第1章 数与式 第1讲实数-（讲练）【优+学案·赢在中考】2025年中考数学总复习（山东专用）

第一部分 教材梳理 第一章数与式 第1讲 实数（答案P1) ◆04004000◆00◆90◆400◆9◆◆00◆◆◆0◆◆◆◆0(《 重点知识梳理》◆4◆4◆◆◆◆◆◆◆4◆4◆◆◆◆◆◆心 整数 有理数 按定义分 分数（有限小数或无限循环小数） 无理数：无限不循环小数 正数（大于0） 按正负分① (既不是正数，也不是负数) 实数的 负数（小于0）（课程标准新增理解负数的意义） 分类 ◆温馨提示：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键点，归纳起来有三类： 1.开方开不尽的数，如√7,2，si60°等；2.有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有 元的数，如+8等3.有特定结构的数，如0.101010001…（每相邻两个1之间依次 多一个0)等： 三要素：原点、正方向、单位长度 原点 正方向 数轴 -3 -2 -1 0 1 3 单位长度 实 ② 与数轴上的点一一对应 数 数轴上两点间的距离：用右边点表示的数减去左边点表示的数 实数a的相反数是③ 零的相反数是零 相反数 a与b互为相反数台a+b=④ 实数a(a≠0)的倒数是⑤ 倒数 实数的 实数a与b互为倒数台⑥ 有关概念 a(a>0) 及性质 代数意义：a|=0(a=0) a|具有非负性（课程标准删除内容） 绝对值 -a(a<0) 几何意义：数轴上表示数a的点与原点的⑦ 离原点越远的数， 绝对值就越大 【随手一练1】(2024·广州番禺区一模)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则下列 各式正确的有( ) (1)abc>0,2)-c>a>-b:3)2>L;4lc>al. c a 。-2山60 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数学·讲练册SD 名称 平方根 算术平方根 立方根 若x2=a,则 若x2=a(x≥0)， 若x3=a, 定义 x=士√a 则x=√a 则x=a 平方根、 a>0 2个（⑧ 数) 1个（正数） 1个（正数） 算术平方根、 性质 a=0 ⑨ 0 0 立方根 a<0 无 无 1个（⑩ 数) ◆温馨提示：课程标准新增内容，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的 负整数)的立方根，如士729=士9，士512=士8等 定义：把一个数N表示成a×10”(1≤a<10,n是整数)的形式 表示方法：当N≥10时，n等于原数N的整数位数减1；当N<1时，n 科学记数法 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字 前零的个数（含小数点前的零） 近似数：将一个数四舍五人后得到的数 近似数与精确度 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪 实 一位 数科学记数法、 ◆温馨提示：用科学记数法表示数要注意单位换算，对于没有单位的数直接确定 近似数 和n的值即可；对于有单位的数，要先换算计数单位（如：1万=10,1亿=108），然 后再确定a和n的值. 【随手一练2】新情境)(2024·北京朝阳区模拟)2024年5月3日，我国嫦娥六号顺 利发射飞向太空，随后历时五天抵达第四阶段，进行环月飞行任务.6月2号早上嫦 娥六号在月球背面的南极一艾特肯盆地成功落月，月球距离地球约384000000米， 将384000000用科学记数法表示为() A.38.4×10 B.3.84×108 C.3.84×10 D.0.384×109 数轴比较法：在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数① 实 华 类别比较法：负数<0<正数；两个负数比较大小，绝对值大的反而② 作差比较法：(1)a一b>0台a③ b;(2)a-b=0台a④ b; 的 (3)a-b<0→a⑤ 6 小 倒数比较法，若}石a5>0,则a同 比 平方比较法：因为由a>b>0,可得√a⑦ √b,所以我们可以把√a与6的大小问题转 较 化成比较a和b的大小问题 优+学秦赢在中考 加法：同号两数相加，取⑧ 的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号 两数相加，取绝对值⑨ 的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数 减法：减去一个数，等于加上这个数的②四 ,即a-b=a+(-b) 四则运算乘法：两数相乘，同号得@ ,异号得② ,并把绝对值相乘；任何数与 0相乘都得0.即a·b=ab,(-a)·(-b)=ab,a·(-b)=-ab(a>0,b> 0);a·0=0 实 1 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的③ ,即a÷b=aX (b≠0) b 实 数 乘方：a·a·…·a=@ ,表示n个a相乘 数 运 个 算常见运算类型 零次幂：a°=1(a≠0) 负整数指数幂：ap=⑤ (a≠0，p为正整数)，特别地，a1=1 一1的高次幂：一1的奇数次幂为一1，一1的偶数次幂为1 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减 混合运算顺序(2)同级运算，按照从左到右的顺序进行 (3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的 【随手一练3计算：8+3-121+(5-1.57） -2c0s30°= ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆心 典型例题剖析 》 ◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆●◆◆◆◆◆●◆0 命题点1】相反数、倒数、绝对值 【例1】(2024·烟台福山区一模)下列说法不正确 的是( ) 方法指导→ A.3与一3互为相反数 互为相反数的两数绝对值相同，符号不同. 1 求一个数的相反数，只需改变这个数的符号即 B.-3与3为倒数 可；求一个代数式的相反数，可将该代数式作为 C.-1的立方根是一1 整体先用括号括起来，并在括号前添加“一”号， D.一1的绝对值是1 再按去括号法则去括号化简. 【变式训练1】(2023·资阳中考)数轴上点A到 绝对值同相反数一样，都既具有几何意义，又 原点的距离为√3，则点A所表示的数是() 具有代数意义.因此求绝对值的方法通常有两种. A.3 B.-√3 此外，除0外的实数均由性质符号和绝对值两部分 组成，因此，若是求一个实数的绝对值，将其性质符 C.√3或-√3 D.23 号去掉后，便得其绝对值。 【变式训练2】(2024·九江柴桑区三模)下列各数 求一个整数（或整式）的倒数，写成这个整 中，倒数等于本身的是( ) 数（或整式）分之一即可；求一个分数（或分式） A.3-1 B.2 的倒数，只需调换分子和分母的位置（带分数先 化为假分数).注意0没有倒数.互为倒数的两 C.√2 数符号相同. 数学·讲练册SD 命题点2】科学记数法 【变式训练6】(2024·成都中考)若m,n为实数，且 (m十4)2十√n-5=0,则(m十n)2的值为 方法指导少 命题点4】实数的运算 用科学记数法表示数的关键是确定a和n 的值：a是整数位数只有一位的数，即1≤a< 方法指导) 10;n是整数，n的绝对值等于从原数到a小数 解此类题一般要先化简各项，再利用实数 点移动的位数.当表示较大数时，n是正整数；当 的运算顺序进行运算.进行实数的运算要注意 表示较小数时，n是负整数， 两点：一是各项的准确化简，特别是负整数指数 【例2】新情境(2024·琼海模拟)据统计，海南省 幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简，有时 2024年“五一”假日全省旅游接待人数为332.37万 需整体处理；二是全面观察算式特点，适时利用 人次，同比增长3.7%；旅游总花费43.65亿元， 运算律、去括号法则改变运算顺序，简化运算. 同此增长3.1%.与2019年同口径对比，全省接 【例4】(2024·眉山中考)计算：（√3一π）°+ 待游客总人数增长61.0%，旅游花费增长 84.6%.数据“332.37万”用科学记数法表示 一2} +2sin45°-|1-√2|. 为() 【自主解答】 A.332.37×104 B.33.237×105 C.3.3237×106 D.0.33237×10 【变式训练3】(2024·烟台中考)目前全球最薄的 手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4 【变式训练7】(2024·陕西中考)计算：√25- 纸厚度的六分之一.已知1毫米=1百万纳米， (-7)°+(-2)×3. 0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法 表示为( ) A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米 C.15×10-5纳米 D.1.5×10-6纳米 【变式训练4】(2024·上海中考)科学家研发了 种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为2× 105GB,一张普通唱片的容量约为25GB,则蓝光 【变式训练8】运算能力计算：3tan60°-(（月)厂'- 唱片的容量是普通唱片的 倍.（用科学 12+|2-√31. 记数法表示) 命题点3】平方根、立方根 【例3】(2024·重庆永川区模拟)如果x是64的 立方根，那么x的平方根是 【变式训练5】(2024·天水清水三模)若0.214≈ 0.5981,3x≈5.981，则x为() A.214 B.±214 C.2140 D.±2140 4 优学秦赢在中考 命题点5】实数的大小比较 A.b>a>c B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a 方法指导→ 【变式训练9】(2024·自贡中考)在0，一2，一√3， 实数的各种比较方法，要明确应用条件及 π四个数中，最大的数是() 适用范围.如“差值比较法”用于比较任意两数 A.-2 B.0 C.π D.-√3 的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号 【变式训练10】数学文化》(2024·安徽中考)我国 相同的两个数的大小，还有“平方法”“倒数法” 古代数学家张衡将圆周率取值为√10，祖冲之给 等，要依据数值特点确定合适的方法 22 出圆周率的一种分数形式的近似值为气.比较大 【例5】(2023·扬州中考)已知a=√5，b=2,c= √3，则a,b,c的大小关系是( 小：√10 2（填>或<。 ◆◆●◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 中考真题演练 》◆4◆◆00◆◆◆◆0◆0◆◆◆◆◆◆4◆◆◆◆00◆◆◆0◆◆◆0 8考点1)实数的有关概念 6.(2024·山东中考，3,3分)2023年山东省扎实 落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万 1.（2024·滨州中考，1,3分)一 的绝对值 个，将61.9万用科学记数法表示应为( ) 是( A.0.619×103 B.61.9×104 A.2 B.-2 c D.-2 C.6.19×10 D.6.19×106 7.（2024·成海中考，2,3分)据央视网2023年 2.(2023·烟台中考，1,3分) 号的阔数 10月11日消息，中国科学技术大学中国科学 是( 院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行 A号 计算机工程技术研究中心合作，成功构建了 2 D.、3 255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再 3.(2024·烟台中考，1,3分)下列实数中的无理 度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算 数是( ) 优越性的世界纪录.“九章三号”处理高斯玻色 A.3 B.3.14 C.√/15 D.964 取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万 倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂 4.(2021·青岛中考，2,3分)下列各数为负分数 度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超 的是( ) 过二百亿年的时间.将“百万分之一”用科学记 A-1B-司 C.0 D.3 数法表示为( A.1×10-5 B.1×10-6 5.(2024·威海中考，1,3分)一批食品，标准质量 为每袋454g.现随机抽取4个样品进行检测， C.1×10-7 D.1×10-8 8.(2024·烟台中考，4,3分)实数a,b,c在数轴 把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克 上的位置如图所示，下列结论正确的是( ) 数用负数表示.那么，最接近标准质量的 是() A.+7 B.-5 A.b+c>3 B.a-c<0 C.-3 D.10 C.la>cl D.-2a<-2b 数学·讲练册SD 9.(2023·烟台中考，11,3分)“北斗系统”是我国 果为8； 自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个 ③sin○4)⑤)○①5))D目按键的结 导航地图采用北斗优先定位.目前，北斗定位 果为0.5； 服务日均使用量已超过3600亿次.3600亿用 ④○3)○①2)Dx2)2目按 科学记数法表示为 键的结果为25. 凸考点2)实数的有关计算 以上说法正确的序号是 10.(2024·威海中考，3,3分)下列各数中，最小 15.(2024·滨州中考，10,3分)写出一个比5大 的数是() 且比√10小的整数： A.-2 B.-(-2) 16.(2022·烟台中考，13,3分)如图所示是一个 c号 D.-√2 “数值转换机”的示意图.若x=一5，y=3,则 输出结果为 11.(2024·山东中考，1,3分)下列实数中，平方 输人x 最大的数是( 相加 输出 A.3 C.-1 D.-2 输入y 12.(2021·淄博中考，3,5分)下表是几种液体在 17.(2022·威海中考，16,3分)幻方的历史很悠 标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体 久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛 是( 书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三 液体 液态氧 液态氢 液态氮 液态氢 阶幻方（如图①所示），将9个数填在3×3（三 名称 行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个 沸点/℃ -183 -253 -196 -268.9 竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等， 就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中 A.液态氧 B.液态氢 C.液态氮 填写了一些数字和字母，若能构成一个广义 D.液态氦 的三阶幻方，则m” (m>0) 13.(2021·淄博中考，6,5分)设m= √5-1 2 则( A.0<m<1 B.1<m<2 C.2<m<3 D.3<m<4 D 14.(2023·烟台中 2nd ON/C 18.(2024·滨州中考，17,7分)计算：21十 考，14,3分)如图 ALPHA 所示，利用课本 MODELRN COMP EXP/dE DEL 上的计算器进行 计算，其按键顺 M-M OATA天SES,M+ 序及结果如下： ①2ndDD6)4)目按键的结果为4； ②4)+○D2)D四3)目按键的结 优学秦赢在中考优学案 赢在中考 参苦答案 数学SD ⊕河 =x2-2x+1+x2-4-(x2+4x+3) =x2-2x+1+x2-4-x2-4x-3 =x2-6x-6. 第一部分教材梳理 x2-6x-2023=0, x2-6.x=2023, 第一章数与式 .当x2一6x=2023时，原式=2023-6=2017. 第1讲实数 【例4】C【变式训练6】D【变式训练7】3m(a-b) 【重点知识梳理】 【中考真题演练】 ①0②实数③-a④0⑤1 1.D2.D3.D4.D5.C6.37.908.(n-1)(n+1)+1 ⑥ab=1⑦距离 9.解：原式=(xy-4x2)十(4x2-y2) 【随手一练1】C =xy-4x2+4x2-y2 ⑧互为相反⑨0⑩负 =xy-y', 【随手一练2】B ①大②小⑧>@=⑤<⑥<⑦> ⑧相同©较大 当x=号9=2时原式=2×2-2=1-4=-3 @相反数@正®负因倒数②a'⑤。 10.xy(x+2)11.(x+3)212.8 第3讲分式 【重点知识梳理】 【随手一练3】√3 【典型例题剖析】 ①字母②不等于0③公因式④公因式同同分母回 【例1】B【变式训练1】C【变式训练2】A ⑦乘方 【例2】C【变式训练3】B【变式训练4】8×10 【例3】土2【变式训练5】A【变式训练6】1 【随手一练，2 【例】解：5-x°+（← ）+2sin45°-l1-√21= 【典型例题剖析】 【例1】(1)A(2)2【变式训练12 1+4+2x 2-(2-1)=1+4+2-2+1=6. 【变式训练2】解：由22二8=0，得2x-8=0且x-2≠0，解得工 x-2 【变式训练7】 一2.当x=一2时，分式的值为零 解：原式=5-1-6=一2. 【变式训练3】解：等腰三角形.理由：：a,b,c的取值使分式 【变式训练8】 解：原式=3×√3-2-2√3+2-√3= ab-ac+c2-c的值为零， a-b 3√3-2-2√3+2-√3=0. ∴.ab-ac+c2-bc=0,且a-b≠0， 【例5】C【变式训练9】C【变式训练10】> 则(a-c)(b-c)=0, 【中考真题演练】 ∴a-c=0或b-c=0, 1.C2.D3.C4.B5.C6.C7.B8.B ∴a=c或b=c, 9.3.6×10110.A11.A12.A13.A ∴这个三角形是等腰三角形 14.①③15.2或316.1317.1 【例2】解：原式=a-3》÷4-a2+5_a-3)2 2-a 2-a 91 a-2 a-2'(3-a)(3+a) 18,解：21+(-2)x(-）-√骨=日+1-名=0， (a-3)2 a-2 _a-3 a-2·(a-3)(a+3)a+3i 第2讲整式及因式分解 【重点知识梳理】 …a1 2 1，解得a≤3. ①化简 【随手一练1】2或6 又a是使不等式4，≤1成立的正整数，且a-2≠0，a一3≠0，a十 2 ②多项式③乘积④数字⑤和⑥单项式⑦次数最高 3≠0， ⑧指数⑨不变①不变①改变②am+n⑧amm④a”b” ⑤am-n⑥系数⑦同底数幂⑧ma十mb十mc©ma十mb十 =1原式-计号 na+nb四a2一b2①a2士2ab+b2②指数 【变式训练4)】解：原式=a a+2 【随手一练2】C a+3 a+3)a-=t9 a+3 图积@m(a十b十c)因最大公约数西相同 (a十3)(a-3) 【随手一练3】(m一n)(2m一n)(2m十n) a+2 =a-3, 【典型例题剖析】 将a=1代入，得原式=1-3=一2. 【例】A【变式训练】 -2 【变式训练5】懈：(x-2红)÷x-1--2红+1.工 【例2】D【变式训练2C【变式训练3】16 (x-1)2 【例3】解：(x+2y)(x-2y)-x(x-4y)=x2-4y2-x2+4xy x-1 x (x+1(x-D=+当x=厄-1时，原式 -4y2+4xy, 当x=√2+1，y=W2-1时，原式=-4×(W2-1)2+4×(W2+ 2-1-1_厄-2-1-2. √2-1+1√2 1)×(2-1)=-4×(3-2√2)+4×(2-1)=-12+82+4× 【中考真题演练】 1=-12+8√2+4=-8+8√2 1.x≠32.23.C4.A5.-x-26.15 【变式训练4】B m+3 【变式训练5】解：(x-1)2+(x+2)(x-2)-(x十3)(x十1) 7解(》(+》 4-2m -1