第1章 数与式 第3讲分式-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第3讲 分式（答案P1) 重点知识梳理 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 定义：形如会A,B是整式，且B中含有@ ,B≠0)的式子 ◆温馨提示：判断一个代数式是否为分式，只看未化简的式子的分母中是否含有字母，即分 母中含有字母的为分式.不能约分后再判断， 分 式 分式 无意义的条件：B=0 与分式有关的 概 念 “三个条件” 分式有意义的条件：B0 分式号值为零的条件：A=0且B≠0 基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个② 的整式，分式的值不变.用 A AXMA A÷M 式子表示是：B一BXM'B一B:M(其中M是不等于0的整式) 符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变 最简分式：分子和分母没有③ 的分式 概念：根据分式的基本性质将分子、分母中的④ 约去 分 1.分子、分母中能分解因式的，先分解因式 约分 式分 找公因式2.取分子、分母相同因式的最低次幂的积（数字因式取它们的最大公约数）作 为公因式 的 概念：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为⑤ 的分式 分 确立最简公分母的一般方法： ①如果各分母都是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最 分 通分 高次幂，以及所有单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的 找最简公分母 因式，这样得到的积就是最简公分母 ②如果分母中含有多项式，就要把多项式进行因式分解，从系数、相同 的因式、不同的因式三个方面来确定 e c_ac,a÷ca.d_ad 分式的乘除法：6·a-6d6÷a-万`c6c 分式的乘方：（合 =⑥ (n为整数)》 运 分式的加减法：±_a士b,士S-ad6c c’bd-bd 分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算⑦ ,再将除法化为乘法，进行约分化 简，最后进行加减运算.遇到有括号的，先算括号里面的 数学·讲练册 SD ◆名师点拨：1.通分时，要使用最简公分母，如果随意采用公分母，会造成运算的繁琐，不易 约分.2.最后结果的分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.3.分式 分 分 式 的混合运算，一般按照常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，采用乘法的运算律进行 式 运 灵活运算 a-3a2-4 2 【随手一练】化简。千如十4·Q一3 a+2 ◆●◆●◆●●●◆●◆◆●●◆◆●●◆●◆◆◆●◆◆●●◆●◆◆●●( 典型例题剖析 》◆◆0◆0●0◆00000004e0040◆000000000◆ 命题点1】分式有无意义和值为零的条件 【变式训练3】推理能力》已知a,b,c是△ABC 的三边，且a,b,c的取值使分式ab-ac+c2-bc 方法指导→ a-b 1.分式是否有意义关键是看分母是否等于 的值为零，试判断这个三角形的形状，并说明 0,等于0则无意义，反之则有意义. 理由. 2.求使分式值为0的字母的值.首先求出 使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值 是否使分母的值为0，当分母的值不为0时，就 是所要求的字母的值. 【例1】(1)(2024·济宁兖州区模拟)若分式 x=-3有意义，则x的值为( x+3 命题点2】分式的化简求值 A.x≠土3 B.x≠-3 C.x≠3 D.x≥-3且x≠3 方法指导→ (2)(2024·淄博高青二模)若分式-4 x+2的值为 分式的化简求值题全都遵循“先化简，再求 值”的原则.分式的化简，要牢记运算法则和运 0,则x的值是 算顺序，并能灵活应用.注意分式的运算结果应 【变式训练1】 是最简分式或整式.代入值时应注意字母取值 (2024·枣庄台儿庄区期末)当x= 时， 范围的限制条件. 分式红工应义。 【例2】(2023·烟台中考)先化简，再求值： 【室式训练2】已知分式当x取仆么值 。09:(a2+a)》:其中a是使不等式 a-2 时，分式的值为零？ a-1 ≤1成立的正整数， 【自主解答】 12 优学秦赢在中考 【变式训练4】(2024·山东中考)先化简，再求值：【变式训练5】运算能力》先化简，再求值：(x一 1-2南* F。9其中a=1. 2x-]÷1,其中x=2-1. x 中考真题演练》44o444 盆考点1)分式的概念及性质 7.运算能力(2024·烟台中考，17,6分)利用课 12021·酒将中考，184分)若分式3 本上的计算器进行计算，按键顺序如下 一有意 3)○⑤))，若m是其显示结果的平方 义，则x的取值范围是 2.(2024·济宁中考，12,3分)已知a2一2b+1= 根，充化简：(n”十)+智 m3,再 0则7的值是 求值. 8考点2)分式的化简及运算 3.(2024·威海中考，4,3分)下列运算正确的 是() A.x5+x5=x10 B.m+n2.1=m C.a6÷a2=a4 D.(-a2)3=-a5 4.(2022·威海中考，7,3分)试卷上一个正确的8.数学文化(2024·滨州中考，19,7分)欧拉是 式子6.6)÷★千6藏小预同学不 历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不 仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初 小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式 等数学中留下了不凡的足迹.设a,b,c为两两 为() 不同的数且都不为0，称P,= C.a 4a D. an b” a a+b a2-b3 (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) 4 2+ 5.（2024·咸海中考，14,3分)计算： (c-a)(c-b)(n=0,1,2,3)为欧拉分式. (1)写出P。对应的表达式. 2-x (2)化简P1对应的表达式. 6.(2022·菏泽中考，13,3分)若a2-2a-15= 0,则代数式a-。)·2的 值是 数学·讲练册SD 13优学案 赢在中考 参苦答案 数学SD ⊕河 =x2-2x+1+x2-4-(x2+4x+3) =x2-2x+1+x2-4-x2-4x-3 =x2-6x-6. 第一部分教材梳理 x2-6x-2023=0, x2-6.x=2023, 第一章数与式 .当x2一6x=2023时，原式=2023-6=2017. 第1讲实数 【例4】C【变式训练6】D【变式训练7】3m(a-b) 【重点知识梳理】 【中考真题演练】 ①0②实数③-a④0⑤1 1.D2.D3.D4.D5.C6.37.908.(n-1)(n+1)+1 ⑥ab=1⑦距离 9.解：原式=(xy-4x2)十(4x2-y2) 【随手一练1】C =xy-4x2+4x2-y2 ⑧互为相反⑨0⑩负 =xy-y', 【随手一练2】B ①大②小⑧>@=⑤<⑥<⑦> ⑧相同©较大 当x=号9=2时原式=2×2-2=1-4=-3 @相反数@正®负因倒数②a'⑤。 10.xy(x+2)11.(x+3)212.8 第3讲分式 【重点知识梳理】 【随手一练3】√3 【典型例题剖析】 ①字母②不等于0③公因式④公因式同同分母回 【例1】B【变式训练1】C【变式训练2】A ⑦乘方 【例2】C【变式训练3】B【变式训练4】8×10 【例3】土2【变式训练5】A【变式训练6】1 【随手一练，2 【例】解：5-x°+（← ）+2sin45°-l1-√21= 【典型例题剖析】 【例1】(1)A(2)2【变式训练12 1+4+2x 2-(2-1)=1+4+2-2+1=6. 【变式训练2】解：由22二8=0，得2x-8=0且x-2≠0，解得工 x-2 【变式训练7】 一2.当x=一2时，分式的值为零 解：原式=5-1-6=一2. 【变式训练3】解：等腰三角形.理由：：a,b,c的取值使分式 【变式训练8】 解：原式=3×√3-2-2√3+2-√3= ab-ac+c2-c的值为零， a-b 3√3-2-2√3+2-√3=0. ∴.ab-ac+c2-bc=0,且a-b≠0， 【例5】C【变式训练9】C【变式训练10】> 则(a-c)(b-c)=0, 【中考真题演练】 ∴a-c=0或b-c=0, 1.C2.D3.C4.B5.C6.C7.B8.B ∴a=c或b=c, 9.3.6×10110.A11.A12.A13.A ∴这个三角形是等腰三角形 14.①③15.2或316.1317.1 【例2】解：原式=a-3》÷4-a2+5_a-3)2 2-a 2-a 91 a-2 a-2'(3-a)(3+a) 18,解：21+(-2)x(-）-√骨=日+1-名=0， (a-3)2 a-2 _a-3 a-2·(a-3)(a+3)a+3i 第2讲整式及因式分解 【重点知识梳理】 …a1 2 1，解得a≤3. ①化简 【随手一练1】2或6 又a是使不等式4，≤1成立的正整数，且a-2≠0，a一3≠0，a十 2 ②多项式③乘积④数字⑤和⑥单项式⑦次数最高 3≠0， ⑧指数⑨不变①不变①改变②am+n⑧amm④a”b” ⑤am-n⑥系数⑦同底数幂⑧ma十mb十mc©ma十mb十 =1原式-计号 na+nb四a2一b2①a2士2ab+b2②指数 【变式训练4)】解：原式=a a+2 【随手一练2】C a+3 a+3)a-=t9 a+3 图积@m(a十b十c)因最大公约数西相同 (a十3)(a-3) 【随手一练3】(m一n)(2m一n)(2m十n) a+2 =a-3, 【典型例题剖析】 将a=1代入，得原式=1-3=一2. 【例】A【变式训练】 -2 【变式训练5】懈：(x-2红)÷x-1--2红+1.工 【例2】D【变式训练2C【变式训练3】16 (x-1)2 【例3】解：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y)=x2-4y2-x2+4xy x-1 x (x+1(x-D=+当x=厄-1时，原式 -4y2+4xy, 当x=√2+1，y=W2-1时，原式=-4×(W2-1)2+4×(W2+ 2-1-1_厄-2-1-2. √2-1+1√2 1)×(2-1)=-4×(3-2√2)+4×(2-1)=-12+82+4× 【中考真题演练】 1=-12+8√2+4=-8+8√2 1.x≠32.23.C4.A5.-x-26.15 【变式训练4】B m+3 【变式训练5】解：(x-1)2+(x+2)(x-2)-(x十3)(x十1) 7解(》(+》 4-2m -1 (m-2)2 m+3 m-2 点A2m的坐标为(3036,1013)， (m+3)(m-3)·-2(m-2)-6-2m, .3n=3036,解得n=1012. 根据计算器可得m=士√9-5=士√4=士2.4-2m≠0， 第一章易错集训 1.B2.A3.-84.D5.86.A 、六m≠2，当m=一2时，原武子，2与 2 5 7.x(x十3)(x-3) 8.解：(1)由题意可得 8解：(1-)22号. x-2 _x-2.(x-1)2 =x-1. P。=a-ba-c+-c)6-a）+c-aj(c-b x-1≠0，x-2≠0， 1 1 ∴x≠1且x≠2，.当x=3时，原式=2. a-b)(a-c)+(b-c)(6-a+(c-a)(c-b) 9.D10.5 (2)由题意可得 第二章方程（组）与不等式（组） a 61 第5讲一次方程（组）及应用 Pi-(a-b)(a-c)+(b-o(6-a)T(c-a)(c-b) 【重点知识梳理】 a b ①等式②0③一个④1⑤整式⑥去括号⑦合并同类项 (a-b)(a-c)-(b-e)(a-b+(a-e)(b-c 【随手一练1】B a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) ⑧时间⑨1 (a-b)(b-c)(a-c) 【随手一练2】A ab-ac-ab+bc+ac-bc 【典型例题剖析】 (a-b)(b-c)(a-c) 【例1】D【变式训练1】A【变式训I练2】B 0 =(a-b)(b-c)(a-c） 【倒2牖：+3y90.@ =0. ①×3+②，得10x=5, 第4讲二次根式 【重点知识梳理】 解得x=2’ ①√a②≥③a≥0④a⑤-a⑥≥⑦≥⑧≥⑨> 把x=2代人①，得2x 2-y=5, @最简二次根式①V历四日 解得y=一4， 1 【随手一练】D 【典型例题剖析】 所以方程组的解是x=2, y=-4. 【例1】a>1【变式训l练1】x≥0且x≠3 【变式训练3】C 【例2】D【变式训练2】A 【变式训练4】解：方法1：由①，得x=2y+1, 【展原式-√ -4+1= 把x=2y+1代入方程②，得3(2y+1)+4y=23,解得y=2, 把y=2代人①，得x-4=1,解得x=5, 3-4+1=0. 【变式训练3】D【变式训练4】3 所以原方程组的解是x=5, y=2. 【中考真题演练】 方法2：①×2+②，得5x=25,解得x=5 1.D2.D3.C4.a≥55.x>16.B 将x=5代入①，得5-2y=1,解得y=2, 7.-2√38.59.23 10.解：原式=2-2×+2-5+之=25-5+2-万+ 所以原方程组的解是x=5, y=2. 【例3】解：(1)设调整前甲地该商品的销售单价为x元，乙地该商 15 品的销售单价为y元， 2=2 由夏意，海化，+10⅓江=. 11.解：a=2+√5，b=2-√5，.a2b+ab2=ab(a十b)=(2+ √5)(2-5)(2+5+2-√5)=(4-5)×4=-1×4=-4. 解得=40， ly=50. 小专题一规律探究 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单 1.C2.C3.D4.1(或8) 价为50元. 5.解：(1)C(2)3×4m-1 (2)销售总额=(1+10%)×40m+(50-5)n=(44m+45n)元. (3)设S=1+5十52+53+…+52023， 答：调整后该商品在两地年销售总额为(44m十45n)元. 则5S=5+52+53+…+52028+52024, 因此5S-S=52024-1, 【变式训练5】9 4S=52024-1, 【变式训练6】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白 所以5=52-1 银y克， 4 即前2024项的和是52-1 根据圆意，得亿58， 4 6.C 解得r=240, y=1000. 7.解：(1)3m(2)n(n+1) 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 2 【中考真题演练】 (3)由题意，得”十1) 2 =2×3m,解得n=11或n=0(不符合题意). 1./e=2 y=3 8.C 9.解：(1)(9,4)(18,7) 2.解：整理方程组，得{仔一2=30， 2x+3y=13②， (2)A(0,1),A1(2,0),A2(3,2),A3(5,1),A4(6,3), ①X2-②，得-7y=-7,解得y=1, 且A(0,1),A2(1×3,1+1),A4(2×3,1+2),A。(3×3,1+3), 把y=1代人①，得x-2=3,解得x=5, ,二依此类推，A(受×3,1+贸），即A（3十1D. 原方程组的解为：二5， y=1. 2