第2章 方程(组)与不等式(组) 第7讲一元二次方程及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第7讲一元二次方程及应用（答案3） 重点知识梳理 》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆0 概念：只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程 般形式：③ ◆温馨提示：一元二次方程必须满足的三个条件：1.是整式方程，等号两边都是整式，即分母中 不含未知数；2.只含有一个未知数；3.未知数的最高次数是2. 解法 直接开平方法 适合于(x十a)2=b(b≥0)或(ax+b)2=(cx十d)2形式的方程 般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；(2)将方程左边分解为两个一次因式 因式分解法 的积；(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就 是原方程的解 用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)化二次项系数为1；(2)将含未知数的项保留在方 程左边，常数项移到方程右边；(3)两边同时加上一次项系数④的平方；(4)将方程化成 元 配方法 (x十a)2=b的形式；(5)若b≥0，则可以运用直接开平方法求出方程的解；若b<0,则原方程 无解 方 应用 元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的求根公式是⑤ 用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式，确定a,b,c的 公式法 值，求出b2-4ac的值；(2)若b2一4ac≥0，则运用求根公式，求出方程的解；若b2一4ac<0, 则原方程无解 关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的根的判别式是⑥ (1)b2-4ac>0台一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个⑦ 的实数根 根的判(2)b2-4ac=0→一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有两个⑧ 的实数根 别式 (3)b2-4ac<0台一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)⑨ 实数根 ◆温馨提示：如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等的实数根或有 两个相等的实数根两种情况，此时b2一4ac>≥0，切勿丢掉等号. 根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,则x1十x2= ⑩ ,x1x2=① (课程标准调整为考查内容) 28 优+学秦赢在中考 ◆名师点拨：1.运用根与系数的关系时必须注意两个条件：(1)方程必须是一元二次方程，即 二次项系数a≠0；(2)方程有实数根，即△≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件△≥0 和a≠0. 根 2.已知一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根为x1,x2,则求含有x1,x2的代数式的 与 值时，其方法是把含x1,x2的代数式通过转化，变为用x1十x2,x1x2的代数式进行表示，然 系 粉 后再整体代入求出代数式的值.解决此类问题时经常要运用到以下代数式及变形： 的 ①Dx+x=(x1十)-2x1x4:(2)+1-2t:(3(1十a)(x:十a)=1x, 关 a(x1+x2)+a2;(4)lx1-x2=√(1-x2)=√(x1+x2)2-4x1x2. 系 【随手一练1】如果x1,x2是一元二次方程x2一3x十2=0的两个实数根，那么x十x的值 是( A.7 B.5 C.3 D.1 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答 增长量 元 1增长率= 基础量 ×100% 平均增长率 水 (下降率)问题 2.增长前的量×(1十增长率)增长次数=增长后的量 下降前的量×(1一下降率)下降次数=下降后的量 及应 利润问题“每每模型” 已知条件 所设 未知数 每件利润 销量变化量 总关系式 设售价为 提价） z-a)m-2】=w 实际 常 进价a元、原售 一a 应用 价b元、销量 x元 类 型 降价：〉 m件、利润w元， x-am+cg】-w 销量随售价提高 提价： (降低)d元而减 b+y-a 6+y-a(m-）=w 设提（降） 少（增加）c件 价y元 降价： b-y-a 6-y-a)(m+学）=w 矩形ABCD的长为a,宽为b,空白部分的宽均为x 面积(1)如图①所示，S阴影=(a一2x)(b-2x) 问题(2)如图②所示，S阴影=(a-x)(b-x) (3)如图③所示，矩形空白部分经平移与图②一样，S阴影=(a一x)(b一x) 数学·讲练册SD 29 面积问题 7 握手与互送名片模型 握手总次数=n(”,1)(n为人数)（单循环比赛） 元 (比赛问题) 名片总数=n(n一1)(n为人数)（双循环比赛） 次 实际见 程 1.检验方程的根是否正确 及 应用 验根 2.检验方程的根是否符合题意，不符合题意的根要舍去 应 注：不符合实际情况的根也应舍去 【随手一练2】(2023·济南槐荫区二模)如图所示，在一个长为 15m,宽为10m的矩形场地内修筑两条等宽的道路，剩余部 分为绿化用地，如果绿化用地的面积为104m2,那么道路的宽 为 m ●◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析 》》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆0◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆● 命题点1】一元二次方程的解法 (4)配方法也是一种重要的解题方法，当二 次项系数为1，一次项系数为偶数时，用该法比 方法指导> 较简单 一元二次方程的解法有直接开平方法、配 (5)对于复杂的一元二次方程，一般不急于化 方法、公式法和因式分解法.这四种解法各有自 为一般形式，应观察其特点，看能否用直接开平方 己的特点，如果观察不出它们的特点，找不出最 法或因式分解法；若不能，再化为一般形式求解。 恰当的解法，就会使解题过程太繁琐以致出错. 解决这一问题的关键是：首先理解并记住各种 【例1】(2024·泰安肥城一模)用配方法解一元二 解法适合的类型，其次理解并记住各种解法的 次方程：2x2十3x一3=0. 选取顺序.具体如下： 【自主解答】 (1)若方程符合a(x-n)2=m(ma≥0， a≠0)的形式，用直接开平方法解方程比较简 单；对于一元二次方程的一般形式ax2十bx十 c=0(a≠0)而言，当b=0时，用直接开平方法 求解较好. 【变式训练1】运算能力》(2024·淄博高青一模) (2)一般方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当 解方程：x2-14x+21=0. c=0时，用因式分解法比较简单. (3)一般方程ax2十bx十c=0(a≠0)，当a, b,C不缺项且不易分解因式时，一般采用公式法， 30 优学廉赢在中考 命题点2】一元二次方程根与系数的关系与 命题点3】一元二次方程的实际应用 根的判别式 【例3】(2023·东营中考)如图所示，老李想用长 为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够 方法指导→ 长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留 (1)利用根的判别式解题，通常将方程化为 一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. 一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，计算出b2 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一 4ac的值，然后根据根的情况建立方程或不等式 个面积为640m2的羊圈？ 求解 (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果能，请你 (2)利用根与系数的关系解题，常见的变形有 给出设计方案；如果不能，请说明理由。 1+1=x+x2 x1十x2=（x1十x2)2-2x1x2, D |x1-x2|=√(x1十x2)2-4x1x2等. 【自主解答】 易错警示：解题时不能忽视“b2-4ac≥0” 这一隐含条件。 【例2】推理能力(2024·淄博博山区一模)已知 关于x的一元二次方程x2一(2m一1)x 3m2十m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根. 【变式训练3】(2024·泰安二模)公安交警部门提 醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规 (2)若x1,x2是方程的两个实数根，且+ 定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到 x1- x2 ,求m的值. 5 6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个， 6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量 【自主解答】 的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率。 (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场 中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若 在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将 减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且 尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售 价应定为多少元/个？ 【变式训练2】(2023·河南中考)关于x的一元二 次方程x2十mx一8=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 数学·讲练册SD 31 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆4◆◆ 8考点1)一元二次方程的解法 6.(2023·菏泽中考，6,3分)一元二次方程x2+ 1.（2022·临沂中考，8,3分)方程x2-2x-24= 3x-1=0的两根为x1,x2,则1十1的值 1x2 0的根是() 为( A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 C.x1=-6,x2=4D.x1=-6,x2=-4 a含 B.-3 C.3 n-是 2.(2021·潍坊中考，4,3分)若菱形两条对角线 7.(2024·山东中考，13,3分)若关于x的方程 的长度是方程x2一6x十8=0的两根，则该菱 4x2一2x+m=0有两个相等的实数根，则m 形的边长为( 的值为 A.√5 B.4 C.25 D.5 8.（2024·烟台中考，13,3分)若一元二次方程 3.（2024·滨州中考，18,4分)解方程： 2x2-4x一1=0的两根为m,n,则3m2一 x2-4x=0. 4m十n2的值为 9.(2022·日照中考，15,3分)关于x的一元二 次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数 根x,x2,且好十好=6，则m= 3 8考点3)一元二次方程的实际应用 8考点2)一元二次方程根与系数的关系与 10.几何直观》(2022·德州中考，22,12分)如图 根的判别式 所示，某小区矩形绿地的长、宽分别为35m, 4.(2021·烟台中考，9,3分)已知关于x的一元 15m.现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽 二次方程x2一mnx十m十n=0,其中m,n在 增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地. 数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的 (1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2,求新 情况是() 的矩形绿地的长与宽. (2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长 m A.有两个不相等的实数根 宽之比为5：3.求新的矩形绿地面积. B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 35m 5.(2024·泰安中考，7,4分)关于x的一元二次 方程2x2一3x十=0有实数根，则实数k的取 值范围是( ) Ak<号 Bk长g C≥g D.k<-9 8 32 优学秦赢在中考3.C4.D 5.C 6.2 7.解：(1)设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， 则|(-3+x)一(12-2x)|=3, 解得x=4或x=6. 答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， (2)设经过x秒，点A,B到原点距离之和为y, 则y=-3+x+12-2x, 当x≤3时，y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x= -3x+15, 当x=3时，y值最小，为6， 当3<x≤6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x+12 2x=-x十9， 当x=6时，y值最小，为3， 当x>6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x-12+2x= 3x-15,无最小值. 综上所述，点A,B到原点距离之和的最小值为3 第6讲分式方程及应用 【重点知识梳理】 ①字母②方程两边同乘最简公分母③检验④最简公分母 ⑤整式 【随手一练1】D ⑥分式方程 【随手一练2】4 【典型例题剖析】 【例1】解：去分母，得2x-3-(x-1)=2(x十1)， 解得x=一4， 检验：把x=一4代人最简公分母，得(x十1)(x一1)≠0， .分式方程的解为x=一4. 【变式训练1】B 【例2】一4【变式训练2】D 【变式训练3】解：(1)当m=1时， x 1一二2， x-11- x+1 -12, 去分母，得x+1=2(x一1)， 解得x=3, 检验：当x=3时，x一1≠0， 故方程的解为x=3. (212= m x m-=2, x-11-x +%2, x十m x-1=2, 去分母，得x十m=2(x-1), 解得x=m十2， 由分式方程有解且解为非负数，得x≠1且x≥0， 即m+2≠1且m+2≥0， 即m≥-2且m卡-1. 【例3】解：(1)设商场购进第一批保暖衣每件的进价是x元，则商 场购进第二批保暖衣每件的进价是(x十10)元， 根据题意，得2400×2=52000， Γx+10 解得x=120, 经检验，x=120是原方程的解，也符合题意， ,.x+10=120+10=130. '.商场购进第一批保暖衣每件的进价是120元，商场购进第二批 保暖衣每件的进价是130元. (2)设每件保暖衣的标价为m元， )知，商场购进第一批保暖衣120=200（件），第二批保暖衣 52000=400(件). 130 根据题意，得(200十400-80)m+80×0.5m≥(24000十 52000)×(1+40%), 解得m≥190， .每件保暖衣的标价至少是190元 【变式训练4】D 【变式训练5】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺 设管道(1+25%)x=1.25x米， 根据题意，得3000 15=3000 1.25x 解得x=40, 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意 .1.25x=50, 则原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米. (2)设该公司按原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75（天）， 根据题意，得300×75y≤180000， 解得y≤8， .不等式的最大整数解为8， 则该公司按原计划最多应安排8名工人施工 【中考真题演练】 1.A2.D3.14.75.16.B 7.3000 3000 (1+25%)x =3 8.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35一x)名工人， 根据题意，得2700-3000×1.2， 35-x 解得x=20, 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意 ..35-x=35-20=15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 9.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏 A型节能灯每年的用电量为(2x一32)千瓦·时， 根据题意，得2x-32 160009600 解得x=96, 经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意， ..2x-32=2×96-32=160. 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160. 第7讲一元二次方程及应用 【重点知识梳理】 ①一②2③a.x2+bx+c=0(a≠0)④一半 ⑤z=-b±VB-4ac ⑥b2一4ac⑦不相等⑧相等 2a ⑨没有四-么 ①9 【随手一练1】B 【随手一练2】2 【典型例题剖析】 【例1】解：2x2+3x-3=0, x2+3 3 x=2, x2++()°-+()， (+)-器 +3=士3 x 4 4 所以x,=二3-V33 x,=-3+33 【变式训练1】解：由题知， a=1,b=-14,c=21, 所以△=(-14)2-4×1×21=112>0， -(-14)士112 所以x= 2×1 故x1=7+2W7,x2=7-2√7. 【例2】解：(1)证明：.△=[-(2m-1)]-4×1×(-3m2+m) =4m2-4m+1+12m2-4m =16m2-8m+1 =(4m-1)2≥0， ,无论m为何值，方程总有实数根 (2)由题意知，x1十x2=2m-1,x1x2=-3m2十m. 工2+x1=x1+x(x1十x2)2 5 -2= X1x2 2 (2m-1)2 5 -3m2+m -2=-2,整理，得5m2-7m+2=0, 2 解得m=1或m= 5 【变式训练2】A 【例3】解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70一2x十 2=(72-2x)m. 根据题意，得x(72-2x)=640, 化简，得x2-36x十320=0.解得x1=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=40;当x=20时，72-2x=32, 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m时，能 围成一个面积为640m的羊圈. (2)不能，理由：由题意，得x(72一2x)=650. 化简，得x2-36x+325=0,△=（一36）2一4X325=一4<0， .一元二次方程没有实数根.∴.羊圈的面积不能达到650m2. 【变式训练3】解：(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为x, 依题意，得150(1+x)2=216, 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%， (2)设该品牌头盔的实际售价为y元/个， 依题意，得(y-30)[600一10(y-40)]=10000, 整理，得y2-130y十4000=0， 解得y1=80(不合题意，舍去)，y2=50, 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【中考真题演练】 1.B2.A 3.解：x2一4x=0, ∴.x(x-4)=0, x=0或x一4=0， ∴.x1=0,x2=4. 4.A5.B6.C 2 1 8.69.-8 0.解：(1)设将绿地的长、宽增加xm,则新的矩形绿地的长为 (35+x)m,宽为(15+x)m,根据题意，得(35十x)(15+x) 800,整理，得x2+50x-275=0. 解得x1=5,x2=-55(不符合题意，舍去)， .35+x=40,15+x=20. 答：新的矩形绿地的长为40m,宽为20m. (2)设将绿地的长、宽增加ym,则新的矩形绿地的长为(35十 y)m,宽为(15+y)m, 根据题意，得(35+y):(15+y)=5:3, 即3(35+y)=5(15+y),解得y=15. .(35+y)(15+y)=1500. 答：新的矩形绿地面积为1500m2。 第8讲一元一次不等式（组）及应用 【重点知识梳理】 ①不变②不变③改变④一个⑤去括号⑥合并同类项 ⑦x>a⑧x≥a ⑨x>b⑩x<a①a<x<b②无解 【随手一练1】D 【随手-练2】20m≤BC≤28m 【典型例题剖析】 【例1】解：解不等式①，得x≤2， 解不等式②，得x>一3， 则不等式组的解集为一3<x≤2 将解集表示在数轴上如图所示： -4-3-2-101 2 【变式训练1】D 【变式训练2】解：解不等式2x一6≤0，得x≤3， 解不等式x<2 4x一 ,得x>2, 1<x≤3， 则不等式组的解集为 所以整数解为1,2,3，整数解的和为6. 【例2】-2 ≤a<0【变式训练3】D 【变式训练4】m≥一1 【例3】解：(1)设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用 45座客车y辆， 依题意得60(y-3)=1, /45y+15=x, 解得x=600, y=13. 答：参加此次研学活动的师生有600人 (2)设租用45座客车a辆，则租用60座客车(12一a)辆 要使每位师生都有座位， 45a+60(12-a)≥600， .12-a≥0， a≥0， 解得0≤a≤8. 又a是整数， .a的值为0,1,2,3,4,5,6,7,8， .12-a的值为12,11,10,9,8,7,6,5,4， ∴共有9种租车方案： 租用12辆60座客车， 租用1辆45座客车，11辆60座客车 租用2辆45座客车，10辆60座客车， 租用3辆45座客车，9辆60座客车， 租用4辆45座客车，8辆60座客车， 租用5辆45座客车，7辆60座客车， 租用6辆45座客车，6辆60座客车， 租用7辆45座客车，5辆60座客车， 租用8辆45座客车，4辆60座客车. 设租金为w元，则w=250a十300(12-a)=-50a十3600. -50<0, ∴.w随着a的增大而减小， .当a=8时，w最小，为一50×8+3600=3200（元） .租用8辆45座客车，4辆60座客车较合算，最少租金是 3200元. 【变式训练5】B 【变式训练6】解：(1)设A商品的进价是x元/件，B商品的进价是 y元/件， 根据题意，得5工+2y=620, /3x-4y=60, 解得/x=100, y=60. 答：A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件 (2)设购进m件A商品，则购进(60一m)件B商品， 根据题意，得60一m≥2m, (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770， 解得19≤m≤20， .m的最大值为20. 答：购进A商品的件数最多为20件」 【中考真题演练】 1.A2.A3.D 4.一1（答案不唯一） 5.0(答案不唯一) 6.解：去分母，得2(5-2x)<1一x 去括号，得10-4x<1一x. 移项，得一4x十x<1一10. 合并同类项，得一3x<一9， 系数化为1，得x>3. 该不等式的解集在数轴上表示如图所示，