第2章 方程(组)与不等式(组) 第8讲一元一次不等式(组)及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第8讲 一元一次不等式（组）及应用（答案P4) ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆《 重点知识梳理 不等式：用符号“<”或“>”或“≤”或“≥”表示大小关系的式子 不等式的 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成这个不等式的解集 有关概念 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向① 若a>b,则a士c>b士c 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向② ,若a>b, 不等式的 基本性质 c>0,则ac>c或>2） 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向③ ,若a>b, 6<0,则ue<(<】 定义：只含有④ 未知数，且未知数的次数是1且系数不等于0的不等式 基本步骤：去分母、⑤ 移项、⑥ 、系数化为1 元 次 解集 在数轴上的表示 x<a 解集在数轴 ⑦ 组 上的表示 x<a 及 ⑧ 角 元 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组 次 不等式组 在数轴上表示解集 解集 口诀 等 x>a, 元 (a<b) ⑨ 同大取大 x>b 次 x<a, 解集的确 (a<b) ① 同小取小 定方法 x<b 组 x>a, (a<b) ① 大小小大中间找 z<b a<a, (a<b) ② 大大小小找不到 x-b 数学·讲练册SD 33 ◆名师点拨：1.解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘 (或除以)一个负数，要改变不等号的方向。 2.解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共 部分.解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则可能出现错误 3.在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右” 元 【随手一练1】(2023·石家庄二模)课堂上，老师给出了这样一道题目：“求关于x的一元一次 次 x+6∠2， 等 不等式组 的解集，并在数轴上表示出解集.”甲计算完之后，说：“老师，这道 组 x-7<2(x-3) 不 题有问题，解出来是无解，不能在数轴上表示.”乙看了看甲的计算过程，说：“你把第2个式 次 子抄错了，是数字3，不是你这个.”通过甲、乙两人的对话，你认为甲将数字3可能抄成了数 不 字( 式 A.1 B.2 C.4 D.5 组 1.列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“最多” 及 “超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等.这些都体现了不等关系，列不等式时，要 用 元 根据关键词准确地选用不等号 次 2.列不等式（组）解应用题的一般步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3)找出能够包含未知数的不等 等 关系；(4)列出不等式（组）；(5)求出不等式（组）的解；(6)检验解是否符合实际情况；(7)写 出答案（包括单位名称） 组【随手一练2】如图所示，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙足够长）的矩形ABCD菜园，若 的 6m≤AB≤10m,则BC的取值范围为 墙 用 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆ 典型例题剖析 〉●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 命题点1】一元一次不等式（组）的解法 【例1】(2024·聊城东昌府区三模)解不等式组： 2x+5≥3(x+1)①， 方法指导→ x十1工②， 并将其解集表示在如图所 2>3 解一元一次不等式与解一元一次方程的步 示的数轴上. 骤一样，有五步，注意系数化为1时，若系数是 4320123 负数，不等号的方向一定要改变. 【自主解答】 解一元一次不等式组的步骤：解各个不等 式；写出不等式组的解集（利用数轴或口诀确定 不等式组的解集) 34 优*学秦赢在中考 【变式训练11(2023·宜昌中考)解不等式1+4虹> 【变式训练3】推理能力(2024·济南模拟)已知 5-3x≥-1， x一1，下列在数轴上表示的解集正确的是( 关于x的不等式组 无解，则a的取 a-x<0 值范围是( -4-3-2-101234 -4-3-2-101234 A B A.a<2 B.a≤2 C.a>2 D.a≥2 -4-3-2-101234 -4-3-2-101234 【变式训练4】(2023·聊城中考)若不等式组 D x-1、x-2 【变式训练2】运算能力》(2024·扬州中考)解不 3 的解集为x≥m,则m的取值范 2x-6≤0， 2x-m≥x 等式组2<4红。1，并求出它的所有整敏解的和。 围是 2 命题点3】一元一次不等式（组）的应用 方法指导→ 用不等式（组）解应用题需注意的三点： (1)设未知数时，表示不等关系的文字如 “至少”等不能出现，应给出肯定的未知数的 设法。 (2)依据题中的不等关系和所设未知数列 一元一次不等式（组） (3)在最后写答时，应把原问题中表示不等 关系的文字补上 【例3】模型观念》(2024·东营模拟)为拓宽学生 命题点2】根据不等式（组）的解集情况求 视野，某校组织师生开展研学活动，原计划租用 字母的取值（范围）】 45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同 方法指导→ 样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车 解答此类题需要灵活求解不等式（组），能 恰好坐满.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和 根据不等式（组）解的情况将不等式（组）的解集 租金如下表所示： 在数轴上表示出来，借助数轴的直观性确定字 车型 甲型客车 乙型客车 母或字母所在代数式的取值范围，注意空心圆 载客量/八人/辆) 5 60 圈与实心圆点的区别. 租金/（元/辆） 250 300 【例2】(2024·黑龙江中考)关于x的不等式组 (1)参加此次研学活动的师生人数是多少？ 4-2x≥0， (2)若该校计划租用甲、乙两种客车共12辆，且 1 恰有3个整数解，则a的取值范围 每人都有座位，则有哪几种租车方案？请你帮助 (2x-a>0 计算本次研学应该怎样租车才最合算，最少租金 是 是多少？ 数学·讲练册SD 【自主解答】 【变式训练6】应用意识(2024·泸州中考)某商 场购进A,B两种商品，已知购进3件A商品比 购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品 和2件B商品总费用为620元. (1)求A,B两种商品的进价各为多少元/件， (2)该商场计划购进A,B两种商品共60件，且购 进B商品的件数不少于A商品件数的2倍.若 A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销 售，为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润 不低于1770元，则购进A商品的件数最多为 多少？ 【变式训练5】(2024·威海环翠区模拟)春到人 间，绿化争先.为增强师生的环境保护意识，提升 学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色 校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不 超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知 甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至 少可以购买乙种树苗() A.42颗 B.43颗 C.57颗 D.58颗 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《 中考真题演练 8考点1)一元一次不等式（组）的解法 1 A.a72 Ra号 1.(2023·烟台中考，5,3分)不等式组 3m-2≥1， 的解集在同一条数轴上表示正确 c0a<2 D.0≤a<日 2-m>3 3.（2022·济宁中考，8,3分)若关于x的不等式 的是( |x-a>0, 组 仅有3个整数解，则a的取值范 7-2x>5 -10 围是( ) A.-4≤a<-2 B.-3<a≤-2 -10 C.-3≤a≤-2 D.-3≤a<-2 4.结论开放(2024·山东中考，12,3分)写出满足 2.(2024·滨州中考，5,3分)若点P(1-2a,a) x十2≥1， 在第二象限，那么a的取值范围是() 不等式组 的一个整数解： 2x-1<5 36 优+学秦赢在中考 5.结论开放(2024·烟台中考，12,3分)关于x 别各自购票节省730元. 的不等式m一三≤1一x有正数解，m的值可 (1)求两个旅游团各有多少人： (2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数 以是 (写出一个即可). 最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门 6.（2023·临沂中考，17(1)，6分)解不等式5一 票节省？ 2x<2,并在数轴上表示解尖， 7.（2022·济南中考，20,6分)解不等式组： 9.(2020·菏泽中考，21,8分)今年史上最长的寒 并写出它的所有整 假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体 2x-5≤3(x-2)②， 质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻 数解. 炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器 材.已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元； 购买4根跳绳和3个毽子共需36元： (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多 少元 (2)某班需要购买跳绳和键子的总数量是54， 且购买的总费用不能超过260元，若要求购买 跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪 几种购买跳绳的方案. 8考点2)一元一次不等式（组）的应用 8.模型观念(2023·聊城中考，21,8分)今年五 一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高 峰.某热门景点的门票价格规定见下表： 票的种类 A B C 购票人数/人 1≈50 51100 100以上 票价/元 50 45 40 某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人 (甲团人数多于乙团).在打算购买门票时，如 果把两团联合作为一个团体购票会比两团分 数学·讲练册SD 37故x1=7+2W7,x2=7-2√7. 【例2】解：(1)证明：.△=[-(2m-1)]-4×1×(-3m2+m) =4m2-4m+1+12m2-4m =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0， ,无论m为何值，方程总有实数根 (2)由题意知，x1十x2=2m-1,x1x2=-3m2十m. 工2+x1=x1+x(x1十x2)2 5 -2= X1x2 2 (2m-1)2 5 -3m2+m -2=-2,整理，得5m2-7m+2=0, 2 解得m=1或m= 5 【变式训练2】A 【例3】解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一2x十 2=(72-2x)m. 根据题意，得x(72-2x)=640, 化简，得x2-36x十320=0.解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=40;当x=20时，72-2x=32, 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能 围成一个面积为640m的羊圈. (2)不能，理由：由题意，得x(72一2x)=650. 化简，得x2-36x+325=0,△=（一36）2一4X325=一4<0， .一元二次方程没有实数根.∴.羊圈的面积不能达到650m2. 【变式训练3】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 依题意，得150(1+x)2=216, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%， (2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 依题意，得(y-30)[600一10(y-40)]=10000, 整理，得y2-130y十4000=0， 解得y1=80(不合题意，舍去)，y2=50, 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【中考真题演练】 1.B2.A 3.解：x2一4x=0, ∴.x(x-4)=0, x=0或x一4=0， ∴.x1=0,x2=4. 4.A5.B6.C 2 1 8.69.-8 0.解：(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为 (35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意，得(35十x)(15+x) 800,整理，得x2+50x-275=0. 解得x1=5,x2=-55(不符合题意，舍去)， .35+x=40,15+x=20. 答：新的矩形绿地的长为40m,宽为20m. (2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35十 y)m,宽为(15+y)m, 根据题意，得(35+y):(15+y)=5:3, 即3(35+y)=5(15+y),解得y=15. .(35+y)(15+y)=1500. 答：新的矩形绿地面积为1500m2。 第8讲一元一次不等式（组）及应用 【重点知识梳理】 ①不变②不变③改变④一个⑤去括号⑥合并同类项 ⑦x>a⑧x≥a ⑨x>b⑩x<a①a<x<b②无解 【随手一练1】D 【随手-练2】20m≤BC≤28m 【典型例题剖析】 【例1】解：解不等式①，得x≤2， 解不等式②，得x>一3， 则不等式组的解集为一3<x≤2 将解集表示在数轴上如图所示： -4-3-2-101 2 【变式训练1】D 【变式训练2】解：解不等式2x一6≤0，得x≤3， 解不等式x<2 4x一 ,得x>2, 1<x≤3， 则不等式组的解集为 所以整数解为1,2,3，整数解的和为6. 【例2】-2 ≤a<0【变式训练3】D 【变式训练4】m≥一1 【例3】解：(1)设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用 45座客车y辆， 依题意得60(y-3)=1, /45y+15=x, 解得x=600, y=13. 答：参加此次研学活动的师生有600人 (2)设租用45座客车a辆，则租用60座客车(12一a)辆 要使每位师生都有座位， 45a+60(12-a)≥600， .12-a≥0， a≥0， 解得0≤a≤8. 又a是整数， .a的值为0,1,2,3,4,5,6,7,8， .12-a的值为12,11,10,9,8,7,6,5,4， ∴共有9种租车方案： 租用12辆60座客车， 租用1辆45座客车，11辆60座客车 租用2辆45座客车，10辆60座客车， 租用3辆45座客车，9辆60座客车， 租用4辆45座客车，8辆60座客车， 租用5辆45座客车，7辆60座客车， 租用6辆45座客车，6辆60座客车， 租用7辆45座客车，5辆60座客车， 租用8辆45座客车，4辆60座客车. 设租金为w元，则w=250a十300(12-a)=-50a十3600. -50<0, ∴.w随着a的增大而减小， .当a=8时，w最小，为一50×8+3600=3200（元） .租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是 3200元. 【变式训练5】B 【变式训练6】解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是 y元/件， 根据题意，得5工+2y=620, /3x-4y=60, 解得/x=100, y=60. 答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件 (2)设购进m件A商品，则购进(60一m)件B商品， 根据题意，得60一m≥2m, (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770， 解得19≤m≤20， .m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件」 【中考真题演练】 1.A2.A3.D 4.一1（答案不唯一） 5.0(答案不唯一) 6.解：去分母，得2(5-2x)<1一x 去括号，得10-4x<1一x. 移项，得一4x十x<1一10. 合并同类项，得一3x<一9， 系数化为1，得x>3. 该不等式的解集在数轴上表示如图所示， -2-101234 7.解：解不等式①，得x<3. 解不等式②，得x≥1 .原不等式组的解集为1≤x<3, .整数解为1,2. 8.解：(1)设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 根据题老，得130240X102-=730. 解得/x=58, y=44 答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人. (2)设游客人数为m人，根据题意，得50m>45×51, 解得m>45.9. 又，m为正整数，.m的最小值为46. 答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种 节省. 9.解：(1)设购买一根跳绳需要x元，购买一个键子需要y元 依题意，得2.x十5y=32, 4x+3y=36, 解得x=6, y=4. 答：购买一根跳绳需要6元，购买一个键子需要4元 (2)设购买m根跳绳，则购买(54一m)个键子， 依题意，得6m+4(54-m)≤260， lm>20, 解得20<m≤22. 又.m为正整数 ∴.m可以为21,22 .共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个键子； 方案2：购买22根跳绳，32个毽子. 第二章易错集训 1.解：原方程可整理得y-(4y+20)=3+y十3 2 方程两边同时乘2，得2y-2(4y+20)=6十(y十3)， 去括号，得2y-8y-40=6十y+3, 移项，得2y-8y-y=6+3+40, 合并同类项，得一7y=49, 系数化为1，得y=-7. 2.解：去分母，得12-2(x十3)=x-3, 去括号，得12-2x-6=x-3, 移项，合并同类项，得3x=9, 解得x=3, 经检验，x=3是增根，分式方程无解 3.解：由①得x<3, 由②得x≥1， .原不等式组的解集为1≤x<3, .原不等式组的整数解为1,2. 4.A5.A 6.1 7.解：(1)p1 (2)x1十x2=p,x1x2=1, 1+ 1x2十x=卫 x1x2=1=p. ,关于x的一元二次方程x2一x十1=0(p为常数)有两 相等的实数根x1和x2, .x-px1+1=0, x1-p+1=0,即1+ 1 C1 ℃1 (3)由根与系数的关系得x1十x2=p,x1x2=1. .x+x2=2p+1, (x1十x2)2-2x1x2=2p+1, .p2-2=2p+1, 解得p1=3,p2=-1, 当力=3时，4=p2-4=9-4=5>0, 当p=-1时，△=p2一4=一3<0， .p=3. 8.解：(1)设矩形花坛的宽是x米，则长是(x+15)米， 依题意得50×32-4x·(x+15)-3×(10÷2)2=1125, 整理，得x2+15x一100=0， 解得x1=5,x2=一20（不合题意，舍去）. 答：矩形花坛的宽是5米 (2)设安排甲队施工y平方米，则安排乙队施工[4×5×(5+ 15)-y]=(400-y)平方米， 依题意得100y+120(400-y)≤42000， 解得y≥300. 答：至少要安排甲队施工300平方米. 9.解：(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克 的价格是y元， 根据题意，得300x+300y=15000, x-y=2, 门票 解得/=26， y=24. 答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价 格是24元， (2)设甲每小时粉刷外墙的面积是平方米，则乙每小时粉刷 外墙的面积是5m平方米， 根据题意，得500_500-5， 4 m 解得m=25, 经检验，m=25是所列方程的解，且符合题意 答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米. 第三章函数及其图象（课程标准理念，单元整合设计） 第9讲平面直角坐标系与函数的初步认识 【重点知识梳理】 ①x轴②y轴③y>0④x<0⑤y<0⑥x>0⑦y=0 ⑧x=0⑨坐标原点⑩纵坐标①横坐标②横坐标 ⑧纵坐标相等⑤互为相反数⑥√x2+y ⑦|x1-x2|⑧|y1-y2|0√+y@(x,-y) ④(-x,y)②(-x,-y)⑧(x士a,y)@(x,y士b) ⑤唯一团不变⑦x≥一a且x卡0 【随手一练】B 【典型例题剖析】 【例1】B【变式训练1】(2,0) 【例2】B【变式训练2】x>1且x≠2 【例3】D【变式训练3】B 【中考真题演练】 1.4,1)2.20223.(2,1)4.B5.A6.≠17.7y8 2 第10讲函数的图象与性质 【重点知识梳理】 00@y= ③ax2+bx+c④y=ax2+bx+c(a≠0) ⑤(h,k)⑥y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)⑦-、三、四 ⑧二、三、四⑨减小①k①二、四②减小⑧增大 【随手一练1】B 思品®（←名“。） ⑥减小⑦增大⑧增大 个不 ©减小④小①大②上⑧下④左西右四正⑦负 ⑧两个不同 【随手一练2】C 【典型例题剖析】 【例1】A【变式训练1】A【变式训练2】(-3,1) 【例2】C【变式训练3】C【变式训练4】2√5-2 【例3】A【变式训练5】D 【变式训练6】①②④ 【例4】A【变式训练7】D 【中考真题演练】 1.C2.B 7 3.解：(1)a=-2,b=5.7-2-2 5