第1章 数与式 第2讲整式及因式分解-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第2讲 整式及因式分解（答案P1) ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 重点知识梳理 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆ 代数式：一般地，用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子 称为代数式 代数式求值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做 代数式的值 代数式求值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行① ,再将数值代入： 代 (2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果 数 了解代数推理（课程标准新增内容） 式 ◆温馨提示：代数式求值的一般方法：1.直接代入法：把字母所表示的数值直接代入，计算求 及 值.2.化简后代入法：把比较复杂的代数式运用整式运算化简为比较简单的代数式后代入字 染 母的值.3.整体代入法：(1)观察已知条件和所求代数式；(2)通过因式分解等，将所求代数式 值 变形，使其与已知代数式成倍数关系；(3)把已知代数式看成一个整体代入求值， 整 【随手一练1】新视野》一个正整数由N个数字组成，若它的第一位数可以被1整除，它的前 式 两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，·，一直到前N位数可以被N整除，则这样 及 的数叫做“精巧数”.如：123的第一位数“1”可以被1整除，前两位数“12”可以被2整除，“123” 因 可以被3整除，则123是一个“精巧数”.若四位数123k是一个“精巧数”，则的值为 式 整式：整式是单项式与② 的统称 分 定义：由数或字母的③ 组成的式子 解 单项式{系数：单项式中的④ 因数 次数：单项式中所有字母指数的⑤ 整 定义：几个单项式的和 式 多项式项：多项式中，每一个⑥ 叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项 的 次数：多项式中⑦ 项的次数 & 同类项：所含字母相同，并且相同字母的⑧ 也分别相同的单项式 关 系数相加，所得的结果作为合并后的系数 概 合并同类项 字母和字母的指数⑨ 念 ◆温馨提示：1.同类项必须具备以下两个条件：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数分别 相同.二者必须同时具备，缺一不可.2.同类项与项的系数无关，与项中字母的排列顺序无 关，如y2与-yz也是同类项3儿个常数项都是同类项，如-1,5，等都是同类项 数学·讲练册SD 实质：合并同类项 括号前面是“十”，把括号和括号前的“十”去掉，原括号里各项的符号 加减运算 都⑩ 去括号法则 括号前面是“一”，把括号和括号前的“一”去掉，原括号里各项的符号 都① 同底数幂相乘：am·a”=② 幂的乘方：(am)”=③ 幂的运算 积的乘方：(ab)”=④ 同底数幂相除：am÷a”=⑤ (m,n是正整数) 单项式与单项式相乘：把⑥ 、⑦ 分别相乘，其余字母同它的指数不变， 作为积的因式 乘法单项式与多项式相乘：m(a十b+c)=⑧ 运算多项式与多项式相乘：(m十n)(a十b)=⑨ 平方差公式：(a十b)(a一b)=四 整 乘法公式 完全平方公式：(a士b)2=① 式 整 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字 及式除法 母，则连同它的② 作为商的一个因式 因的运算 多项式除以单项式：(a十b)÷m=a÷m十b÷m 式运 【随手一练2】(2023·深圳模拟)下列运算结果正确的是() 孔 算 A.3a·2a2=5a3 B.(-2a3)2=-4a3 C.-6a2÷3a=-2a D.(b-a)2=b2-a2 解 定义：把一个多项式化成几个整式的⑧ 的形式 公式：ma十mb+mc=④ 提公因公因式的确定：确定系数（取各项整数系数的⑤ 式法 确定字母或因式底数（取各项的⑤ 字母)》 方法 确定字母或因式的指数（取各相同字母的最低次幂） 因 运用平方差公式：a2-b=(a+b)(a-b) 式 运用公式法 运用完全平方公式：a2士2ab+b2=(a±b)2 分 ◆温馨提示：因式分解的一般步骤： 解 1.“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式. 2.“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式.一般根据多项式的项数选择公式，二项式 考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式. 3.“三检查”：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 【随手一练3】分解因式：4(m一n)m2+(n-m)n2= 优学秦赢在中考 ◆◆●●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆●◆◆●◆●◆●◆◆●◆◆◆◆◆◆● 典型例题剖析 》0◆◆004◆0◆4◆40◆◆004◆◆0◆0◆0◆0◆◆o00 命题点1】代数式求值 A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4 C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10 方法指导→ 【变式训练2】(2024·宜宾中考)下列计算正确的 代数式求值的一般方法： 是( (1)直接代入法：把字母所表示的数值直接 A.a+a=a2 B.5a-3a=2 代入，计算求值。 C.3x·2x=6x2 D.（-x)3÷(-x)2=x (2)化简后代入法：把比较复杂的代数式运 【变式训练3】(2023·乐山中考)若m,n满足 用整式运算化简为比较简单的代数式后代入字 3m-n-4=0,则8m÷2”= 母的值，再计算求值. 命题点3】整式的运算 (3)整体代入法：①观察已知条件和所求代 数式；②通过因式分解等方法，将所求代数式变 方法指导→ 形，使其与已知代数式成倍数关系；③把已知代 整式的乘法法则和除法法则是整式运算的 数式看成一个整体代入求值. 依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算 【例1】(2024·临沂临沭一模)如果a2-a-2 时灵活运用法则进行计算.使用乘法公式时，要 认清公式中a,b所表示的两个数及公式的结构 0,那么代数式(a-1)2+(a+2)(a-2)的值 特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2十 为() b2,(a-b)2=a2-b2. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练1】(2023·河北中考)根据表中的数 【例3】(2024·济宁北湖新区三模)先化简，再求 据，写出a的值为 ,b的值为 值：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y),其中x= 结果 √2+1，y=√2-1. 2 代数式 【自主解答】 3x+1 7 2x+1 1 x 命题点2】 幂的运算 【变式训练4】(2024·扬州中考)下列运算正确的 是() 方法指导→ A.(a-b)2=a2-b2B.5a-2a=3a 在幂的运算中，最易出错的是混淆同底数 C.(a3)2=a5 D.3a2·2a3=6a6 幂的乘法与乘方的运算法则.在应用时，牢记以 【变式训练5】(2024·济宁曲阜一模)先化简，再 下公式：am·an=am+n,(am)n=amm,(ab)n= 求值：(x-1)2十(x十2)(x-2)-(x十3)(x十 a"b". 1),其中x为方程x2一6x-2023=0的解. 【例2】(2024·广东中考)下列计算正确的 是( 数学·讲练册SD 命题点4】因式分解 【例4】(2023·济宁中考)下列各式从左到右的变 形，因式分解正确的是() 方法指导→ A.(a十3)2=a2+6a+9 1.首先要熟练掌握公式的结构特征并牢记 B.a2-4a+4=a(a-4)+4 公式 C.5ax2-5ay2=5a(x+y)(x-y) 2.看项数选公式：“二项”考虑平方差公式， D.a2-2a-8=(a-2)(a+4) “三项”考虑完全平方公式. 【变式训练6】(2024·广西中考)如果a十b=3, 3.分解因式的题目中一般采用“一提取” ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为() “二公式”的方法进行综合分解，即如果整式中 A.0 B.1 C.4 D.9 含有公因式，要先提取公因式，再看余下的式子 【变式训练7】(2023·东营中考)因式分解：3a2一 能否用公式法继续分解，直至不能再分解。 6mab+3mb2= ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆ 中考真题演练》◆◆◆◆◆◆◆◆◆小◆◆◆心 马考点1)整式及其运算 7.(2022·滨州中考，17,4分)若m+n=10, 1.(2024·烟台中考，2,3分)下列计算结果为a6 mn=5,则m2+n2的值为 的是() 8.规律探究(2023·临沂中考，14,3分)观察下 A.a2·a3 B.a12÷a2 列式子： C.a3+a3 D.(a2)3 1×3+1=22;2X4+1=32;3×5+1=42;… 2.(2024·滨州中考，4,3分)下列运算正确的 按照上述规律， =n2. 是() 9.(2024·济宁中考，16,6分)先化简，再求值： A.(n3)3=n B.(-2a)2=-4a2 x(g-4x)+(2x+y)(2x-y,其中x2, C.x8÷x2=x4 D.m2·m=m3 y=2. 3.(2024·山东中考，5,3分)下列运算正确的 是() A.a4+a3=a7 B.(a-1)2=a2-1 C.(a3b)2=a3b2 D.a(2a+1)=2a2+a 4.(2024·泰安中考，2,4分)下列运算正确的 是() A.2x2y-3xy2=-x2y B.4x8y2÷2x2y2=2x4 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 考点2)因式分解 D.(x2y3)2=x4y 10.(2024·山东中考，11,3分)因式分解：x2y十 5.(2022·德州中考，9,4分)已知M=a2-a,N= 2xy= a-2(a为任意实数)，则M-N的值() 11.（2024·威海中考，12,3分)因式分解：(x+ A.小于0 B.等于0 2)(x十4)+1= 12.(2023·济宁中考，14,3分)已知实数m满 C.大于0 D.无法确定 足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9= 6.(2024·泰安中考，13,4分)单项式一3ab2的 次数是 10 优+学秦赢在中考优学案 赢在中考 参苦答案 数学SD ⊕河 =x2-2x+1+x2-4-(x2+4x+3) =x2-2x+1+x2-4-x2-4x-3 =x2-6x-6. 第一部分教材梳理 x2-6x-2023=0, x2-6.x=2023, 第一章数与式 .当x2一6x=2023时，原式=2023-6=2017. 第1讲实数 【例4】C【变式训练6】D【变式训练7】3m(a-b) 【重点知识梳理】 【中考真题演练】 ①0②实数③-a④0⑤1 1.D2.D3.D4.D5.C6.37.908.(n-1)(n+1)+1 ⑥ab=1⑦距离 9.解：原式=(xy-4x2)十(4x2-y2) 【随手一练1】C =xy-4x2+4x2-y2 ⑧互为相反⑨0⑩负 =xy-y', 【随手一练2】B ①大②小⑧>@=⑤<⑥<⑦> ⑧相同©较大 当x=号9=2时原式=2×2-2=1-4=-3 @相反数@正®负因倒数②a'⑤。 10.xy(x+2)11.(x+3)212.8 第3讲分式 【重点知识梳理】 【随手一练3】√3 【典型例题剖析】 ①字母②不等于0③公因式④公因式同同分母回 【例1】B【变式训练1】C【变式训练2】A ⑦乘方 【例2】C【变式训练3】B【变式训练4】8×10 【例3】土2【变式训练5】A【变式训练6】1 【随手一练，2 【例】解：5-x°+（← ）+2sin45°-l1-√21= 【典型例题剖析】 【例1】(1)A(2)2【变式训练12 1+4+2x 2-(2-1)=1+4+2-2+1=6. 【变式训练2】解：由22二8=0，得2x-8=0且x-2≠0，解得工 x-2 【变式训练7】 一2.当x=一2时，分式的值为零 解：原式=5-1-6=一2. 【变式训练3】解：等腰三角形.理由：：a,b,c的取值使分式 【变式训练8】 解：原式=3×√3-2-2√3+2-√3= ab-ac+c2-c的值为零， a-b 3√3-2-2√3+2-√3=0. ∴.ab-ac+c2-bc=0,且a-b≠0， 【例5】C【变式训练9】C【变式训练10】> 则(a-c)(b-c)=0, 【中考真题演练】 ∴a-c=0或b-c=0, 1.C2.D3.C4.B5.C6.C7.B8.B ∴a=c或b=c, 9.3.6×10110.A11.A12.A13.A ∴这个三角形是等腰三角形 14.①③15.2或316.1317.1 【例2】解：原式=a-3》÷4-a2+5_a-3)2 2-a 2-a 91 a-2 a-2'(3-a)(3+a) 18,解：21+(-2)x(-）-√骨=日+1-名=0， (a-3)2 a-2 _a-3 a-2·(a-3)(a+3)a+3i 第2讲整式及因式分解 【重点知识梳理】 …a1 2 1，解得a≤3. ①化简 【随手一练1】2或6 又a是使不等式4，≤1成立的正整数，且a-2≠0，a一3≠0，a十 2 ②多项式③乘积④数字⑤和⑥单项式⑦次数最高 3≠0， ⑧指数⑨不变①不变①改变②am+n⑧amm④a”b” ⑤am-n⑥系数⑦同底数幂⑧ma十mb十mc©ma十mb十 =1原式-计号 na+nb四a2一b2①a2士2ab+b2②指数 【变式训练4)】解：原式=a a+2 【随手一练2】C a+3 a+3)a-=t9 a+3 图积@m(a十b十c)因最大公约数西相同 (a十3)(a-3) 【随手一练3】(m一n)(2m一n)(2m十n) a+2 =a-3, 【典型例题剖析】 将a=1代入，得原式=1-3=一2. 【例】A【变式训练】 -2 【变式训练5】懈：(x-2红)÷x-1--2红+1.工 【例2】D【变式训练2C【变式训练3】16 (x-1)2 【例3】解：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y)=x2-4y2-x2+4xy x-1 x (x+1(x-D=+当x=厄-1时，原式 -4y2+4xy, 当x=√2+1，y=W2-1时，原式=-4×(W2-1)2+4×(W2+ 2-1-1_厄-2-1-2. √2-1+1√2 1)×(2-1)=-4×(3-2√2)+4×(2-1)=-12+82+4× 【中考真题演练】 1=-12+8√2+4=-8+8√2 1.x≠32.23.C4.A5.-x-26.15 【变式训练4】B m+3 【变式训练5】解：(x-1)2+(x+2)(x-2)-(x十3)(x十1) 7解(》(+》 4-2m -1