第2章 方程(组)与不等式(组) 第6讲分式方程及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第6讲 分式方程及应用（答案3） 重点知识梳理 分式方程：分母里含有① 的方程 解分式方程 解整式 最简公分母为0，x=a是分式方程的增 分式方程去分母整式方程方程 3 x=a- 根，分式方程无解 的一般步骤 ② 代入最简公分母 ·x=a是分式方程的解 最简公分母不为0 ◆名师点拨：解分式方程时应注意以下两点：1.去分母时，要将最简公分母乘每一个式子，不 要“漏乘”；2.解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可.若能 分 使最简公分母为0，则该解是原方程的增根， 方 定义：使分式方程分母为零的未知数的根 概 及 增根 增根使④ 为零 特征 法 增根是分式方程化成的⑤ 方程的根 分 方 ◆温馨提示：1.分式方程无解有两种情况：一是解为增根，二是去分母后的整式方程无解 2.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母的值为0的根. 应 【随手一练】运算能力》若关于：的分式方程，二g一2-一 有增根，则m的值为( ) x-3 A.1 B.2 C.3 D.4 列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤类似，不同的是要注意检验： (1)检验所求的解是否是所列⑥ 的解 式 (2)检验所求的解是否符合实际 方 程 易错警示：列分式方程解应用题必须验根，既要检验是否为分式方程的增根（原方程增根应 的 舍去)，又要检验是否满足应用题的实际情况 应【随手一练2】某果农种植了一种有机生态水果，与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.已知 去年这种水果批发销售总额为10000元，则这种水果今年每千克的平均批发价是 元. 24 优+学秦赢在中考 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 典型例题剖析》◆◆◆◆◆◆◆eoo心 命题点1】解分式方程 母的取值范围.但要特别注意使分式方程产生 增根的条件，及满足题意中解的情况的条件，各 方法指导→ 个方面都需要考虑全面. 1.解分式方程的基本思路： 2.增根问题可按如下步骤进行：①让最简 分式方程 本广整式方程 公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方 程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母 2.解分式方程的一般步骤： 的值 第一步：用方程中各分式的最简公分母去 乘方程的两边，去掉方程中各分式的分母，得到一 【例2】(2024·聊城莘县一模)若关于x的分式方 个整式方程； 程2 严有端根则m的为 第二步：解这个整式方程，求出这个整式方程 【变式训练2】(2024·聊城冠县二模)关于x的方 的根； 第三步：将整式方程的根代入最简公分母 程2x-1m 2一2十1有增根，则m的值是( (或原方程)进行检验，并作出结论. A.0 B.2或3 易错警示：①解分式方程一定要验根；②解 C.2 D.3 分式方程一定不要漏乘项或出现符号错误， 【变式训练3】(2024·淄博周村区二模)已知关于 【例1】(2024·临沂二摸)解方程：- 2x-3 :的分式方程号2” 12 (1)当m=1时，求方程的解. x+1x-1 【自主解答】 (2)若关于x的分式方程。兰一2=的解为 非负数，求m的取值范围. 【变式训练】(2023·大连中考)将方程， 3= 3x去分母，两边同乘(x-1)后的式子 -1-x 为() A.1+3=3x(1-x)B.1+3(x-1)=-3x C.x-1+3=-3x D.1+3(x-1)=3x 命题点2】由分式方程的解的情况求参数的 值或范围 方法指导→ 1.已知分式方程解的取值范围，求方程中 字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分 式方程的解，再代入解的取值范围，从而确定字 数学·讲练册SD 25 命题点3】分式方程的应用 【变式训练4】(2024·绥化中考)一艘货轮在静水 中的航速为40km/h,它以该航速沿江顺流航行 方法指导→ 120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 列分式方程解应用题要做到认真审题，理 80km所用时间相等，则江水的流速为() 解题意，会找等量关系，能够根据列方程的需要 A.5 km/h B.6 km/h 直接或间接设未知数，能够根据基本数量关系 C.7 km/h D.8 km/h 列代数式表示出各个未知量，从而列出分式方： 【变式训练5】(2024·雅安中考)某市为治理污 程.另外，求得分式方程的解后必须要验根，验根 水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水 时要从两方面考虑：一是所求得的根是否是原方 排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影 程的解；二是所求得的根是否符合实际意义 响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%， 结果提前15天完成铺设任务. 【例3】(2024·临沂沂南二模)冬季来临，天气越 (1)求原计划与实际每天铺设管道各是多少米， 来越冷，某商场进货员采购一批保暖衣以应对市 (2)负责该工程的施工单位按原计划对工人的工 场需求.已知进货员用24000元购进这批保暖 资进行了初步的预算，工人每天人均工资为 衣，面市后供不应求；该进货员又用52000元购 300元，所有工人的工资总金额不超过18万元. 进了第二批同款保暖衣，所购数量是第一批的 该公司按原计划最多应安排多少名工人施工？ 2倍，但每件的进价贵了10元 (1)该商场购进第一批、第二批保暖衣每件的进 价分别是多少元？ (2)如果两批保暖衣按相同的标价销售，最后缺 码的80件按五折优惠售出，要使两批保暖衣全 部售完后利润率不低于40%（不考虑其他因素）， 那么每件保暖衣的标价至少是多少元？ 【自主解答】 ◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《《 中考真题演练 》◆00◆0000000040◆440◆0小00000◆4004400 马考点1分式方程的解法 是() 1.(2024·济宁中考，8,3分)解分式方程1一 A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5 1 C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5 3x-1-- 2-6 一时，去分母变形正确的 26 优学秦赢在中考 2.(2023·日照中考，10,3分)若关于x的方程8.新情境(2024·泰安中考，22,10)随着快递行 业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔 二1一2二，贮2的解为正数，则m的取值范 的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个 围是() 组共35名工人.甲组每天加工3000件农产 A.m>、2 4 B.m<3 品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每 人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每 C.m> 号且m0以a<且a≠号 天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两 3.(2022·威海中考，14,3分)按照如图所示的程 组各有多少名工人 序计算，若输出y的值是2，则输入x的值 是 输人x 1>0 是 =2x- 输出y 4(202·济南中考，164分)代数式z2与代 数式名的值相等，则x 9.(2024·威海中考，17,6分)某公司为节能 5.(2021·弹坊中考，14,4分)若x<2,且x二2 环保，安装了一批A型节能灯，一年用电 |x一2|+x一1=0，则x= 16000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型 凸考点2)分式方程的应用 节能灯，一年用电9600千瓦·时.一盏A型 6.(2024·山东中考，6,3分)为提高生产效率，某 节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年 工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前 用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型 每天多生产100件，改造后生产600件的时间 节能灯每年的用电量. 与改造前生产400件的时间相同，则改造后每 天生产的产品件数为() A.200 B.300 C.400 D.500 7.(2022·青岛中考，11,3分)为落实青岛市中小 学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质， 炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加 3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛 时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用 3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为 x米/分，那么x满足的分式方程为 数学·讲练册SD 273.C4.D 5.C 6.2 7.解：(1)设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， 则|(-3+x)一(12-2x)|=3, 解得x=4或x=6. 答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， (2)设经过x秒，点A,B到原点距离之和为y, 则y=-3+x+12-2x, 当x≤3时，y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x= -3x+15, 当x=3时，y值最小，为6， 当3<x≤6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x+12 2x=-x十9， 当x=6时，y值最小，为3， 当x>6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x-12+2x= 3x-15,无最小值. 综上所述，点A,B到原点距离之和的最小值为3 第6讲分式方程及应用 【重点知识梳理】 ①字母②方程两边同乘最简公分母③检验④最简公分母 ⑤整式 【随手一练1】D ⑥分式方程 【随手一练2】4 【典型例题剖析】 【例1】解：去分母，得2x-3-(x-1)=2(x十1)， 解得x=一4， 检验：把x=一4代人最简公分母，得(x十1)(x一1)≠0， .分式方程的解为x=一4. 【变式训练1】B 【例2】一4【变式训练2】D 【变式训练3】解：(1)当m=1时， x 1一二2， x-11- x+1 -12, 去分母，得x+1=2(x一1)， 解得x=3, 检验：当x=3时，x一1≠0， 故方程的解为x=3. (212= m x m-=2, x-11-x +%2, x十m x-1=2, 去分母，得x十m=2(x-1), 解得x=m十2， 由分式方程有解且解为非负数，得x≠1且x≥0， 即m+2≠1且m+2≥0， 即m≥-2且m卡-1. 【例3】解：(1)设商场购进第一批保暖衣每件的进价是x元，则商 场购进第二批保暖衣每件的进价是(x十10)元， 根据题意，得2400×2=52000， Γx+10 解得x=120, 经检验，x=120是原方程的解，也符合题意， ,.x+10=120+10=130. '.商场购进第一批保暖衣每件的进价是120元，商场购进第二批 保暖衣每件的进价是130元. (2)设每件保暖衣的标价为m元， )知，商场购进第一批保暖衣120=200（件），第二批保暖衣 52000=400(件). 130 根据题意，得(200十400-80)m+80×0.5m≥(24000十 52000)×(1+40%), 解得m≥190， .每件保暖衣的标价至少是190元 【变式训练4】D 【变式训练5】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺 设管道(1+25%)x=1.25x米， 根据题意，得3000 15=3000 1.25x 解得x=40, 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意 .1.25x=50, 则原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米. (2)设该公司按原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75（天）， 根据题意，得300×75y≤180000， 解得y≤8， .不等式的最大整数解为8， 则该公司按原计划最多应安排8名工人施工 【中考真题演练】 1.A2.D3.14.75.16.B 7.3000 3000 (1+25%)x =3 8.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35一x)名工人， 根据题意，得2700-3000×1.2， 35-x 解得x=20, 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意 ..35-x=35-20=15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 9.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏 A型节能灯每年的用电量为(2x一32)千瓦·时， 根据题意，得2x-32 160009600 解得x=96, 经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意， ..2x-32=2×96-32=160. 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160. 第7讲一元二次方程及应用 【重点知识梳理】 ①一②2③a.x2+bx+c=0(a≠0)④一半 ⑤z=-b±VB-4ac ⑥b2一4ac⑦不相等⑧相等 2a ⑨没有四-么 ①9 【随手一练1】B 【随手一练2】2 【典型例题剖析】 【例1】解：2x2+3x-3=0, x2+3 3 x=2, x2++()°-+()， (+)-器 +3=士3 x 4 4 所以x,=二3-V33 x,=-3+33 【变式训练1】解：由题知， a=1,b=-14,c=21, 所以△=(-14)2-4×1×21=112>0， -(-14)士112 所以x= 2×1