小专题一 规律探究&第1章易错集训-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

小专题一 规律探究（答案P2) 类型①关于数式的规律探究 得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差 的绝对值不等于1.经过探究后，乙组的小高同 1.(2024·昆明模拟)按一定规律排列的式子： a2,-a3a0 学填出了图中两个中心圆圈的数字a,b,你认 3’5’-7,…,第n个式子是( 为a可以是 (填上一个数字即可). A.(-1)"a-1 2n+1 B.(-1)n+1ar-1 2n+1 C.(-1)n+1an+h 5.（2024·济宁曲阜模拟)阅读新知 2n-1 般地，如果一个数列从第2项起，每一 D.(-1)a1 项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这 2n-1 个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数 2.(2023·娄底中考)从n个不同元素中取出m 列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) (m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 即：在数列a1,a2,a3,…,an(n为正整数)中， 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 C表示，C=n(n-1)(n-2)…(n-m十1) a=g,…,则数列a1a2a3,…,an 若2-q, m(m-1)…1 (n为正整数)叫做等比数列.其中a1叫数列的 (n≥m,n,m为正整数)；例如：C= 5×4 2X1 首项，a2叫第二项，…，am叫第n项，q叫做数 cg-8Xx则ce+Gg=() 列的公比. 例如：数列1,2,4,8,16，…是等比数列，公比 A.C8B.C1oC.Ci。 D.Cio q=2. 3.(2024·重庆中考)已知整式M:anx”十 计算：求等比数列1,3,32,33，…，31的和. am-1xm-1+…十a1x十a0,其中n,am-1,…,a0 解：令S=1+3十32+33+…+310，则3S= 为自然数，am为正整数，且n十am十am-1十 3+32+33+34+…+3100+3101. …十a1十ao=5.下列说法： ①满足条件的整式M中有5个单项式； 因此3S-S=3101-1.所以5=3”-1 2 ②不存在任何一个n,使得满足条件的整式M 有且只有3个； 即1+3+32+33+…+31w=31-1 2 ③满足条件的整式M共有16个. 学以致用 其中正确的个数是() (1)选择题：下列数列属于等比数列的 A.0 B.1 是() C.2 D.3 A.1,2,3,4,5 4.结论开放(2024·德阳中考)数学活动课上，甲 B.2,6,18,21,63 组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数 C.56,28,14,7,3.5 字1至8分别填入如图所示的八个圆圈内，使 D.-11,22,-33,44,-55 数学·讲练册SD 17 (2)填空题：已知数列a1,a2,a3,…,am是公比 【规律应用】 为4的等比数列，若它的首项a1=3,则它的第 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律， n项a,等于 求正整数，使得连续的正整数之和1+2+ (3)解答题：求等比数列1,5,52,53，…前2024 3十…十n等于第n个图案中“回”的个数的 项的和 2倍. 类型3关于坐标的规律探究 8.几何直观》(2024· 类型2关于图形的规律探究 泰安肥城二模)如 6.(2024·重庆中考)用菱形按如图所示的规律 图所示，在平面直 0. 拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第② 角坐标系中，有若 个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱 干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如 形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律， (0,1),(-1,2),(0,2),(1,2),(2,3),(1,3), 则第⑧个图案中，菱形的个数是( (0,3),…,根据这个规律探索可得第2024个 9的8 点的坐标是( ) A.(43,45) B.(44,45) C.(-43,45) D.(-42,45) ① A.20 B.21 C.23 D.26 9.(2024·阜阳三模)【观察·发现】如图所示，观 7.(2023·安徽中考)【观察思考】 察下列各点的排列规律： A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1), A4(6,3),…. ◎○ ◎'O ◎O ★○ ◎'O ◎◎O◎'◎◎O◎◎O◎O 第1个图案第2个图案第3个图案 第4个图案 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“◎”的个数为 (2)第1个图案中“★”的个数可表示为X2, 【归纳·应用】 2 (1)直接写出点A。的坐标为 ;点A12 第2个图案中“★”的个数可表示为2X3, 2,第 的坐标为 (2)若点A2m的坐标为(3036,1013)，求n 3个图案中“★”的个数可表示为)，第4 的值 图案中“★”的个数可表示为4，…第n个 图案中“★”的个数可表示为 18 优学秦赢在中考 第一章 易错集训（答案2）》 易错点1】混淆两种不同的科学记数法 易错点3】因式分解不彻底 1.新情境(2024·连云港灌云二模)中国信息通 6.(2024·邯郸丛台区三模)对4x2一16因式分 信研究院测算，2020~2025年，中国5G商用 解，嘉嘉的解答为4(x十2)(x一2)；琪琪的解 带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带 答为(2x+2)(2x一2)，下列判断正确的 动经济总产出达10.6万亿元.其中数据 是() 10.6万亿用科学记数法表示为( ) A.只有嘉嘉的结果对 A.10.6×104 B.1.06×1013 B.只有琪琪的结果对 C.10.6×1013 D.1.06×108 C.两人的结果都对 2.(2024·邯郸邯山区三模)已知一个水分子的 D.两人的结果都不对 直径约为4×10-10米，某花粉的直径约为5× 7.(2024·上海普陀区三模)在实数范围内分解 10-5米，则用科学记数法表示这种花粉的直径 因式：x3-3x= 是一个水分子直径的() 易错点4】分式化简求值时忽略分式有意义 A.1.25×105倍 B.1.25×10-5倍 的条件 C.0.8×10-5倍 D.8×10-6倍 3.（2024·南京鼓楼区三模)若把数字 8溪菜能功先化简巾-》小片2 0.0000000618用科学记数法表示为6.18× 从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代 10”的形式，则n= 入求值. 易错点2】对整式乘法的几何意义理解不透 4.(2024·石家庄模拟)下列各图中，能直观解释 “(3a)2=9a2”的是( a■□ 3 11l aa a aaa A B D 5.推理能力(2024·淄博博山区一模)设有边长 分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸 片，长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张，如 易错点5】忽略二次根式有意义的条件 图所示，要拼一个边长为a+b的正方形，需要 1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片. 9.（2024·东莞一模)要使 有意义，则x的 /x-2 若要拼一个长为3a十b,宽为2a十2b的矩形， 值可以是( 则需要 张C类纸片. A.0 B.1 B C.2 D.3 10.（2024·淄博高青一模)两个最简二次根式 √a2+a与a+25可以合并，则a= 数学·讲练册SD 19(m-2)2 m+3 m-2 (m+3)(m-3)-2(m-2)6-2m1 根据计算器可得m=士√9-5=士√4=士2.4一2m≠0， 2 “m≠2，当m=一2时，原式=6十4 5 8.解：(1)由题意可得 b° P。=a-b(a-c+b-c)b-a）+c-ac-b 1 1 (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b3 (2)由题意可得 a P1=(a-b)(a-c) +(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) (a-b)(a-c)(b-c)(a-b)F(a-c)(b-c) _a(b-c)-b(a-c)+c(a-6) (a-b)(b-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) 0 =(a-b)(b-c)(a-c) =0. 第4讲二次根式 【重点知识梳理】 ①√a②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> @最简二次根式①V压@，√日 【随手一练】D 【典型例题剖析】 【例1】a>1【变式训练1】x≥0且x≠3 【例2】D【变式训练2】A 6X3 【例3】解：原式=√2 -4+1= 3-4+1=0. 【变式训练3】D【变式训练4】3 【中考真题演练】 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B 7.-2√38.59.2√3 10解：原式=25-2×号+2-5+号-2g-5+2-g十 15 2=2 11.解：a=2+√5，b=2-5,.a2b+ab2=ab(a十b)=(2+ √5)(2-√5)(2+√/5+2一√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 小专题一规律探究 1.C2.C3.D4.1(或8) 5.解：(1)C(2)3×4m-1 (3)设S=1+5+52+53+…+52023) 则5S=5+52+53+…+52028+52024, 因此5S-S=52024-1, 4S=52024-1, 所以S=52-1 4 即前2024项的和是52一1 4 6.C 7.解：(1)3m(2)n(n+1) 2 (3)由题意，得nn十1) 2 =2×3m,解得n=11或n=0(不符合题意). 8.C 9.解：(1)(9,4)(18,7) (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A4(2×3,1+2),A8(3×3,1+3), 依比类推A(受×3,1+受），即An(3nm+1D. 点A2m的坐标为(3036,1013)， ,.3n=3036,解得n=1012. 第一章易错集训 1.B2.A3.-84.D5.86.A 7.x(x+√3)(x-√3) 8解：1-)2号 x-2 =x-2,(x-1)2 x-2=x-1. x-1≠0，x-2≠0， x≠1且x≠2，∴.当x=3时，原式=2. 9.D10.5 第二章方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及应用 【重点知识梳理】 ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 【随手一练1】B ⑧时间⑨1 【随手一练2】A 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训I练1】A【变式训练2】B ∫2x-y=5,① 【例2】解：4x+3y=-10,② ①×3+②，得10x=5, 解得x=2 代人①，得2×2-y=5, 把x=21 解得y=一4， 1 所以方程组的解是x=2, y=-4. 【变式训练3】C 【变式训练4】解：方法1：由①，得x=2y+1, 把x=2y十1代入方程②，得3(2y+1)+4y=23,解得y=2, 把y=2代人①，得x一4=1，解得x=5, 所以原方程组的解是x=5, y=2. 方法2：①×2十②，得5x=25,解得x=5, 将x=5代入①，得5-2y=1,解得y=2, 所以原方程组的解是x=5, y=2. 【例3】解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商 品的销售单价为y元， 由题意，得x10, y-5)-(1+10%)x=1, 解得/x=40, ly=50. 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 价为50元. (2)销售总额=(1+10%)×40m+(50-5)n=(44m+45n)元. 答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m十45n)元. 【变式训练5】9 【变式训练6】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白 银y克， 根据题意得位+ 解得/x=240, y=1000. 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 【中考真题演练】 1./x=2 y=3 2.解：整理方程组，得 |x-2y=3①， 2x+3y=13②， ①X2-②，得-7y=-7,解得y=1, 把y=1代人①，得x-2=3,解得x=5, “原方程组的解为x二5， y=1.