线y=ax2十 质 bx十c与x轴交于点（一1,0），对称轴为直线x=1,则下列结论： ①abc<0;②2a+b=0;③函数y=ax2十bx+c的最大值为-4a; ④若关于x的方程ax2十bx十c=a+1有两个相等的实数根，则 6·其中正确的结论有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析》◆4◆44o 命题点1】一次函数的图象与性质 B.y随x的增大而减小 C当e>时y<0 方法指导少 解决一次函数的图象与性质有关的问题， D.它的图象经过第一、二、三象限 关键是明确一次函数y=kx十b中系数的作用： 【变式训练2】运算能力(2024·广安中考)如图 的正负决定图象的倾斜方向及函数的增减性， 所示，直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点 k|决定图象的倾斜程度；b决定图象与y轴的 A,B,将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到 交点的位置 △ACD,则点D的坐标为 2x+2 【例1】(2024·通辽中考)如图 所示，在同一平面直角坐标系 中，一次函数y=k1x十b1与 y=k2x十b2(其中k1k2≠0，k1, k2,b1,b2为常数)的图象分别为直线l1,l2.下列 命题点2】反比例函数的图象与性质 结论正确的是( 方法指导 A.b1+b2>0 B.b1b2>0 C.k1十k2<0 D.k1k2<0 解题关键是掌握反比例函数比例系数的作 【变式训练1】(2024·长沙中考)对于一次函数 用.此外，利用反比例函数图象的轴对称性及中 y=2x一1，下列结论正确的是( 心对称性，常能使相关问题快速解决 A.它的图象与y轴交于点(0，一1) 数学·讲练册SD 【例2】几何直观》(2024·泰安东平一模)在同一 (a≠0)与x轴交于A,B两点，A (-3,0),B(1,0),与y轴交点C 平面直角坐标系中，函数y=mx十n与y= n mx 的纵坐标在一3~一2之间，根据 (其中m,n是常数，mn≠0)的大致图象可能 图象判断以下结论：①abc2>0; 是( ②青<6<2：③若ax-ba, ax2一bx2且x1≠x2,则x1十x2=一2；④若直线 5 6cx十c与抛物线y=ax2十bx十c的一个 【变式训练3】(2024·济宁中考)已知点A(一2， 交点为(m,m）(m≠0)，则m=分，其中正确的结 y),B(-1,y2),C(3,y)在反比例函数y=2 论是() (k<0)的图象上，则y1,y2,y3的大小关系 A.①②④ B.①③④ 是() C.①②③ D.①②③④ A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 【变式训练5】运算能力(2024·陕西中考)已知 C.y3<y1<y2 D.y3<y2<y1 一个二次函数y=ax2+bx十c的自变量x与函 【变式训练4】(2023·威海中考)如图所示，在平面直 数y的几组对应值如下表： 角坐标系中，点A,B在反比例函数y=飞(z>0)的 …-4-2 35… 0 图象上，点A的坐标为(m,2).连接OA,OB,AB.若 y.-24-80-3-15 OA=AB,∠OAB=90°，则k的值为 则下列关于这个二次函数的结论正确的 是() A.图象的开口向上 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 C.图象经过第二、三、四象限 命题点3】二次函数的图象与性质 D.图象的对称轴是直线x=1 【变式训练6】推理能力》(2024·德阳中考)如图 方法指导→ 所示，抛物线y=a.x2+bx+c的顶点A的坐标 解答有关二次函数图象与性质的问题时， 为（号m,与x轴的一个交点位于0和1之 要抓住抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向及 与x轴、y轴的交点、特殊点、对称点等；通常把 间，则以下结论：①abc>0;②5b十2c<0;③若抛 已知点坐标代入函数解析式中找出a,b,c间的 物线经过点（一6，y1),(5,y2),则y1>y2;④若 关系：道试对称轴为直线红=名确定@6之 关于x的一元二次方程ax2十bx十c=4无实数 根，则n<4.其中正确结论是 .(填序号) 间的关系；判断与x轴的交点情况，则利用判别式 b2-4ac进行判断， 【例3】几何直观(2024·牡丹江中考)如图所示， 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx十c 48 优+学秦赢在中考 命题点4】反比例函数比例系数k的几何意义 D,BD交OA于点E,且E为AO的中点，则 △AEB的面积是( ) 方法指导→ A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 反比例函数比例系数的几何意义与图形 【变式训练7】几何直观》(2024· 面积综合问题为中考热点题型之一，多以选择 牡丹江中考)矩形OBAC在平面 题、填空题的形式考查，解题关键是明确比例系 直角坐标系中的位置如图所示， 数k的几何意义，能利用其进行等积转换、变形 反比制函数y是的图念与AB 等，以顺利解决相关问题。 边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点 【例4】(2024·黑龙江中考)如 E,OE=2AE,若四边形ODAF的面积为2，则k 图所示，双曲线y=12(z>0) 的值是( 2 A.5 4 C. 8 经过A、B两点，连接OA、AB, 5 D. 5 过点B作BD⊥y轴，垂足为 ◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●(《 中考真题演练 考点1一次函数的图象与性质 3.几何直观》(2024·山东中考，20,10分)列表 1.(2023·临沂中考，11,3分)对于某个一次函数 法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法， y=x十b(≠0)，根据两位同学的对话（如图 它们从不同角度反映了自变量与函数值之间 所示)得出的结论，错误的是( 的对应关系.下表是函数y=2x十6与y= 函数图象不经 函数图象经 部分自变量与函数值的对应关系： 过第二象限 过(2,0)点 2 A.k>0 B.kb<0 2x+b a 1 1 C.k+6>0 D.k=一 k 2.(2021·潍坊中考，8,3分)记实数x1,x2,…, (1)求a,b的值，并补全表格. xm中的最小数为min{x1,x2,…,xn},例 如min{-1,1,2}=-1,则函数y=min{2x (2)结合表格，当y=2x十6的图象在y=的 x 1,x,4一x}的图象大致为( 图象上方时，直接写出x的取值范围. 3不 数学·讲练册SD 49 8考点2)反比例函数的图象与性质 8.(2023·泰安中考，15,4分)二次函数y=-x2一 4.(2024·滨州中考，7,3分)点M(x1,y1)和 3x+4的最大值是 9.(2023·临沂中考，16,3分)小明利用学习函数 点N(x2y2)在反比例函数y= 2-2k+3(k 获得的经验研究函数y=x+2的性质，得到 为常数)的图象上，若x1<0<x2,则y1,y2,0 的大小关系为( 如下结论： A.y1y2<0 B.y1>y2>0 ①当x<一1时，x越小，函数值越小； C.y1<0<y2 D.y1>0>y2 ②当一1<x<0时，x越大，函数值越小； 5.(2023·烟台中考，15,3分) y ③当0<x<1时，x越小，函数值越大； 如图所示，在平面直角坐标 ④当x>1时，x越大，函数值越大， 系中，⊙A与x轴相切于点 其中正确的是 (填序号) B,CB为⊙A的直径，点C 10.运算能力》(2024·威海中考，24,12分)已知 抛物线y=x2+bx十c(b<0)与x轴交点的 在函数y=(k>0,x>0) 坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2 的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为 (1)若抛物线y1=x2+bx+c+1(b<0)与 6,则的值为 x轴交点的坐标分别为(x3,0),（x4,0),且 6.几何直观》(2021·潍坊中 C x3<x4,试判断下列每组数据的大小（填写 考，16,4分)如图所示，在平 “<”“=”或“>”). 面直角坐标系中，O为坐标 ①x1十x2xg十x4;②x1-x3」 原点，函数y=a与y= b x2一x4;③x2十x3x1十x4· (2)若x1=1,2<x2<3,求b的取值范围. (a>b>0)在第一象限的图象分别为曲线C1, (3)当0≤x≤1时，y=x2+bx+c(b<0)最 C2,点P为曲线C1上的任意一点，过点P作 y轴的垂线交C2于点A,作x轴的垂线交C2于 大值与技小值的差为，求6的值。 点B,则阴影部分的面积S△AoB三 .（结 果用含a,b的代数式表示) 品考点3)二次函数的图象与性质 7.推理能力(2023·烟台中考， 9,3分)如图所示，抛物线y= ax2十bx+c的顶点A的坐标 为(-2m小，与x轴的一个 交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0; ②2b十c>0;③若图象经过点(-3，y1),(3, y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程 ax2十bx十c一3=0无实数根，则m<3.其中正确 的结论有() A.1个B.2个 C.3个 D.4个 50 优学秦赢在中考