第1章 数与式 第4讲二次根式-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第4讲 二次根式（答案P2) ◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆( 重点知识梳理 ◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 定义：形如① (a≥0)的式子 二次根式有意义的条件：要使二次根式√a有意义，则a② .0 同时（被开方数不含分母 次 最简二次根式 满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 根 几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，那么这几个 的同类二次根式： 二次根式就叫做同类二次根式.如√3，√12,33是同类二次根式 关 念 ◆温馨提示：最简二次根式必须同时满足如下条件： 1.被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； 2.被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 1.(√a)2=a(③ ④ (a≥0) 2.√a7=|a|= ⑤ (a<0) 二次根 3.√ab=√a·√i(a⑥ 0,b⑦ 0) 式的 性质 次 4.b -a(a⑧ 0,b⑨ 0) 式 |a≥0 5.√a具有双重非负性 wa≥0 加减法：把几个二次根式化为⑩ 后，若有被开方数相同的二次根式，可把被开方数相 同的二次根式合并成一个二次根式 次乘法：√a·√=① (a≥0，b≥0) 根 的 除法， (a≥0，b>0) 6 算 【随手一练】下列各式计算正确的是() A.3√3-23=1 B.√(-3)2=-3 C.√3+2=5 D.(5+3)(5-√3)=2 (/1I)2=11 先对二次根式平方 估计二次根式 ↓ 二次根式 a(a>0)的值 找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数确定9和1可 ↓ 的估值 在哪两个连续的 对以上两个整数开方 √9=3，/16=4 整数之间 ↓ ↓ 确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间 3<√1I<4 14 优学系赢在中考 先确定二次根式在哪两个整数之间，如3<√/11<4 确定与二次 求这两个整数的平均效，如3士4-8.5 次二次根式 根的估值 根式a(a>0) 式 最接近的整数 对二次根式和平均数进行平方，如（√/11）2=11,3.52=12.25，若二次根 式的平方小于平均数的平方，如11<12.25，则离较小的整数近，即√11 离3较近；反之离较大的整数近 典型例题剖析 》◆e◆◆0000◆●◆0◆◆090◆●◆0e◆◆◆●◆0●◆0◆0◆ 命题点1】 二次根式有意义的条件 【变式训练2】(2023·河北中考)若a=√2，b= 14a =( ) 方法指导→ √7，则 b2 解题的关键是熟练运用二次根式的条 A.2 B.4 C.7 D.√2 件—一被开方数是非负数.解决此类题需从整体 命题京(3】二次根式的运算 上观察代数式的特点，若存在二次根式，便可根 据被开方数是非负数列不等式；若存在分母，便 方法指导→ 可根据分母不为0列不等式.字母的取值范围便 在二次根式的混合运算中，如能结合题目 是所有不等式联立组成的不等式组的解集， 特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解 【例】(2024·淄博桓台二模)若代数式2a三 题途径，往往能事半功倍.在运算过程中，除了 a-1 注意运算顺序外，还要特别注意公式的运用和 有意义，则a的取值范围为 实数运算律的使用.公式包括二次根式乘除运 【变式训练1】(2024·德州夏津模拟)若 算公式，以及完全平方公式和平方差公式 x-3 √x有意义，则x的取值范围是 【例3】(2024·青岛城阳区一模)计算：√5×，3 2 命题点2】二次根式的性质 -2 2 +tan45°. 方法指导→ 【自主解答】 要熟练掌握二次根式的五个性质，特别要 注意当a<0时，√a2=a=-a,要具有整体 思想，会整体处理。 【例2】(2024·枣庄滕州模拟)实数a,b在数轴上 的位置如图所示，则化简√a2+2a十1 √b2一4b+4的结果正确的是( ) -1 0 A.-a-b+1 B.-a+b+1 C.a-b-1 D.a+b-1 数学·讲练册SD 15 【变式训练3】(2023·大连中考)下列计算正确的 【变式训练4】(2023·聊城中考)计算： 是() 1 ÷3= A.(√2)=2 B.2√5+3√5=5√6 ④8-33} C.√8=4√2 D.3(25-2)=6-23 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆(《 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆心 8考点1)二次根式的概念及化简 8(2021·青岛中考，9,3分)计算：(s+写)× 二2有意 1.(2023·济宁中考，4,3分)若代数式 √2= 义，则实数x的取值范围是() 9.(2022·泰安中考，13,4分)计算：√⑧×√6 A.x≠2 B.x≥0 4 3 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 3 2.(2022·聊城中考，5,3分)射击时，子弹射出枪 10.(2023·济宁中考，16,6分)计算：√12- 口时的速度可用公式v=√2as进行计算，其中 2cos30°+|5-2|+2-1. a为子弹的加速度，s为枪筒的长.如果a= 5×105m/s2,s=0.64m,那么子弹射出枪口 时的速度（用科学记数法表示）为() A.0.4×103m/sB.0.8×103m/s C.4×102m/sD.8×102m/s 3.(2023·烟台中考，2,3分)下列二次根式中，与 11.运算能力》(2022·济宁中考，16,6分)已知 √2是同类二次根式的是() a=2+√5，b=2-√5，求代数式a2b+ab2 的值 A.√4 B.√6 C.8 D.√12 4.(2022·淄博中考，13,4分)要使根式a一5有 意义，则a的取值范围是 5.(2024·烟台中考，11,3)若代数式3 在实 Vx-1 数范围内有意义，则x的取值范围为 考点2二次根式的运算 6.(2024·济宁中考，3,3分)下列运算正确的 是() A.√2+3=√5 B.√2X√5=√/10 C.2÷√2=1 D.√(-5)2=-5 7.(2024·威海中考，11,3分)计算：√12-√8× √6= 16 优学秦赢在中考(m-2)2 m+3 m-2 (m+3)(m-3)-2(m-2)6-2m1 根据计算器可得m=士√9-5=士√4=士2.4一2m≠0， 2 “m≠2，当m=一2时，原式=6十4 5 8.解：(1)由题意可得 b° P。=a-b(a-c+b-c)b-a）+c-ac-b 1 1 (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-b3 (2)由题意可得 a P1=(a-b)(a-c) +(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) (a-b)(a-c)(b-c)(a-b)F(a-c)(b-c) _a(b-c)-b(a-c)+c(a-6) (a-b)(b-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc (a-b)(b-c)(a-c) 0 =(a-b)(b-c)(a-c) =0. 第4讲二次根式 【重点知识梳理】 ①√a②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> @最简二次根式①V压@，√日 【随手一练】D 【典型例题剖析】 【例1】a>1【变式训练1】x≥0且x≠3 【例2】D【变式训练2】A 6X3 【例3】解：原式=√2 -4+1= 3-4+1=0. 【变式训练3】D【变式训练4】3 【中考真题演练】 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B 7.-2√38.59.2√3 10解：原式=25-2×号+2-5+号-2g-5+2-g十 15 2=2 11.解：a=2+√5，b=2-5,.a2b+ab2=ab(a十b)=(2+ √5)(2-√5)(2+√/5+2一√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 小专题一规律探究 1.C2.C3.D4.1(或8) 5.解：(1)C(2)3×4m-1 (3)设S=1+5+52+53+…+52023) 则5S=5+52+53+…+52028+52024, 因此5S-S=52024-1, 4S=52024-1, 所以S=52-1 4 即前2024项的和是52一1 4 6.C 7.解：(1)3m(2)n(n+1) 2 (3)由题意，得nn十1) 2 =2×3m,解得n=11或n=0(不符合题意). 8.C 9.解：(1)(9,4)(18,7) (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A4(2×3,1+2),A8(3×3,1+3), 依比类推A(受×3,1+受），即An(3nm+1D. 点A2m的坐标为(3036,1013)， ,.3n=3036,解得n=1012. 第一章易错集训 1.B2.A3.-84.D5.86.A 7.x(x+√3)(x-√3) 8解：1-)2号 x-2 =x-2,(x-1)2 x-2=x-1. x-1≠0，x-2≠0， x≠1且x≠2，∴.当x=3时，原式=2. 9.D10.5 第二章方程（组）与不等式（组） 第5讲一次方程（组）及应用 【重点知识梳理】 ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 【随手一练1】B ⑧时间⑨1 【随手一练2】A 【典型例题剖析】 【例1】D【变式训I练1】A【变式训练2】B ∫2x-y=5,① 【例2】解：4x+3y=-10,② ①×3+②，得10x=5, 解得x=2 代人①，得2×2-y=5, 把x=21 解得y=一4， 1 所以方程组的解是x=2, y=-4. 【变式训练3】C 【变式训练4】解：方法1：由①，得x=2y+1, 把x=2y十1代入方程②，得3(2y+1)+4y=23,解得y=2, 把y=2代人①，得x一4=1，解得x=5, 所以原方程组的解是x=5, y=2. 方法2：①×2十②，得5x=25,解得x=5, 将x=5代入①，得5-2y=1,解得y=2, 所以原方程组的解是x=5, y=2. 【例3】解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商 品的销售单价为y元， 由题意，得x10, y-5)-(1+10%)x=1, 解得/x=40, ly=50. 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 价为50元. (2)销售总额=(1+10%)×40m+(50-5)n=(44m+45n)元. 答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m十45n)元. 【变式训练5】9 【变式训练6】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白 银y克， 根据题意得位+ 解得/x=240, y=1000. 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 【中考真题演练】 1./x=2 y=3 2.解：整理方程组，得 |x-2y=3①， 2x+3y=13②， ①X2-②，得-7y=-7,解得y=1, 把y=1代人①，得x-2=3,解得x=5, “原方程组的解为x二5， y=1.