第2章 方程(组)与不等式(组) 第5讲一次方程(组)及应用-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及应用（答案P2) 重点知识梳理 》 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆ 「等式的性质1：等式两边加（或减）同一个代数式，所得结果仍是① 性质 性质2：等式两边乘（或除以）同一个数（除数不为② ),所得结果仍是等式 定义：只含有③ 未知数，并且未知数的最高次数都是④ ,系数不等于零的 元 ⑤ 方程 次解一元一次方程的一般步骤：1.去分母；2.⑥ ;3.移项；4.⑦ ;5.未知数的 程 系数化为1 ◆温馨提示：判断一元一次方程的四个条件是：1.只含有一个未知数（元）；2.未知数的次数 都是一次；3.未知数的系数不能为0；4.分母中不含未知数.这四个条件缺一不可. 代入消元法：当方程组中某一个未知数的系数是1或一1时，用代入消元法较简单 1.当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，方程左右两边分别 相减或相加，消去一个未知数 加减消元法 2.当同一未知数的系数不同也不互为相反数时，可通过找系数最小公倍数变 次方程 成系数相同或互为相反数，再采用加减消元法较为合适 程 组 【随手-练1】若关于x,y的二元一次方程ax十by一2=0的两个解分别是z=5,=一1， y=3,y=-3, 组的则a,b的值是( 及 法 A.a=1,b=0 B.a=1,b=-1 C.a=-1,b=1 D.a=1,b=2 用 ※三元一次方程组的解法：三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程 般步骤：审、设、列、解、验、答 公式：路程=速度×⑧ 常见 相遇问题：全路程=甲走的路程十乙走的路程 行程问题 类型 追及问题：若甲为快者，则被追路程=甲走的路程一乙走的路程 及等 流水问题：V顺=)静十V水，V逆=V静一V水 次方程 量关 工作总量=工作效率X工作时间 (组)的实 系 工程问题甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率十乙的工作效率，通常把工作 际应用 总量看作“⑨ ◆名师点拨：解二元一次方程组的基本思路是通过消元，将二元一次方程组转化为 一元一次方程.最常见的消元方法有代入消元法和加减消元法，具体应用时，要结合 方程组的特点，灵活选用消元方法.如果出现未知数的系数为1或一1时，宜采用代 入消元法解；如果出现同一未知数的系数成倍数关系或系数较为复杂时，宜采用加 减消元法解 20 优学系赢在中考 次 【随手一练2】(2023·岳阳一模)《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道 程 次方程 “鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡兔各几何？”学了 组（组）的实 方程（组）后，我们可以非常快捷地解决这个问题.在这个问题中，鸡的数量为() 际应用 及 A.23只 B.24只 C.12只 D.13只 应 用 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 典型例题剖析》◆ooo◆◆◆◆◆o◆e◆◆心 命题点1】方程（组）解的意义 互为相反数或相等时，选用加减消元法较合适 (4)当两个方程中同一个未知数的系数成倍数 方法指导◆ 关系时，选用加减消元法较合适 已知一次方程（组）的解，求方程（组）中参 【例2】(2024·浙江中考)解方程组： 数的值的方法：(1)代入法：当已知方程（组）的 12x-y=5, 解时，把解代入方程（组），得到新的方程（组）， 4x+3y=-10. 再解新的方程（组），从而求出参数的值.(2)整 体法：根据方程组中未知数的系数的特点，利用 【自主解答】 整体思想求某些参数的值或代数式的值： 【例1】(2024·济南钢城区模拟)已知 x=2, 是 y=-1 二元一次方程组x+~-7'的解，则a一b的值 ax-by=1 为() 【变式训练3】(2024·济宁邹城一模)在解二元 A.2 B.3 C.4 D.5 6x+my=3,① 【变式训练1】(2023·永州中考)关于x的一元一 次方程组 时，若①一②可直接消 2x-ny=-6② 次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值 去未知数y,则m和n满足下列条件是() 为( ) A.3 B.-3C.7 D.-7 A.m=n B.mn=1 【变式训练2】(2024·临沂莒南模拟)已知关于 C.m+n=0 D.m+n=1 x,y的二元一次方程组 3x-y=4m+1, 【变式训练4】一题多解》(2023·常德中考)解方 的解满 x+y=2m-5 |x-2y=1①， 足x一y=4,则m的值为( ) 程组： 3x+4y=23②. A.0 B.1 C.2 D.3 命题点2】一次方程（组）的解法 方法指导→ 解二元一次方程组时，选择方法的技巧： (1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者 一1时，选用代入消元法较合适.(2)当方程组中 某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法 较合适.(3)当两个方程中同一个未知数的系数 数学·讲练册SD 命题点3】一次方程（组）的应用 【变式训练5】数学文化》古代中国的数学专著《九 章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三 方法指导→ 斤十二两.今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思 (1)列方程组解应用题的关键是准确地找 是：“今有生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代 出题中的等量关系，正确地列出方程组.(2)设 中国1斤等于16两).今有干丝12斤，问原有生丝 未知数可以采用直接设法，也可以采用间接设 多少？”则原有生丝 斤 法.(3)一般地，设几个未知数，就应列出几个方 【变式训练6】新情境》(2024·山西中考)当下电 程，组成方程组.(4)要根据应用题的实际意义 子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不 检查求得的解是否合理，不符合题意的解应该 断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境 舍去 污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每 吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多 【例3】(2024·临沂沂水二模)根据经营情况，公 760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的 司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下 黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银 调整：甲地上涨10%，乙地降价5元.已知销售单 克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄 价调整前甲地比乙地少10元，调整后甲地比乙 金与白银各多少克 地少1元. (1)求调整前甲、乙两地该商品的销售单价. (2)若调整销售单价后，该商品每年在甲地销 售m件，在乙地销售n件，用含有m,n的代数式 表示调整后该商品在两地年销售总额。 【自主解答】 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆(《《 中考真题演练 》◆040◆0◆0◆◆000◆000404000◆00◆000◆000 马考点1)一次方程（组）的解法 [x-2y=3, 1.(2022·潍坊中考，13,3分)方程组 组：1,313 2x+4y= 4 2x+3y=13, 的解为 3x-2y=0 2.运算能力(2022·淄博中考，18,5分)解方程 22 优学秦赢在中考 8考点2)一次方程（组）的应用 同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺 3.数学文化(2024·威海中考，8,3分)《九章算 布，30天完工，问一共织了多少布？() 术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这 A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺 样一道题目：以绳测井.若将绳三折测之，绳多 6.(2021·烟台中考，15,3分)幻方历史悠久，传 四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深 说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今 各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深 天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方. 度.如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深 将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要 多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比 求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数 井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？ 字之和都是15，则a的值为 若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程 组是() 3x-y=4 13x+4=y A. 8 3 B. 4x-y=1 4x+1=y 7.阅读理解(2024·威海中考，21,9分)定义 3y=4 +4=y 3 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫 C. D. 做数a的绝对值.数轴上表示数a,b的点A, 4y=1 4+1=y B之间的距离AB=a一b(a≥b).特别地，当 4.数学文化(2024·泰安中考，8,4分)我国古代 a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a一 《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大 0.当a<0时，表示数a的点与原点的距离等 致如下：用九百九十九文钱，可买甜果、苦果共 于0-a. 一千个，若…，…，试问买甜果、苦果各几个？ 应用如图所示，在数轴上，动点A从表示一3 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题 的点出发，以1个单位长度/秒的速度沿着数 x+y=1000, 轴的正方向运动.同时，动点B从表示12的点 意的二元一次方程组1 4 根据已 9x+7y=999, 出发，以2个单位长度/秒的速度沿着数轴的 负方向运动. 有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应 A B 为( ) 3 A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 (1)经过多长时间，点A,B之间的距离等于 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 3个单位长度？ C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 (2)求点A,B到原点距离之和的最小值， D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 5.数学文化(2024·烟台中考，9,3分)《周髀算 经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记 载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟. 初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织 几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子， 织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相 数学·讲练册SD 23(m-2)2 m+3 m-2 (m+3)(m-3)-2(m-2)6-2m1 根据计算器可得m=士√9-5=士√4=士2.4一2m≠0， 2 “m≠2，当m=一2时，原式=6十4 5 8.解：(1)由题意可得 b° P。=a-b(a-c+b-c)b-a）+c-ac-b 1 1 (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b3 (2)由题意可得 a P1=(a-b)(a-c) +(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) (a-b)(a-c)(b-c)(a-b)F(a-c)(b-c) _a(b-c)-b(a-c)+c(a-6) (a-b)(b-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) 0 =(a-b)(b-c)(a-c) =0. 第4讲二次根式 【重点知识梳理】 ①√a②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> @最简二次根式①V压@，√日 【随手一练】D 【典型例题剖析】 【例1】a>1【变式训练1】x≥0且x≠3 【例2】D【变式训练2】A 6X3 【例3】解：原式=√2 -4+1= 3-4+1=0. 【变式训练3】D【变式训练4】3 【中考真题演练】 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B 7.-2√38.59.2√3 10解：原式=25-2×号+2-5+号-2g-5+2-g十 15 2=2 11.解：a=2+√5，b=2-5,.a2b+ab2=ab(a十b)=(2+ √5)(2-√5)(2+√/5+2一√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 小专题一规律探究 1.C2.C3.D4.1(或8) 5.解：(1)C(2)3×4m-1 (3)设S=1+5+52+53+…+52023) 则5S=5+52+53+…+52028+52024, 因此5S-S=52024-1, 4S=52024-1, 所以S=52-1 4 即前2024项的和是52一1 4 6.C 7.解：(1)3m(2)n(n+1) 2 (3)由题意，得nn十1) 2 =2×3m,解得n=11或n=0(不符合题意). 8.C 9.解：(1)(9,4)(18,7) (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A4(2×3,1+2),A8(3×3,1+3), 依比类推A(受×3,1+受），即An(3nm+1D. 点A2m的坐标为(3036,1013)， ,.3n=3036,解得n=1012. 第一章易错集训 1.B2.A3.-84.D5.86.A 7.x(x+√3)(x-√3) 8解：1-)2号 x-2 =x-2,(x-1)2 x-2=x-1. x-1≠0，x-2≠0， x≠1且x≠2，∴.当x=3时，原式=2. 9.D10.5 第二章方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及应用 【重点知识梳理】 ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 【随手一练1】B ⑧时间⑨1 【随手一练2】A 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训I练1】A【变式训练2】B ∫2x-y=5,① 【例2】解：4x+3y=-10,② ①×3+②，得10x=5, 解得x=2 代人①，得2×2-y=5, 把x=21 解得y=一4， 1 所以方程组的解是x=2, y=-4. 【变式训练3】C 【变式训练4】解：方法1：由①，得x=2y+1, 把x=2y十1代入方程②，得3(2y+1)+4y=23,解得y=2, 把y=2代人①，得x一4=1，解得x=5, 所以原方程组的解是x=5, y=2. 方法2：①×2十②，得5x=25,解得x=5, 将x=5代入①，得5-2y=1,解得y=2, 所以原方程组的解是x=5, y=2. 【例3】解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商 品的销售单价为y元， 由题意，得x10, y-5)-(1+10%)x=1, 解得/x=40, ly=50. 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 价为50元. (2)销售总额=(1+10%)×40m+(50-5)n=(44m+45n)元. 答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m十45n)元. 【变式训练5】9 【变式训练6】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白 银y克， 根据题意得位+ 解得/x=240, y=1000. 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 【中考真题演练】 1./x=2 y=3 2.解：整理方程组，得 |x-2y=3①， 2x+3y=13②， ①X2-②，得-7y=-7,解得y=1, 把y=1代人①，得x-2=3,解得x=5, “原方程组的解为x二5， y=1. 3.C4.D 5.C 6.2 7.解：(1)设经过x秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， 则|(-3+x)一(12-2x)|=3, 解得x=4或x=6. 答：经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度， (2)设经过x秒，点A,B到原点距离之和为y, 则y=-3+x+12-2x, 当x≤3时，y=|-3+x|+|12-2x|=3-x+12-2x= -3x+15, 当x=3时，y值最小，为6， 当3<x≤6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x+12 2x=-x十9， 当x=6时，y值最小，为3， 当x>6时，y=|-3+x|+|12-2x|=-3+x-12+2x= 3x-15,无最小值. 综上所述，点A,B到原点距离之和的最小值为3 第6讲分式方程及应用 【重点知识梳理】 ①字母②方程两边同乘最简公分母③检验④最简公分母 ⑤整式 【随手一练1】D ⑥分式方程 【随手一练2】4 【典型例题剖析】 【例1】解：去分母，得2x-3-(x-1)=2(x十1)， 解得x=一4， 检验：把x=一4代人最简公分母，得(x十1)(x一1)≠0， .分式方程的解为x=一4. 【变式训练1】B 【例2】一4【变式训练2】D 【变式训练3】解：(1)当m=1时， x 1一二2， x-11- x+1 -12, 去分母，得x+1=2(x一1)， 解得x=3, 检验：当x=3时，x一1≠0， 故方程的解为x=3. (212= m x m-=2, x-11-x +%2, x十m x-1=2, 去分母，得x十m=2(x-1), 解得x=m十2， 由分式方程有解且解为非负数，得x≠1且x≥0， 即m+2≠1且m+2≥0， 即m≥-2且m卡-1. 【例3】解：(1)设商场购进第一批保暖衣每件的进价是x元，则商 场购进第二批保暖衣每件的进价是(x十10)元， 根据题意，得2400×2=52000， Γx+10 解得x=120, 经检验，x=120是原方程的解，也符合题意， ,.x+10=120+10=130. '.商场购进第一批保暖衣每件的进价是120元，商场购进第二批 保暖衣每件的进价是130元. (2)设每件保暖衣的标价为m元， )知，商场购进第一批保暖衣120=200（件），第二批保暖衣 52000=400(件). 130 根据题意，得(200十400-80)m+80×0.5m≥(24000十 52000)×(1+40%), 解得m≥190， .每件保暖衣的标价至少是190元 【变式训练4】D 【变式训练5】解：(1)设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺 设管道(1+25%)x=1.25x米， 根据题意，得3000 15=3000 1.25x 解得x=40, 经检验x=40是分式方程的解，且符合题意 .1.25x=50, 则原计划每天铺设管道40米，实际每天铺设管道50米. (2)设该公司按原计划应安排y名工人施工，3000÷40=75（天）， 根据题意，得300×75y≤180000， 解得y≤8， .不等式的最大整数解为8， 则该公司按原计划最多应安排8名工人施工 【中考真题演练】 1.A2.D3.14.75.16.B 7.3000 3000 (1+25%)x =3 8.解：设甲组有x名工人，则乙组有(35一x)名工人， 根据题意，得2700-3000×1.2， 35-x 解得x=20, 经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意 ..35-x=35-20=15. 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人. 9.解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏 A型节能灯每年的用电量为(2x一32)千瓦·时， 根据题意，得2x-32 160009600 解得x=96, 经检验，x=96是所列方程的解，且符合题意， ..2x-32=2×96-32=160. 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160. 第7讲一元二次方程及应用 【重点知识梳理】 ①一②2③a.x2+bx+c=0(a≠0)④一半 ⑤z=-b±VB-4ac ⑥b2一4ac⑦不相等⑧相等 2a ⑨没有四-么 ①9 【随手一练1】B 【随手一练2】2 【典型例题剖析】 【例1】解：2x2+3x-3=0, x2+3 3 x=2, x2++()°-+()， (+)-器 +3=士3 x 4 4 所以x,=二3-V33 x,=-3+33 【变式训练1】解：由题知， a=1,b=-14,c=21, 所以△=(-14)2-4×1×21=112>0， -(-14)士112 所以x= 2×1